Divisor

回顧一下若 R 是 integral domain 且 d $\in$ R, 則 $\bigl($ d $\bigr)$ = {d^.r | r $\in$ R} 所以由上一個定義我們很容易知 d | a 若且唯若 a $\in$ $\bigl($ d $\bigr)$ . 然而若 a $\in$ $\bigl($ d $\bigr)$ , 由 $\bigl($ d $\bigr)$ 是一個 ideal 知對任意的 r $\in$ R 皆有 a^.r $\in$ $\bigl($ d $\bigr)$ . 故得 $\bigl($ a $\bigr)$ $\subseteq$ $\bigl($ d $\bigr)$ . 反之若 $\bigl($ a $\bigr)$ $\subseteq$ $\bigl($ d $\bigr)$ , 由 a $\in$ $\bigl($ a $\bigr)$ 得知 a $\in$ $\bigl($ d $\bigr)$ . 換句話說 a $\in$ $\bigl($ d $\bigr)$ 若且唯若 $\bigl($ a $\bigr)$ $\subseteq$ $\bigl($ d $\bigr)$ , 因此我們有以下的結論:

Lemma 8.1.2 雖然簡單但相當實用, 它告訴我們元素間的整除關係可以轉換成 ideal 間的包含關係. 以後我們要談論兩元素間的整除關係時我們有時不用 divisor 的定義處理, 我們會用這種 ideal 的關係來探討, 大家會發眾o個方法是簡潔又方便的.

若 a $\in$ R 且 a $\ne$ 0, 我們很快的就知道任意 R 中的一個 unit 都會是 a 的一個 divisor. 這是由於若 u 是 R 中的 unit, 則 $\bigl($ u $\bigr)$ = R (Lemma 6.2.4). 故由 $\bigl($ a $\bigr)$ $\subseteq$ R = $\bigl($ u $\bigr)$ 知 u | a. 另一方面當 u 是 unit 時, a^.u 也是 a 的 divisor. 這也可由 $\bigl($ a^.u $\bigr)$ = $\bigl($ a $\bigr)$ (Lemma 6.5.4) 及 Lemma 8.1.2 馬上得到. u 和 a^.u 這種 a 的 divisor 對 a 的分解沒有甚麼幫助, 我們稱之為 a 的 trivial divisor. 以下 Lemma 是探討 a^.u 這個 a 的 trivial divisor 和 a 的簡單關係.

証明. (1) $\Rightarrow$ (2): 可由 Lemma 6.5.4 知 $\bigl($ a $\bigr)$ = $\bigl($ b $\bigr)$ .

(2) $\Rightarrow$ (3): 可由 Lemma 8.1.2 直接推得.

(3) $\Rightarrow$ (1): 由 a | b 知存在 r $\in$ R 使得 b = a^.r, 再由 b | a 知存在 r' $\in$ R 使得 a = b^.r'. 故知

a = b^.r' = (a^.r)^.r' = a^.(r^.r').

也就是說

a^.(1 - r^.r') = a - a^.(r^.r') = 0.

利用 a $\ne$ 0 且 R 是一個 integral domain, 得 r^.r' = 1. 換句話說 r' 是 R 的一個 unit. $\qedsymbol$

利用 Lemma 8.1.3 中的 (2) 我們知 a $\sim$ b 若且唯若 $\bigl($ a $\bigr)$ = $\bigl($ b $\bigr)$ , 所以馬上得知 $\sim$ 是一個 equivalence relation.

回顧一下在 $\mathbb {Z}$ 中我們定 a, b 的 greatest common divisor 是 a, b 的 common divisor 中最大的, 而在 F[x] 中我們定 f (x), g(x) 的 greatest common divisor 是 f (x), g(x) 的 common divisor 中 degree 最大的. 在一般的 integral domain 是無法定大小或 degree 的. 不過前兩種情況的 greatest common divisor 都有一個共同的性質 (參見 Corollary 7.1.5 (2) 以及 Corollary 7.2.9 (2)), 我們就用這個性質來定 integral domain 中的 greatest common divisor.

Definition 8.1.5 若 R 是一個 integral domain, a₁,..., a_n 是 R 中的非 0 元素.

若 c $\in$ R 滿足 c | a_i, $\forall$ i $\in$ {1,..., n} 則稱 c 是 a₁,..., a_n 的一個 common divisor.
若 d $\in$ R 是 a₁,..., a_n 的一個 common divisor 且滿足對任意 a₁,..., a_n 的 common divisor c 皆滿足 c | d, 則稱 d 是 a₁,..., a_n 的一個 greatest common divisor.

若 u 是 R 中的 unit, 則由於 $\bigl($ u $\bigr)$ = R (Lemma 6.2.4) 可知對任意 a₁,..., a_n 皆有 $\bigl($ a_i $\bigr)$ $\subseteq$ $\bigl($ u $\bigr)$ , $\forall$ i $\in$ {1,..., n}. 也就是說 u | a_i, $\forall$ i $\in$ {1,..., n}. 故知 R 中的 unit 都是 a₁,..., a_n 的 common divisor. 不過對一般的 integral domain, 對任意的 a₁,..., a_n 其 greatest common divisor 未必存在. 即使存在其 greatest common divisor 也不一定唯一 (在 F[x] 的情況就是一例). 另� 要注意的是在此定義之下 $\mathbb {Z}$ 中的 greatest common divisor 和 Section 7.1 中 Definition 7.1.3 的 greatest common divisor 相差了一個正負號. 接著我們列出 greatest common divisor 的基本性質.

証明. (1) 若 d 和 d' 皆是 a₁,..., a_n 的 greatest common divisor, 則由定義知 d 是 a₁,..., a_n 的 common divisor. 再利用 d' 是 a₁,..., a_n 的 greatest common divisor 得證 d | d'. 同理得 d' | d. 故利用 Lemma 8.1.3 知 d $\sim$ d'.

(2) 假設 R 中任兩個非 0 元素的 greatest common divisor 存在, 我們利用數學歸納法證明任意 n 個非 0 元素 a₁,..., a_n 的 greatest common divisor 也存在. 假設任意 n - 1 個非 0 元素 a₁,..., a_{n - 1} 的 greatest common divisor 存在且為 d₀. 因 d₀ 和 a_n 皆是 R 中的非 0 元素, 由假設知其 greatest common divisor 存在. 令 d 為 d₀ 和 a_n 的 greatest common divisor, 我們要證明 d 為 a₁,..., a_n 的 greatest common divisor.

首先由 d | d₀ 且 d₀ 是 a₁,..., a_n₁ 的 common divisor 知 d | d₀ | a_i, $\forall$ i $\in$ {1,..., n - 1}. 再由 d | a_n 知 d 是 a₁,..., a_n 的一個 common divisor.

接著若 c 是 a₁,..., a_n 的一個 common divisor, 則 c 當然是 a₁,..., a_{n - 1} 的一個 common divisor. 故由 d₀ 是 a₁,..., a_{n - 1} 的 greatest common divisor 知 c | d₀. 換言之 c 是 d₀ 和 a_n 的一個 common divisor. 故由 d 是 d₀ 和 a_n 的 greatest common divisor 知 c | d. 因此由定義知 d 是 a₁,..., a_n 的 greatest common divisor. $\qedsymbol$

最後我們要定義 irreducible element 和 prime element. Irreducible 是不可分解的意思, 換言之就是除了 trivial divisor � 沒有其他的 divisor.

Definition 8.1.7 設 R 是一個 integral domain.

若 a 是 R 中的非 0 元素且滿足 a 的 divisor 都是 trivial divisor (也就是說, 若 d | a 則 d 是一個 unit 或 d $\sim$ a), 則稱 a 是 R 的一個 irreducible element.
若 p 是 R 中的非 0 元素且對任意滿足 p | c^.d 的 c, d $\in$ R 皆有 p | c 或 p | d, 則稱 p 是 R 的一個 prime element.

我們提過 irreducible element 和 prime element 的定義基本上是不同的, 所以它們原則上是兩種不同的特性. 不過以下的結果告訴我們在 integral domain 之下 prime element 一定是 irreducible element.

前面曾經提過我們喜歡用 ideal 的關係來描繪元素間的整除關係. 下面的 Lemma 就是告訴我們 irreducible element 和 prime element 所產生的 principle ideal 所對應的性質.

証明. (1) $\Rightarrow$ : 假設 a 是一個 irreducible element, 如果存在 b $\in$ R 滿足 $\bigl($ a $\bigr)$ $\subseteq$ $\bigl($ b $\bigr)$ , 由 Lemma 8.1.2 知 b | a. 故由 a 是 irreducible 得 b 是一個 unit 或是 b $\sim$ a. 換言之 $\bigl($ b $\bigr)$ = R (Lemma 6.2.4) 或 $\bigl($ b $\bigr)$ = $\bigl($ a $\bigr)$ (Lemma 6.5.4). 所以找不到 nontrivial principle ideal 包含 $\bigl($ a $\bigr)$ .

$\Leftarrow$ : 反之若 d | a, 則知 $\bigl($ a $\bigr)$ $\subseteq$ $\bigl($ d $\bigr)$ . 由假設沒有 nontrivial principle ideal 包含 $\bigl($ a $\bigr)$ , 得 $\bigl($ d $\bigr)$ 是一個 trivial principle ideal 包含 $\bigl($ a $\bigr)$ . 換言之 $\bigl($ d $\bigr)$ = R 或 $\bigl($ d $\bigr)$ = $\bigl($ a $\bigr)$ . 若 $\bigl($ d $\bigr)$ = R 表示 $\bigl($ d $\bigr)$ = $\bigl($ 1 $\bigr)$ 故由 Lemma 8.1.3 知 d $\sim$ 1, 也就是說 d 是一個 unit. 若 $\bigl($ d $\bigr)$ = $\bigl($ a $\bigr)$ 同樣由 Lemma 8.1.3 知 d $\sim$ a. 故得 a 是一個 irreducible element.

(2) $\Rightarrow$ : 假設 a 是一個 prime element. 如果 c^.d $\in$ $\bigl($ a $\bigr)$ , 知 a | c^.d. 故由 a 是 prime 的假設知 a | c 或 a | d. 這告訴我們 c $\in$ $\bigl($ a $\bigr)$ 或 d $\in$ $\bigl($ a $\bigr)$ , 故得證 $\bigl($ a $\bigr)$ 是一個 prime ideal.

$\Leftarrow$ : 假設 $\bigl($ a $\bigr)$ 是一個 prime ideal. 任取 c, d $\in$ R 滿足 a | c^.d, 知 c^.d $\in$ $\bigl($ a $\bigr)$ . 故由 $\bigl($ a $\bigr)$ 是一個 prime ideal 的假設得 c $\in$ $\bigl($ a $\bigr)$ 或 d $\in$ $\bigl($ a $\bigr)$ . 換言之 a | c 或 a | d, 故得證 a 是一個 prime element. $\qedsymbol$