Ring Homomorphism

Definition 6.3.1 當 R, R' 是 rings 而 $\phi$ : R $\to$ R' 是從 R 映射到 R' 的函數. 如果 $\phi$ 滿足對於所有 a, b $\in$ R 皆有

$\displaystyle \phi$ (a + b) = $\displaystyle \phi$ (a) + $\displaystyle \phi$ (b) 且 $\displaystyle \phi$ (a^.b) = $\displaystyle \phi$ (a)^. $\displaystyle \phi$ (b),

則稱此函數 $\phi$ 是一個 ring homomorphism.

要注意的是: 因為 a, b $\in$ R, 所以這裡 a + b, a^.b 是在 R 中的加法和乘法; 而 $\phi$ (a), $\phi$ (b) $\in$ R', 所以 $\phi$ (a) + $\phi$ (b), $\phi$ (a)^. $\phi$ (b) 是在 R' 中的加法和乘法. 簡單地說: 一個從 R 到 R' 的 ring homomorphism, 是加法的 group homomorphism 再加上保持乘法的運算. 所以一般來說有關於 group homomorphism 的性質都可以直接套用在 ring homomorphism 上. 比方說由 Lemma 2.5.2 知 $\phi$ (0) = 0 (其中 $\phi$ 裡面的 0 是 R 的 0, 另一個 0 是 R' 的 0) 且 $\phi$ (- a) = - $\phi$ (a). 因此以後要計算 $\phi$ (a - b) 時由於

在 group homomorphism 中我們介紹了兩個重要的集合 image 和 kernel, 在 ring homomorphism 這兩個集合仍然很重要. 我們再回顧一下它們的定義.

Definition 6.3.2 若 $\phi$ : R $\to$ R' 是一個 group homomorphism, 則

im( $\displaystyle \phi$ ) = { $\displaystyle \phi$ (a) $\displaystyle \in$ R' | a $\displaystyle \in$ R}

稱為 $\phi$ 的 image.

ker( $\displaystyle \phi$ ) = {a $\displaystyle \in$ R | $\displaystyle \phi$ (a) = 0},

稱為 $\phi$ 的 kernel.

注意這裡 kernel 中的 0 是 R' 加法的 identity. 在 group homomorphism 中 image 和 kernel 分別是對應域的 subgroup 和定義域的 normal subgroup. 大家應不難猜出在 ring homomorphism 它們的性質吧!

証明. 我們利用 Lemma 2.5.4 直接知 im( $\phi$ ) 和 ker( $\phi$ ) 分別是 R' 和 R 加法之下的 subgroup. 所以我們只要驗證乘法.

若 $\phi$ (a), $\phi$ (b) $\in$ im( $\phi$ ), 其中 a, b $\in$ R, 則 $\phi$ (a)^. $\phi$ (b) = $\phi$ (a^.b). 又因 a^.b $\in$ R, 故 $\phi$ (a)^. $\phi$ (b) $\in$ im( $\phi$ ). 因此由 Lemma 5.4.2 知 im( $\phi$ ) 是 R' 的 subring.

至於 ker( $\phi$ ) 是 R 的 ideal, 我們只要證: 對任意的 r $\in$ R 和 a $\in$ ker( $\phi$ ) 皆有 r^.a $\in$ ker( $\phi$ ) 及 a^.r $\in$ ker( $\phi$ ). 然而 $\phi$ (r^.a) = $\phi$ (r)^. $\phi$ (a) = $\phi$ (r)^.0, 利用 Lemma 5.2.1 知 $\phi$ (r^.a) = 0 故 r^.a $\in$ ker( $\phi$ ). 同理得 a^.r $\in$ ker( $\phi$ ). 因此由 Lemma 6.1.2 知 ker( $\phi$ ) 是 R 的 ideal. $\qedsymbol$

在 Lemma 2.5.6 中我們知道可以用 kernel 來判斷一個 group homomorphism 是否為一對一, 既然 ring homomorphism 在加法之下是 group homomorphism 所下面的 Lemma 當然成立.

瞭解了 ring homomorphism, 接下來我們來談 ring homomorphism 的 correspondence 定理. 回顧一下 group homomorphism 中的 correspondence 定理描述了兩個 group 的 subgroup 和 normal subgroup 利用 group homomorphism 所得到的對應關係. 對 ring homomorphism 我們也有類似狀況.

Theorem 6.3.5 (Correspondence Theorem) 若 $\phi$ : R $\to$ R' 是一個 onto 的 ring homomorphism. 若 S' 是 R' 的 subring 且令

S = {a $\displaystyle \in$ R | $\displaystyle \phi$ (a) $\displaystyle \in$ R'},

則 S 是 R 的一個 subring 且 S $\supseteq$ ker( $\phi$ ). 另� 若令

$\displaystyle \phi$ (S) = { $\displaystyle \phi$ (a) | a $\displaystyle \in$ S},

則 $\phi$ (S) = S'.

如果又假設 S' 是 R' 的 ideal. 則前面所定的 S 也會是 R 的 ideal.

証明. 首先先證 S 是 R 的 subring. 若 a, b $\in$ S, 我們要證明 a - b $\in$ S 且 a^.b $\in$ S. 由定義知 a, b $\in$ S 表示 $\phi$ (a) $\in$ S' 且 $\phi$ (b) $\in$ S', 故 $\phi$ (a) - $\phi$ (b) $\in$ S' 且 $\phi$ (a)^. $\phi$ (b) $\in$ S'. 又因 $\phi$ 是 ring homomorphism, 故 $\phi$ (a - b) = $\phi$ (a) - $\phi$ (b) 且 $\phi$ (a^.b) = $\phi$ (a)^. $\phi$ (b). 因此 $\phi$ (a - b) $\in$ S' 且 $\phi$ (a^.b) $\in$ S', 也就是說 a - b $\in$ S 且 a^.b $\in$ S. 故知 S 是 R 的 subring. (注意這個部分的證明只用到 $\phi$ 是 ring homomorphism, 並不需要 onto.)

若 a $\in$ ker( $\phi$ ), 則 $\phi$ (a) = 0. 因 0 $\in$ S' 故 a $\in$ S. 所以 ker( $\phi$ ) $\subseteq$ S. (這部分的證明也不需 onto.)

畢b證 $\phi$ (S) = S'. 首先證明 $\phi$ (S) $\subseteq$ S' 這部份是容易的. 主要是因 $\phi$ (S) 的元素都是 $\phi$ (a) 這種形式, 其中 a $\in$ S. 由定義 a $\in$ S, 表示 $\phi$ (a) $\in$ S'. 故 $\phi$ (S) 的元素都落在 S' 中. 很多同學都會賑� S' 的元素也會在 $\phi$ (S) 中; 一般這是不一定對的. 因為在一般的情況 b $\in$ S' 不代表有元素 a $\in$ R 使得 $\phi$ (a) = b. 這裡我們就要用到 onto 的性質了. 因為 $\phi$ 是 onto 故對任意 b $\in$ S' $\subseteq$ R' 都可找到 a $\in$ R 使得 $\phi$ (a) = b. 既然 $\phi$ (a) = b $\in$ S', 這一個 a 也就在 S 中了. 所以 b = $\phi$ (a) $\in$ $\phi$ (S), 也就是說 S' $\subseteq$ $\phi$ (S). 由此得證 S' = $\phi$ (S).

最後我們要證明若 S' 是 R' 的 ideal, 則 S 也是 R 的 ideal. 對任意的 r $\in$ R, a $\in$ S 皆有 $\phi$ (r^.a) = $\phi$ (r)^. $\phi$ (a). 由於 $\phi$ (r) $\in$ R' 且 $\phi$ (a) $\in$ S' 及 S' 是 R' 的 ideal, 我們有 $\phi$ (r)^. $\phi$ (a) $\in$ S'. 故 r^.a $\in$ S, 同理得 a^.r $\in$ S. 所以 S 是 R 的 ideal. $\qedsymbol$

再次強調這個定理中除了 $\phi$ (S) = S' 需用到 $\phi$ 是 onto � , 其他性質並不需 onto 的假設.

Remark 6.3.6 Correspondence Theorem 告訴我們說若 $\phi$ : R $\to$ R' 是一個 onto 的 ring homomorphism, 則在 R' 中任選一個 subring S' 都可在 R 中找到一個 subring S 使得 $\phi$ (S) = S', 而且 ker( $\phi$ ) $\subseteq$ S. 其實在 R 中符合 $\phi$ (S) = S' 及 ker( $\phi$ ) $\subseteq$ S 的 subring 是唯一的. 假設 R 中有另一個 subring T 符合 $\phi$ (T) = S' 且 ker( $\phi$ ) $\subseteq$ T. 則對於所有 a $\in$ T, 因 $\phi$ (a) $\in$ $\phi$ (T) = S', 故由假設 $\phi$ (S) = S' 知在 S 中必存在一元素 b 使得 $\phi$ (b) = $\phi$ (a). 換句話說 $\phi$ (a) - $\phi$ (b) = 0. 由此得 $\phi$ (a - b) = 0. 也就是說 a - b $\in$ ker( $\phi$ ). 別忘了 ker( $\phi$ ) $\subseteq$ S 且 b $\in$ S 故 a $\in$ S, 也就是說 T $\subseteq$ S. 用同樣的方法可得 S $\subseteq$ T. 所以 T = S. 換句話說: 對於 R' 中任一 subring S', 在 R 中皆`存在' ``唯一'' 的 subring S 滿足 $\phi$ (S) = S' 且 ker( $\phi$ ) $\subseteq$ S.

Correspondence Theorem 最常用的情況是當 I 是 R 的一個 ideal, 而 $\phi$ 是 R 到 R/I 的 ring homomorphism 其中對任意的 a $\in$ R, 定義 $\phi$ (a) = $\overline{a}$ .

証明. $\phi$ 是 ring homomorphism 是因為

$\displaystyle \phi$ (a - b) = $\displaystyle \overline{a- b}$ = $\displaystyle \overline{a}$ - $\displaystyle \overline{b}$ = $\displaystyle \phi$ (a) - $\displaystyle \phi$ (b)

且

$\displaystyle \phi$ (a^.b) = $\displaystyle \overline{a\cdot b}$ = $\displaystyle \overline{a}$ ^. $\displaystyle \overline{b}$ = $\displaystyle \phi$ (a)^. $\displaystyle \phi$ (b).

再證明 $\phi$ 是 onto 的, 事實上對所有 y $\in$ R/I 都是 y = $\overline{a}$ , 其中 a $\in$ R 這種形式. 故選 a $\in$ R 帶入 $\phi$ 得 $\phi$ (a) = $\overline{a}$ = y. 得證 $\phi$ 是 onto.

ker( $\phi$ ) 是甚麼呢? 若 a $\in$ ker( $\phi$ ) 則 $\phi$ (a) = $\overline{0}$ , 但由 $\phi$ 的定義 $\phi$ (a) = $\overline{a}$ . 故由 $\overline{a}$ = $\overline{0}$ , 得 a $\in$ I. 反之若 a $\in$ I, 則 $\phi$ (a) = $\overline{a}$ = $\overline{0}$ , 故 a $\in$ ker( $\phi$ ). 由此得 ker( $\phi$ ) = I.

畢b Correspondence Theorem 中的條件都找到了, 所以利用 Theorem 6.3.5 知任取 R/I 中的一個 subring (或 idealS'), 在 R 中都可以找到一個 subring (或 ideal) S 符合 I = ker( $\phi$ ) $\subseteq$ S 且 $\phi$ (S) = S/I = S'. $\qedsymbol$

有貧書也稱 Corollary 6.3.7 為 Correspondence Theorem. 它告訴我們 R/I 中的 subring (或 ideal) 都是長 S/I 這種形式, 其中 S 是 R 的 subring (或 ideal) 且 I $\subseteq$ S.

Ring Homomorphism 和 Correspondence 定理