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Subring 和 Ideal 的基本性質

前一節中我們可以看出 normal subgroup 和 group 間的關係相當於 ideal 和 ring 的關係. 所以一些在 group 中有關 normal subgroup 的性質, 在 ring 中也有相對應有關 ideal 的性質. 不過要注意的是從前在 group 我們都是用 ^. 當運算, 但在 ring 中的 group 運算是用 + 來表示, 所已相對應的性質要將 ^. 改成 +.

我們在 Lemma 2.6.3 中提過: 當 H, H' 是 G 的 subgroup, H^.H' 這一個集合未必是 G 的 subgroup, 除非 H 和 H' 中有一個是 G 的 normal subgroup. 在 ring 中也有類似的結果: 一般來說若 S, T 是 R 的 subring, 那麼

S + T = {s + t | s $\displaystyle \in$ S, t $\displaystyle \in$ T}

未必是 R 的 subring. 原因是 S + T 中任選兩元素 s + t 和 s' + t', 其乘積 (s + t)^.(s' + t') 並不一定可以寫成一個 S 的元素加上一個 T 的元素這種形式, 也就是說當 S 和 T 只是 R 的 subring 時, S + T 不一定是乘法封閉的. 不過當 S, T 其中之一是 R 的 ideal 時, S + T 就乘法封閉了!

Lemma 6.2.1 令 R 是一個 ring, S, T 是 R 的 subring.

若 S 是 R 的 ideal, 則 S + T 是 R 的 subring.
若 S 和 T 都是 R 的 ideal, 則 S + T 是 R 的 ideal.

証明. (1) 利用加法的 group 性質, 我們知若 a = s + t, b = s' + t' $\in$ S + T 其中 s, s' $\in$ S 且 t.t' $\in$ T, 則

a - b = (s + t) - (s' + t') = (s - s') + (t - t') $\displaystyle \in$ S + T.

另�

a^.b = (s + t)^.(s' + t') = s^.s' + s^.t' + t^.s' + t^.t'.

由於 S 和 T 是 R 的 subring, 故 s^.s' $\in$ S 且 t^.t' $\in$ T. 又因 S 是 R 的 ideal 且 t, t' $\in$ R, 故 s^.t' $\in$ S 且 t^.s' $\in$ S. 因此知 s^.s' + s^.t' + t^.s' $\in$ S 所以 (s + t)^.(s' + t') $\in$ S + T. 故由 Lemma 5.4.2 知 S + T 是 R 的 subring.

(2) 若 S 和 T 是 R 的 ideal, 則對任意的 r $\in$ R, s $\in$ S 及 t $\in$ T 我們皆有 r^.s, s^.r $\in$ S 且 r^.t, t^.r $\in$ T. 因此

r^.(s + t) = r^.s + r^.t $\displaystyle \in$ S + T

且

(s + t)^.r = s^.r + t^.r $\displaystyle \in$ S + T.

故由 Lemma 6.1.2 知 S + T 是 R 的 ideal. $\qedsymbol$

我們在討論 group 時曾談過兩個 subgroup 的交集依然是 subgroup, 而兩個 normal subgroup 的交集也是 normal subgroup. 在 ring 的情況我們也有類似情形.

Lemma 6.2.2 令 R 是一個 ring, S, T 是 R 的 subring.

S $\cap$ T 是 R 的 subring.
若 S 和 T 都是 R 的 ideal, 則 S $\cap$ T 是 R 的 ideal.

証明. (1) 利用加法的 group 性質我們知若 a, b $\in$ S $\cap$ T 則 a - b $\in$ S $\cap$ T. 另又因 a $\in$ S 且 b $\in$ S 故利用 S 的乘法封閉性知 a^.b $\in$ S, 同理得 a^.b $\in$ T. 故知 a^.b $\in$ S $\cap$ T. 因此由 Lemma 5.4.2 知 S $\cap$ T 是 R 的 subring.

(2) 當 S 和 T 皆為 R 的 ideal 時, 對任意的 r $\in$ R, a $\in$ S $\cap$ T, 由於 a $\in$ S, 我們有 r^.a $\in$ S. 又因 a $\in$ T, 所以 r^.a $\in$ T. 因此得 r^.a $\in$ S $\cap$ T. 同理得 a^.r $\in$ S $\cap$ T. 故由 Lemma 6.1.2 知 S $\cap$ T 是 R 的 ideal. $\qedsymbol$

注意若 S 和 T 若僅有一個為 R 的 ideal, 則 S $\cap$ T 當然還是 R 的 subring. 不過就不見得是 R 的 ideal 了! 另� 在 group 時我們知道兩個 subgroup 的聯集不一定是 subgroup, 同理如果 S 和 T 是 R 的 subring, S $\cup$ T 也不一定是 R 的 subring.

既然 ring 中有乘法, 如果 S, T 是 R 的 subring 那麼考� {s^.t | s $\in$ S, t $\in$ T} 這樣的集合會不會也是 R 的 subring 呢? 事實上若 s, s' $\in$ S, t, t' $\in$ T, 則 (s^.t)^.(s'^.t') 不見得可以寫成 s''^.t'', 其中 s'' $\in$ S, t'' $\in$ T 這樣的形式 (除非 R 是 commutative). 不過即使 R 是 commutative, s^.t + s'^.t' 也不見得可以寫成 s''^.t'', 其中 s'' $\in$ S, t'' $\in$ T. 所以如果考� {s^.t | s $\in$ S, t $\in$ T} 這樣的集合是無法達到加法封閉的要求. 我們應考憧H下之集合

{ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$ s_i^.t_i | s_i $\displaystyle \in$ S, t_i $\displaystyle \in$ T, for some n $\in$ $\mathbb {N}$ }.

一般我們會將以上的集合記作 S^.T. 簡單來說, 每一個 S^.T 的元素都可寫成有限多項的 S 中元素乘上 T 中元素的和.

Lemma 6.2.3 令 R 是一個 ring, S 和 T 都是 R 的 ideal, 則 S^.T 是 R 的 ideal.

証明. 若 a = s₁^.t₁ + ^... + s_n^.t_n 和 b = s'₁^.t₁' + ^... + s_m'^.t_m' 是 S^.T 中任意的兩元素, 則

a - b = s₁^.t₁ + ^... + s_n^.t_n + (- s'₁)^.t₁' + ^... + (- s_m')^.t_m'

仍可寫成有限多項的 S 中元素乘上 T 中元素的和. 故 a - b $\in$ S^.T.

另� 對任意的 r $\in$ R,

r^.a = r^. $\displaystyle \bigl($ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$ s_i^.t_i $\displaystyle \bigr)$ = $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$ (r^.s_i)^.t_i.

由於 s_i $\in$ S 且 S 是 R 的 ideal, 所以 r^.s_i $\in$ S. 因此 r^.a 仍可寫成有限多項的 S 中元素乘上 T 中元素的和. 故 r^.a $\in$ S^.T. 同理知 a^.r $\in$ S^.T. 故由 Lemma 6.1.2 知 S^.T 是 R 的 ideal. $\qedsymbol$

我們已看到貧有關 ideal 和 subring 的差異, 一般來說 subring 因其條件較少所以較難控制. 例如一個 subring 可能含有原本 ring 中的 unit ( $\mathbb {Z}$ 是 $\mathbb {Q}$ 的 subring, 且 1 $\in$ $\mathbb {Z}$ ), 但對 ideal 來說這就絕不可能發生了!

Lemma 6.2.4 設 R 是一個 ring with 1, 且 I 為 R 的一個 ideal. 若在 I 中存在 u $\in$ I 是 R 的一個 unit, 則 I = R. 尤其當 R 是一個 division ring 時, R 的 ideal 就只有 {0} 和 R 本身.

証明. 因 I 是 R 的 ideal, 我們自然有 I $\subseteq$ R. 畦籊� r $\in$ R, 因 u 是 R 的一個 unit, 由 Lemma 5.3.7 知存在 r' $\in$ R 滿足 r'^.u = r. 然而 u $\in$ I, 由 ideal 的性質知 r'^.u = r $\in$ I. 因此知 R $\subseteq$ I, 故得 R = I.

畢b若 R 是一個 division ring, 依定義, 任意 R 中的非 0 元素都是 unit. 故若 I 是 R 中一個不為 {0} 的 ideal, 即 I 中存在非 0 的元素, 故由前面的結果知 R = I. $\qedsymbol$

通常依慣例, 我們會稱 R 和 {0} 是 R 的 trivial ideals, 除此以� 的 ideal 就稱為 nontrivial proper ideal. Lemma 6.2.4 告訴我們一個 division ring 中沒有 nontrivial proper ideal (不過當然有可能有 proper subring).

最後我們回顧一下在 Remark 2.4.2 中我們曾提到 subgroup 和 normal subgroup 相互之間要注意的事項, 同樣的對於 subring 和 ideal 我們也要注意以下事項:

假設 R 是一個 ring 且 T $\subseteq$ S $\subseteq$ R.

(1) 如果已知 S 是 R 的 subring 且 T 是 S 的 subring, 那麼 T 是 R 的 subring.

(2) 如果已知 S 是 R 的 subring 且 T 是 R 的 ideal , 那麼 T 也會是 S 的 ideal.

(3) 如果已知 S 是 R 的 subring 而 T 是 S 的 ideal, 那麼 T 不一定是 R 的 ideal.

(4) 如果已知 S 在 R 的 ideal 且 T 在 S 的 ideal, 那麼 T 不一定是 R 的 ideal.

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Administrator 2005-06-18