三個 Ring Isomorphism 定理

証明. 首先注意由 Lemma 6.3.3 知 im( $\phi$ ) 是一個 ring 且 ker( $\phi$ ) 是 R 的 ideal, 所以 R/ker( $\phi$ ) 也是一個 ring. 利用和第一個 group isomorphism 定理相同的方法, 我們在 R/ker( $\phi$ ) 這一個 quotient ring 和 im( $\phi$ ) 這個 ring 之間找到一個函數. 再說明這個函數是 ring homomorphism, 最後再驗證它是 1-1 且 onto.

我們可以利用 $\phi$ 製造以下的函數:

$\displaystyle \psi$ : R/ker( $\displaystyle \phi$ ) $\displaystyle \to$ im( $\displaystyle \phi$ ); $\displaystyle \overline{a}$ $\displaystyle \mapsto$ $\displaystyle \phi$ (a), $\displaystyle \forall$ $\displaystyle \overline{a}$ $\displaystyle \in$ R/ker( $\displaystyle \phi$ ).

我們首先說明 $\psi$ 是一個`好函數' (well defined function): 如果 a, b $\in$ R 使得 $\overline{a}$ 和 $\overline{b}$ 在 R/ker( $\phi$ ) 中是相同的. 我們必須說明 $\phi$ (a) = $\phi$ (b). 雖然 a $\ne$ b, 不過由 $\overline{a}$ = $\overline{b}$ 知 a 和 b 在以 ker( $\phi$ ) 這個 ideal 的分類下是同類的. 別忘了 a 和 b 同類表示 a - b $\in$ ker( $\phi$ ). 也就是說 $\phi$ (a - b) = 0. 再利用 $\phi$ 是 ring homomorphism 的假設, 我們得 $\phi$ (a) - $\phi$ (b) = $\phi$ (a - b) = 0. 即 $\phi$ (a) = $\phi$ (b). 所以我們製造的 $\psi$ 是一個 well defined function.

接下來證 $\psi$ 是一個 ring homomorphism: 對任意的 $\overline{a}$ , $\overline{b}$ $\in$ R/ker( $\phi$ ), 我們有

$\displaystyle \psi$ ( $\displaystyle \overline{a}$ + $\displaystyle \overline{b}$ ) = $\displaystyle \psi$ ( $\displaystyle \overline{a+b}$ ) = $\displaystyle \phi$ (a + b) 且 $\displaystyle \psi$ ( $\displaystyle \overline{a}$ ^. $\displaystyle \overline{b}$ ) = $\displaystyle \psi$ ( $\displaystyle \overline{a\cdot b}$ ) = $\displaystyle \phi$ (a^.b).

另一方面因為 $\phi$ 是 ring homomorphism, 所以

$\displaystyle \phi$ (a + b) = $\displaystyle \phi$ (a) + $\displaystyle \phi$ (b) = $\displaystyle \psi$ ( $\displaystyle \overline{a}$ ) + $\displaystyle \psi$ ( $\displaystyle \overline{b}$ ) 且 $\displaystyle \phi$ (a^.b) = $\displaystyle \phi$ (a)^. $\displaystyle \phi$ (b) = $\displaystyle \psi$ ( $\displaystyle \overline{a}$ )^. $\displaystyle \psi$ ( $\displaystyle \overline{b}$ ).

結合以上二式, 我們可得

$\displaystyle \psi$ ( $\displaystyle \overline{a}$ + $\displaystyle \overline{b}$ ) = $\displaystyle \psi$ ( $\displaystyle \overline{a}$ ) + $\displaystyle \psi$ ( $\displaystyle \overline{b}$ ) 且 $\displaystyle \psi$ ( $\displaystyle \overline{a}$ ^. $\displaystyle \overline{b}$ ) = $\displaystyle \psi$ ( $\displaystyle \overline{a}$ )^. $\displaystyle \psi$ ( $\displaystyle \overline{b}$ ).

我們最後要證明 $\psi$ 是 1-1 且 onto. 這其實不必證了(當然你要多此一舉也沒關係), 因為我們在 Theorem 2.6.1 已證過 $\psi$ 這個函數在加法看成是 group homomorphism 已經是 1-1 且 onto.

總結: 我們證得了 $\psi$ 是一個從 G/ker( $\phi$ ) 到 im( $\phi$ ) 的 isomorphism. 所以 G/ker( $\phi$ ) $\simeq$ im( $\phi$ ). $\qedsymbol$

當然了如果定理中的 $\phi$ 是 onto. 那麼我們知 im( $\phi$ ) = R'. 因此我們有以下的引理:

畢b我們來看看 ring 的第二個 isomorphism 定理. 它應該是怎樣的形式呢? 我們先回顧一下 group 的情況: 給定一 group G, 若 H 是 G 的 subgroup 且 N 是 G 的 normal subgroup. 則 H $\cap$ N 是 H 的 normal subgroup, 且 H/(H $\cap$ N) $\simeq$ (H^.N)/N. 好畢b我們把 group 換成 ring, subgroup 換成 subring, normal subgroup 換成 ideal, 最後別忘了將乘改為加.

証明. 首先注意的是由 Lemma 6.2.1 知 S + I 是 R 的 subring, 且 I $\subseteq$ S + I 因此知 I 是 S + I 的 ideal (請參考 6.2 節的最後). 所以 (S + I)/I 確實是一個 ring.

如同在 group 的情況, 我們想用 first isomorphism 定理來證明此定理. 我們先找一個從 S 到 (S + I)/I 的函數. 考� $\phi$ : S $\to$ (S + I)/I, 其中對所有的 s $\in$ S 我們有 $\phi$ (s) = $\overline{s}$ .

畢b要證 $\phi$ 是一個 ring homomorphism. 事實上對任意的 s, s' $\in$ S, 我們有

$\displaystyle \phi$ (s + s') = $\displaystyle \overline{s+ s'}$ = $\displaystyle \overline{s}$ + $\displaystyle \overline{s'}$ = $\displaystyle \phi$ (s) + $\displaystyle \phi$ (s') 且 $\displaystyle \phi$ (s^.s') = $\displaystyle \overline{s\cdot s'}$ = $\displaystyle \overline{s}$ ^. $\displaystyle \overline{s'}$ = $\displaystyle \phi$ (s)^. $\displaystyle \phi$ (s').

利用 Theorem 2.6.4 的證明, 我們得 $\phi$ : S $\to$ (S + I)/I 是 onto. 因此可以用 First Isomorphism Theorem (Corollary 6.4.3) 得到

S/ker( $\displaystyle \phi$ ) $\displaystyle \simeq$ (S + I)/I.

甚麼是 ker( $\phi$ ) 呢? 依定義 ker( $\phi$ ) 是 S 中的元素 s 使得 $\phi$ (s) 是 (S + I)/I 的 identity, $\overline{0}$ . 也就是說 $\phi$ (s) = $\overline{s}$ = $\overline{0}$ . 別忘了 $\overline{s}$ = $\overline{0}$ 表示 s - 0 = s $\in$ I. 由此知 ker( $\phi$ ) 的元素既要在 S 中也要在 I 中; 換句話說 ker( $\phi$ ) $\subseteq$ S $\cap$ I. 反之若 a $\in$ S $\cap$ I, 則因 a $\in$ I 得 $\phi$ (a) = $\overline{a}$ = $\overline{0}$ . 故 S $\cap$ I $\subseteq$ ker( $\phi$ ). 由此知 ker( $\phi$ ) = S $\cap$ I. 因此我們由 Lemma 6.3.3 知 S $\cap$ I 是 S 的 ideal 也由 First Isomorphism Theorem 知

S/(S $\displaystyle \cap$ I) $\displaystyle \simeq$ (S + I)/I.

$\qedsymbol$

最後我們來看第三個 isomorphism 定理. 同樣的, 將 Theorem 2.6.5 中的 group 換成 ring 及 normal subgroup 換成 ideal, 我們有以下之第三 isomorphism 定理:

証明. 我們定 $\psi$ : R $\to$ R'/J', 滿足 $\psi$ (a) = $\overline{\phi(a)}$ , $\forall$ a $\in$ R.

由 $\phi$ 是 ring homomorphism 知

$\displaystyle \psi$ (a + b) = $\displaystyle \overline{\phi(a+ b)}$ = $\displaystyle \overline{\phi(a)+\phi(b)}$ = $\displaystyle \overline{\phi(a)}$ + $\displaystyle \overline{\phi(b)}$ = $\displaystyle \psi$ (a) + $\displaystyle \psi$ (b)

且

$\displaystyle \psi$ (a^.b) = $\displaystyle \overline{\phi(a\cdot b)}$ = $\displaystyle \overline{\phi(a)\cdot\phi(b)}$ = $\displaystyle \overline{\phi(a)}$ ^. $\displaystyle \overline{\phi(b)}$ = $\displaystyle \psi$ (a)^. $\displaystyle \psi$ (b).

故 $\psi$ 是一個從 R 到 R'/J' 的 ring homomorphism.

如前, 我們可用 Theorem 2.6.5 的證明知 $\psi$ : R $\to$ R'/J' 是一個 onto 的 ring homomorphism, 我們再次用 First Isomorphism Theorem 知

R/ker( $\displaystyle \psi$ ) $\displaystyle \simeq$ R'/J'.

甚麼是 ker( $\psi$ ) 呢? 若 a $\in$ ker( $\psi$ ) 即 $\psi$ (a) = $\overline{\phi(a)}$ = $\overline{0}$ , 也就是說 $\phi$ (a) 和 0 在用 J' 的分類下是同類的. 所以 $\phi$ (a) - 0 = $\phi$ (a) $\in$ J'. 由 J 的定義知, 這表示 a $\in$ J. 故 ker( $\psi$ ) $\subseteq$ J. 另� 若 a $\in$ J, 則 $\phi$ (a) $\in$ J' 故在 R'/J' 中 $\psi$ (a) = $\overline{\phi(a)}$ = $\overline{0}$ . 因此 a $\in$ ker( $\psi$ ), 得 J $\subseteq$ ker( $\psi$ ). 也就是說 ker( $\psi$ ) = J 且由 Lemma 6.3.3 知 J 是 R 的 ideal (其實我們在 Theorem 6.3.5 已知 J 是 R 的 ideal). $\qedsymbol$

最後我們利用 Correspondence Theorem 來看 Third Isomorphism Theorem 的一個特殊狀況. 令 I 是 R 的 ideal, $\phi$ : R $\to$ R/I 是定義成 $\phi$ (a) = $\overline{a}$ 這個 onto 的 ring homomorphism. 任意 R/I 中的 ideal J' 由前 Corollary 6.3.7 知是由 R 中的某一 ideal J 利用 $\phi$ 得到: 也就是說 J' = $\phi$ (J) = J/I. 故由 Theorem 6.4.5 我們有以下的定理(有的書是稱這個為 Third Isomorphism Theorem.)