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Ideals 和 Quotient Rings

我們在學習 group 時知道一個 group 的 subgroup 中有一種特別的 subgroup 在處理 group 的問題時特別好用, 就是 normal subgroup. 同樣的在一個 ring 中的 subring 裡, 也有一種很特別的 subring, 我們稱之為 ideal.

我們回憶一下, normal subgroup 之所以比一般的 subgroup 好用在於可以利用它得到一個新的 group 稱之為 quotient group. 也就是說對所有 G 的 subgroup H, 我們可以將 G 用 H 來分類, 然後將同類的元素看成一個新的元素. 不過這些新的元素間一般我們無法定義一個運算讓它成為一個 group, 除非 H 是 G 的一個 normal subgroup. 畢b, 若 R 是一個 ring 且 S 是 R 的 subring, 由於 R 在加法之下是一個 abelian group, 而 S 在加法之下是 R 的一個 subgroup, 利用 abelian group 的 subgroup 都是 normal subgroup, 我們當然有 R/S 這一個加法之下的 quotient group. 我們當然還希望 R/S 中也有乘法, 這樣就可能得到一個新的 ring 了. 要怎樣在 R/S 中定一個和 R 的乘法相關的乘法呢? 我們可以學 2.4 節的方法來處理.

首先必須了解 R/S 中的元素長什麼樣子. 任取 R/S 中的一個元素都可以用 $ \overline{a}$ 來表示, 其中 a $ \in$ R 而 $ \overline{a}$ 是將 R 中所有和 a 同類的元素看成是一個元素. 怎樣的元素會和 a 同類呢? 別忘了這裡我們是用加法所以依定義 a 和 a' 同類若且唯若 a - a' $ \in$ S. 畢b若 $ \overline{a}$,$ \overline{b}$ $ \in$ R/S, 因 S 在加法之下是 R 的 normal subgroup, 由前面知我們自然可定

$\displaystyle \overline{a}$ + $\displaystyle \overline{b}$ = $\displaystyle \overline{a+b}$.

我們當然希望定的乘法是

$\displaystyle \overline{a}$ . $\displaystyle \overline{b}$ = $\displaystyle \overline{a\cdot b}$.

不過這樣定的乘法可能會有問題. 問題發生於 $ \overline{a}$ 在 R/S 中表示法並不唯一, 也就是說存在 a' $ \in$ R 且 a'$ \ne$a 滿足 $ \overline{a}$ = $ \overline{a'}$ (只要 a - a' $ \in$ S 就可). 因此我們要問的是: 如果 $ \overline{a}$ = $ \overline{a'}$ 且 $ \overline{b}$ = $ \overline{b'}$ 會不會發生 $ \overline{a\cdot b}$$ \ne$$ \overline{a'\cdot b'}$ 的眸H? 萬一發生了我們定的乘法就有問題.

S 要有怎樣的性質 R/S 上定的乘法� 不會有問題呢? 也就是任取 r, r' $ \in$ R 以及 s, s' $ \in$ S 我們有 $ \overline{r}$ = $ \overline{r+s}$ 且 $ \overline{r'}$ = $ \overline{r'+s'}$ 因此 $ \overline{r\cdot r'}$ = $ \overline{(r+s)\cdot(r'+s')}$ 表示 r . r' 和 (r + s) . (r' + s') 在 S 的分類之下是相同的. 換句話說: 我們要求

(r + s) . (r' + s') - r . r' = r . s' + s . r' + s . s' $\displaystyle \in$ S. (6.1)

由於 S 是一個 subring, 當然得 s . s' $ \in$ S, 因此式子 (6.1) 等同於要求對任意的 r, r' $ \in$ R 及 s, s' $ \in$ S 皆需符合

r . s' + s . r $\displaystyle \in$ S (6.2)

分別代 s = 0 及 s' = 0 的情況於式子 (6.2), 我們知這等同於要求對任意的 r $ \in$ R 及 s $ \in$ S 皆需符合

r . s $\displaystyle \in$ S    且    s . r $\displaystyle \in$ S.

因此我們自然有以下之定義:

Definition 6.1.1   若 I 是 R 的一個 subring 且符合對任意的 r $ \in$ R 及 a $ \in$ I 皆有

r . a $\displaystyle \in$ I    且    a . r $\displaystyle \in$ I,

則稱 I 為 R 的一個 ideal.

雖然一個 ring 的 ideal 必須是一個 ring, 就如同 subring 的情況我們不必檢查 ring 的所有條件, 利用 Lemma 5.4.2 我們有以下判斷 ideal 的方法.

Lemma 6.1.2   令 R 是一個 ring, I $ \subseteq$ R. 若 I 符合以下兩點, 則 I 是 R 的 ideal:

  1. 對於所有的 a, b $ \in$ I 皆有 a - b $ \in$ I.
  2. 對任意的 a $ \in$ I, r $ \in$ R 皆有 r . a $ \in$ I 且 a . r $ \in$ I.

証 明. 若 a, b $ \in$ I, 則當然 b $ \in$ R, 故條件 (2) 告訴我們對所有的 a, b $ \in$ I 皆有 a . b $ \in$ I. 結合條件 (1), 利用 Lemma 5.4.2 知 I 是 R 的一個 subring. 因此再由條件 (2) 得 I 是 R 的 ideal. $ \qedsymbol$

畢b回到我們考� ideal 的真正目的. 若 I 是 R 這個 ring 的 ideal, 我們想利用 R 的 ring 的性質來創造另一個 ring. 首先我們利用 R 在加法之下是 abelian group 且 I 是其 normal subgroup, 用 I 將 R 分類, 然後將同類的元素所成的集合看成一個新的元素. 如此一來這一個分類後的集合 R/I 可定出一個加法, 而且是 abelian group. 然後再用 I 是 ideal 的性質, 給 R/I 乘法的結構. 也就是說若 $ \overline{a}$ 是與 a 同類的元素所成的集合, $ \overline{b}$ 是與 b 同類的元素所成的集合, 則我們定

$\displaystyle \overline{a}$ + $\displaystyle \overline{b}$ = $\displaystyle \overline{a+b}$    且    $\displaystyle \overline{a}$ . $\displaystyle \overline{b}$ = $\displaystyle \overline{a\cdot b}$.

以下我們將說明 R/I 在此 + 和 . 之下是一個 ring.

首先利用我們知道的 group 理論, R/I 在 + 之下是一個 abelian group, 也就是說 R/I 符合 (R1) 到 (R5) 這 5 項 ring 的條件. 我們只要檢查 (R6), (R7) 和 (R8) 即可.

(R6)
若 $ \overline{a}$, $ \overline{b}$ $ \in$ R/I, 則由於 a . b $ \in$ R 故 $ \overline{a\cdot b}$ $ \in$ R/I. 也就是說 $ \overline{a}$ . $ \overline{b}$ $ \in$ R/I.

(R7)
我們要證明 ($ \overline{a}$ . $ \overline{b}$) . $ \overline{c}$ = $ \overline{a}$ . ($ \overline{b}$ . $ \overline{c}$). 然而

($\displaystyle \overline{a}$ . $\displaystyle \overline{b}$) . $\displaystyle \overline{c}$ = $\displaystyle \overline{a\cdot b}$ . $\displaystyle \overline{c}$ = $\displaystyle \overline{(a\cdot b)\cdot c}$,

且

$\displaystyle \overline{a}$ . ($\displaystyle \overline{b}$ . $\displaystyle \overline{c}$) = $\displaystyle \overline{a}$ . $\displaystyle \overline{b\cdot c}$ = $\displaystyle \overline{a\cdot (b\cdot c)}$

再加上 (a . b) . c = a . (b . c) 所以等式成立.

(R8)
同前面的證明, 由於 a . (b + c) = a . b + a . c 當然可得

$\displaystyle \overline{a}$ . ($\displaystyle \overline{b}$ + $\displaystyle \overline{c}$) = $\displaystyle \overline{a}$ . $\displaystyle \overline{b}$ + $\displaystyle \overline{a}$ . $\displaystyle \overline{c}$.

同理知

($\displaystyle \overline{b}$ + $\displaystyle \overline{c}$) . $\displaystyle \overline{a}$ = $\displaystyle \overline{b}$ . $\displaystyle \overline{a}$ + $\displaystyle \overline{c}$ . $\displaystyle \overline{a}$.

我們稱 R/I 是 R 的一個 quotient ring.

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Administrator 2005-06-18