next up previous
�U�@��: Euclidean Domain �W�@��: Integral Domain �W�����ѩʽ� �e�@��: Integral Domain �W�����ѩʽ�

Divisor

�b integral domain �̤��������Ѥj�a���ӳ��F�ѳ̰򥻪������N�O irreducible elements �M prime elements. �ڭ̱N���t�Ϊ����Q���̪��򥻩ʽ�.

�����ڭ��٬O��@�Ӥ������]�Ƶ��@�ӥ������w�q.

Definition 8.1.1   �O R �O�@�� integral domain �B a, d $ \in$ R �O R ����Ӥ��� 0 ������. �p�G�s�b r $ \in$ R ���� a = d . r, �h�� d �� a �b R �����@�� divisor �B�O�� d | a.

�^�U�@�U�Y R �O integral domain �B d $ \in$ R, �h $ \bigl($d$ \bigr)$ = {d . r | r $ \in$ R} �ҥH�ѤW�@�өw�q�ڭ̫ܮe���� d | a �Y�B�߭Y a $ \in$ $ \bigl($d$ \bigr)$. �M�ӭY a $ \in$ $ \bigl($d$ \bigr)$, �� $ \bigl($d$ \bigr)$ �O�@�� ideal ������N�� r $ \in$ R �Ҧ� a . r $ \in$ $ \bigl($d$ \bigr)$. �G�o $ \bigl($a$ \bigr)$ $ \subseteq$ $ \bigl($d$ \bigr)$. �Ϥ��Y $ \bigl($a$ \bigr)$ $ \subseteq$ $ \bigl($d$ \bigr)$, �� a $ \in$ $ \bigl($a$ \bigr)$ �o�� a $ \in$ $ \bigl($d$ \bigr)$. ���y�ܻ� a $ \in$ $ \bigl($d$ \bigr)$ �Y�B�߭Y $ \bigl($a$ \bigr)$ $ \subseteq$ $ \bigl($d$ \bigr)$, �]���ڭ̦��H�U������:

Lemma 8.1.2   �O R �O�@�� integral domain �B a, d $ \in$ R $ \setminus$ {0} . �h d | a �Y�B�߭Y $ \bigl($a$ \bigr)$ $ \subseteq$ $ \bigl($d$ \bigr)$.

Lemma 8.1.2 ���M²����۷����, ���i�D�ڭ̤��������㰣���Y�i�H�ഫ�� ideal �����]�t���Y. �H��ڭ̭n�ͽר⤸�������㰣���Y�ɧڭ̦��ɤ��� divisor ���w�q�B�z, �ڭ̷|�γo�� ideal �����Y�ӱ��Q, �j�a�|�o��o�Ӥ�k�O²��S��K��.

�Y a $ \in$ R �B a$ \ne$ 0, �ڭ̫ܧ֪��N���D���N R �����@�� unit ���|�O a ���@�� divisor. �o�O�ѩ�Y u �O R ���� unit, �h $ \bigl($u$ \bigr)$ = R (Lemma 6.2.4). �G�� $ \bigl($a$ \bigr)$ $ \subseteq$ R = $ \bigl($u$ \bigr)$ �� u | a. �t�@�譱�� u �O unit ��, a . u �]�O a �� divisor. �o�]�i�� $ \bigl($a . u$ \bigr)$ = $ \bigl($a$ \bigr)$ (Lemma 6.5.4) �� Lemma 8.1.2 ���W�o��. u �M a . u �o�� a �� divisor �� a �����ѨS���ƻ����U, �ڭ̺٤��� a �� trivial divisor. �H�U Lemma �O���Q a . u �o�� a �� trivial divisor �M a ��²�����Y.

Lemma 8.1.3   �O R �O�@�� integral domain �B a �M b �O R ����Ӥ��� 0 ������. �U�C�T�� a �M b �����Y�O������.
  1. �s�b u $ \in$ R �O R ���@�� unit ���� a = b . u.
  2. $ \bigl($a$ \bigr)$ = $ \bigl($b$ \bigr)$.
  3. a | b �B b | a.

�� ��. (1) $ \Rightarrow$ (2): �i�� Lemma 6.5.4 �� $ \bigl($a$ \bigr)$ = $ \bigl($b$ \bigr)$.

(2) $ \Rightarrow$ (3): �i�� Lemma 8.1.2 �������o.

(3) $ \Rightarrow$ (1): �� a | b ���s�b r $ \in$ R �ϱo b = a . r, �A�� b | a ���s�b r' $ \in$ R �ϱo a = b . r'. �G��

a = b . r' = (a . r) . r' = a . (r . r').

�]�N�O��

a . (1 - r . r') = a - a . (r . r') = 0.

�Q�� a$ \ne$ 0 �B R �O�@�� integral domain, �o r . r' = 1. ���y�ܻ� r' �O R ���@�� unit. $ \qedsymbol$

���F��K�_��, �ڭ̵��� Lemma 8.1.3 �������Y�@�ӯS�����W��.

Definition 8.1.4   �Y a, b $ \in$ R $ \setminus$ {0} �B�s�b u $ \in$ R �O R �����@�� unit ���� a = b . u, �h�� a �M b �O associates. �O�� a $ \sim$ b.

�Q�� Lemma 8.1.3 ���� (2) �ڭ̪� a $ \sim$ b �Y�B�߭Y $ \bigl($a$ \bigr)$ = $ \bigl($b$ \bigr)$, �ҥH���W�o�� $ \sim$ �O�@�� equivalence relation.

�^�U�@�U�b $ \mathbb {Z}$ ���ڭ̩w a, b �� greatest common divisor �O a, b �� common divisor ���̤j��, �Ӧb F[x] ���ڭ̩w f (x), g(x) �� greatest common divisor �O f (x), g(x) �� common divisor �� degree �̤j��. �b�@�몺 integral domain �O�L�k�w�j�p�� degree ��. ���L�e��ر��p�� greatest common divisor �����@�Ӧ@�P���ʽ� (�Ѩ� Corollary 7.1.5 (2) �H�� Corollary 7.2.9 (2)), �ڭ̴N�γo�өʽ�өw integral domain ���� greatest common divisor.

Definition 8.1.5   �Y R �O�@�� integral domain, a1,..., an �O R �����D 0 ����.
  1. �Y c $ \in$ R ���� c | ai,  $ \forall$ i $ \in$ {1,..., n} �h�� c �O a1,..., an ���@�� common divisor.
  2. �Y d $ \in$ R �O a1,..., an ���@�� common divisor �B��������N a1,..., an �� common divisor c �Һ��� c | d, �h�� d �O a1,..., an ���@�� greatest common divisor.

�Y u �O R ���� unit, �h�ѩ� $ \bigl($u$ \bigr)$ = R (Lemma 6.2.4) �i������N a1,..., an �Ҧ� $ \bigl($ai$ \bigr)$ $ \subseteq$ $ \bigl($u$ \bigr)$, $ \forall$ i $ \in$ {1,..., n}. �]�N�O�� u | ai, $ \forall$ i $ \in$ {1,..., n}. �G�� R ���� unit ���O a1,..., an �� common divisor. ���L��@�몺 integral domain, ����N�� a1,..., an �� greatest common divisor �����s�b. �Y�Ϧs�b�� greatest common divisor �]���@�w�ߤ@ (�b F[x] �����p�N�O�@��). �t� �n�`�N���O�b���w�q���U $ \mathbb {Z}$ ���� greatest common divisor �M Section 7.1 �� Definition 7.1.3 �� greatest common divisor �ۮt�F�@�ӥ��t��. ���ۧڭ̦C�X greatest common divisor ���򥻩ʽ�.

Lemma 8.1.6   �] R �O�@�� integral domain.
  1. ���] d �M d' �Ҭ� a1,..., an �� greatest common divisor, �h d �M d' associates.
  2. ���] R ������ӫD 0 ������ greatest common divisor �s�b, �h R �����N n �ӫD 0 ������ greatest common divisor �]�s�b.

�� ��. (1) �Y d �M d' �ҬO a1,..., an �� greatest common divisor, �h�ѩw�q�� d �O a1,..., an �� common divisor. �A�Q�� d' �O a1,..., an �� greatest common divisor �o�� d | d'. �P�z�o d' | d. �G�Q�� Lemma 8.1.3 �� d $ \sim$ d'.

(2) ���] R ������ӫD 0 ������ greatest common divisor �s�b, �ڭ̧Q�μƾ��k�Ǫk�ҩ����N n �ӫD 0 ���� a1,..., an �� greatest common divisor �]�s�b. ���]���N n - 1 �ӫD 0 ���� a1,..., an - 1 �� greatest common divisor �s�b�B�� d0. �] d0 �M an �ҬO R �����D 0 ����, �Ѱ��]���� greatest common divisor �s�b. �O d �� d0 �M an �� greatest common divisor, �ڭ̭n�ҩ� d �� a1,..., an �� greatest common divisor.

������ d | d0 �B d0 �O a1,..., an1 �� common divisor �� d | d0 | ai, $ \forall$ i $ \in$ {1,..., n - 1}. �A�� d | an �� d �O a1,..., an ���@�� common divisor.

���ۭY c �O a1,..., an ���@�� common divisor, �h c ���M�O a1,..., an - 1 ���@�� common divisor. �G�� d0 �O a1,..., an - 1 �� greatest common divisor �� c | d0. ������ c �O d0 �M an ���@�� common divisor. �G�� d �O d0 �M an �� greatest common divisor �� c | d. �]���ѩw�q�� d �O a1,..., an �� greatest common divisor. $ \qedsymbol$

�̫�ڭ̭n�w�q irreducible element �M prime element. Irreducible �O���i���Ѫ��N��, �������N�O���F trivial divisor � �S����L�� divisor.

Definition 8.1.7   �] R �O�@�� integral domain.
  1. �Y a �O R �����D 0 �����B���� a �� divisor ���O trivial divisor (�]�N�O��, �Y d | a �h d �O�@�� unit �� d $ \sim$ a), �h�� a �O R ���@�� irreducible element.
  2. �Y p �O R �����D 0 �����B����N���� p | c . d �� c, d $ \in$ R �Ҧ� p | c �� p | d, �h�� p �O R ���@�� prime element.

�ڭ̴��L irreducible element �M prime element ���w�q�򥻤W�O���P��, �ҥH���̭�h�W�O��ؤ��P���S��. ���L�H�U�����G�i�D�ڭ̦b integral domain ���U prime element �@�w�O irreducible element.

Lemma 8.1.8   ���] R �O integral domain. �Y a $ \in$ R �O�@�� prime element, �h a �]�O�@�� irreducible element.

�� ��. ���� d | a, �n�� a �O irreducible �N�O�n�ҩ� d �O�@�� unit �� d $ \sim$ a. �ѩ� d | a, �G�s�b r $ \in$ R ���� a = d . r. �ҥH�ڭ̦� a | d . r. �Q�� a �O prime ���ʽ誾 a | d �� a | r. �p�G a | d, �� d | a �����]�H�� Lemma 8.1.3 �� d $ \sim$ a. �p�G a | r, �P�˪��� Lemma 8.1.3 �� a $ \sim$ r. ���y�ܻ�, �s�b�@�� unit u �ϱo a = u . r. �� a = d . r = u . r �H�� R �O�@�� integral domain �� d = u �O�@�� unit. $ \qedsymbol$

�e�����g���L�ڭ̳��w�� ideal �����Y�Ӵyø���������㰣���Y. �U���� Lemma �N�O�i�D�ڭ� irreducible element �M prime element �Ҳ��ͪ� principle ideal �ҹ������ʽ�.

Lemma 8.1.9   ���] R �O�@�� integral domain, a $ \in$ R �B a$ \ne$ 0.
  1. a �O�@�� irreducible element �Y�B�߭Y�S�� nontrivial principle ideal �]�t $ \bigl($a$ \bigr)$.
  2. a �O�@�� prime element �Y�B�߭Y $ \bigl($a$ \bigr)$ �O�@�� prime ideal.

�� ��. (1) $ \Rightarrow$: ���] a �O�@�� irreducible element, �p�G�s�b b $ \in$ R ���� $ \bigl($a$ \bigr)$ $ \subseteq$ $ \bigl($b$ \bigr)$, �� Lemma 8.1.2 �� b | a. �G�� a �O irreducible �o b �O�@�� unit �άO b $ \sim$ a. ������ $ \bigl($b$ \bigr)$ = R (Lemma 6.2.4) �� $ \bigl($b$ \bigr)$ = $ \bigl($a$ \bigr)$ (Lemma 6.5.4). �ҥH�䤣�� nontrivial principle ideal �]�t $ \bigl($a$ \bigr)$.

$ \Leftarrow$: �Ϥ��Y d | a, �h�� $ \bigl($a$ \bigr)$ $ \subseteq$ $ \bigl($d$ \bigr)$. �Ѱ��]�S�� nontrivial principle ideal �]�t $ \bigl($a$ \bigr)$, �o $ \bigl($d$ \bigr)$ �O�@�� trivial principle ideal �]�t $ \bigl($a$ \bigr)$. ������ $ \bigl($d$ \bigr)$ = R �� $ \bigl($d$ \bigr)$ = $ \bigl($a$ \bigr)$. �Y $ \bigl($d$ \bigr)$ = R ���� $ \bigl($d$ \bigr)$ = $ \bigl($1$ \bigr)$ �G�� Lemma 8.1.3 �� d $ \sim$ 1, �]�N�O�� d �O�@�� unit. �Y $ \bigl($d$ \bigr)$ = $ \bigl($a$ \bigr)$ �P�˥� Lemma 8.1.3 �� d $ \sim$ a. �G�o a �O�@�� irreducible element.

(2) $ \Rightarrow$: ���] a �O�@�� prime element. �p�G c . d $ \in$ $ \bigl($a$ \bigr)$, �� a | c . d. �G�� a �O prime �����]�� a | c �� a | d. �o�i�D�ڭ� c $ \in$ $ \bigl($a$ \bigr)$ �� d $ \in$ $ \bigl($a$ \bigr)$, �G�o�� $ \bigl($a$ \bigr)$ �O�@�� prime ideal.

$ \Leftarrow$: ���] $ \bigl($a$ \bigr)$ �O�@�� prime ideal. ���� c, d $ \in$ R ���� a | c . d, �� c . d $ \in$ $ \bigl($a$ \bigr)$. �G�� $ \bigl($a$ \bigr)$ �O�@�� prime ideal �����]�o c $ \in$ $ \bigl($a$ \bigr)$ �� d $ \in$ $ \bigl($a$ \bigr)$. ������ a | c �� a | d, �G�o�� a �O�@�� prime element. $ \qedsymbol$


next up previous
�U�@��: Euclidean Domain �W�@��: Integral Domain �W�����ѩʽ� �e�@��: Integral Domain �W�����ѩʽ�
Administrator 2005-06-18