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Polynomials over the Integers

前一章節的結果當然都可以套用到有理係數的 polynomials, 但卻不能完完整整的套用到整係數的 polynomials. 這一章我們將看看整係數和有理係數 polynomials 的異同. 最後再利用前面章節提到整數的唯一分解性以及有理係數的 polynomial ring 的唯一分解性, 得到整係數的 polynomial ring 的唯一分解性.

我們令 $ \mathbb {Q}$[x] 表示所有有理係數 polynomials 所成的集合且令 $ \mathbb {Z}$[x] 表示所有整係數 polynomials 所成的集合. 前面已知 $ \mathbb {Q}$[x] 用一般的加法和乘法可形成一個 ring, 我們稱之為 polynomial ring over $ \mathbb {Q}$. 同理我們也可以證出 $ \mathbb {Z}$[x] 也是一個 ring, 我們稱之為 polynomial ring over $ \mathbb {Z}$.

$ \mathbb {Z}$[x] 的 0 和 1 和 $ \mathbb {Q}$[x] 的 0 和 1 相同. 我們也可在 $ \mathbb {Z}$[x] 中定義 degree (反正可以把 $ \mathbb {Z}$[x] 看成 $ \mathbb {Q}$[x] 的子集合). 所以利用和 Lemma 7.2.3 相同的證明, 我們可得 $ \mathbb {Z}$[x] 是一個 integral domain. $ \mathbb {Z}$[x] 和 $ \mathbb {Q}$[x] 最大的不同是 $ \mathbb {Q}$[x] 中所有非 0 的常數都是 unit, 然而 $ \mathbb {Z}$[x] 中只有 ±1 這兩個常數為其 unit. 這是因為利用 Lemma 7.2.3 的證明我們知道 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 unit 其 degree 一定是 0, 所以只有常數� 可能是 $ \mathbb {Z}$[x] 的 unit, 然而因我們只考撫舕Y數, 所以在 $ \mathbb {Z}$ 中的 unit � 可以是 $ \mathbb {Z}$[x] 的 unit, 也就是 ±1. 因此這裡我們必須提醒大家, 在 $ \mathbb {Z}$[x] 中談分解時要將常數的分解列入考�.

在 Remark 7.2.5 中我們提及 $ \mathbb {Z}$[x] 中並沒有餘式定理, 所以在 $ \mathbb {Q}$[x] 中可利用餘式定理得到的所有 ideal 都是 principle ideal (Theorem 7.2.6) 對 $ \mathbb {Z}$[x] 就不一定對. 事實上我們可以在 $ \mathbb {Z}$[x] 中找到一個 (當然不只一個) ideal 它不是 principle ideal.

Example 7.3.1   我們要說明在 $ \mathbb {Z}$[x] 中 I = (2) + (x) 不是 principle ideal. 假設 I 是 principle ideal, 即存在 f (x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 使得 I = $ \bigl($f (x)$ \bigr)$. 利用 2 $ \in$ I, 我們得到 2 $ \in$ $ \bigl($f (x)$ \bigr)$, 也就是存在 h(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 滿足 2 = h(x) . f (x). 利用 degree 馬上可知 deg(f (x)) = 0, 也就是說 f (x) 是一個常數 c $ \in$ $ \mathbb {Z}$. 畢b利用 x $ \in$ I = $ \bigl($c$ \bigr)$ 知存在 g(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 使得 x = c . g(x). 注意 c . g(x) 這一個多項式它的係數一定是 c 的倍數 (別忘了 g(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x], 所以 g(x) 的係數都是整數). 因此由 x = c . g(x) 知 x 這一個多項式的係數應該是 c 的倍數. 然而 x 這一個多項式只有 x 這一項且其係數是 1, 故得 c | 1, 也就是 c = ±1. 因 c 是 unit, Lemma 6.2.4 告訴我們 I = $ \bigl($c$ \bigr)$ = $ \mathbb {Z}$[x], 換句話說 1 $ \in$ I = $ \bigl($2$ \bigr)$ + $ \bigl($x$ \bigr)$. 利用 $ \bigl($2$ \bigr)$ + $ \bigl($x$ \bigr)$ 的定義知這表示存在 n(x), m(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 使得 1 = 2 . n(x) + x . m(x). 不過 x . m(x) 沒有常數項, 而 2 . n(x) 的常數項一定是 2 的倍數, 所以 2 . n(x) + x . m(x) 的常數項一定不可能為 1. 故當 n(x), m(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 時 1 = 2 . n(x) + x . m(x) 不可能成立. 此矛盾發生於我們的假設 I 是 principle ideal, 故得 I = $ \bigl($2$ \bigr)$ + $ \bigl($x$ \bigr)$ 不可能是 $ \mathbb {Z}$[x] 的 principle ideal.

好了既然 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 ideal 不一定是 principle ideal 那麼我們就不能學 Proposition 7.2.11 的方法得到 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 irreducible element 就是 prime element 了. 不能用這套方法並不表示結果會錯, 因為有可能用另一套方法可以得到想要的結果啊! 沒錯我們將會證明在 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 irreducible element 和 prime element 是相同的, 不過我們要發展另一套的方法來得到.

這個方法其實就是要克服前面提到 $ \mathbb {Z}$[x] 和 $ \mathbb {Q}$[x] 最大的不同就是在 $ \mathbb {Z}$[x] 中要考摹`數的分解. 給定 f (x) = a0 + a1x + ... + anxn $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 要將 f (x) 分解成 degree 比較小的 polynomials 相乘之前, 可以先考憧i不可以提出一個常數出來 (因為若這個常數不是 ±1 那麼在 $ \mathbb {Z}$[x] 中這就算是一個``有效''的分解). 可以提出甚麼常數出來呢? 大家都會想到提出那些係數 a0, a1,..., an 的最大公因數吧! 所以我們有以下簡單但重要之結果.

Lemma 7.3.2   若 f (x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 是一個非 0 的 polynomial, 則 f (x) 可唯一寫成 f (x) = c . f*(x), 其中 c $ \in$ $ \mathbb {N}$, f*(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 且 f*(x) 的係數的最大公因數是 1.

証 明. 首先證明存在性: 若 f (x) = a0 + a1x + ... + anxn, 令 d = gcd(a0, a1,..., an). 由最大公因數的性質知 a0 = d . b0, a1 = d . b1,..., an = d . bn 且 gcd(b0, b1,..., bn) = 1. 故可將 f (x) 寫成 d . (b0 + b1x + ... + bnxn) 為所要求的形式.

接著證明唯一性: 假設 f (x) = c . f*(x), 其中 c $ \in$ $ \mathbb {N}$ 且 f*(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x]. 將 c 乘入 f*(x) 的各項係數中, 知 f (x) 的所有係數 a0, a1,..., an 都會是 c 的倍數. 也就是 c 是 a0, a1,..., an 的公因數. 如果 c$ \ne$d = gcd(a0, a1,..., an), 則 f*(x) 的係數中會有 d /c 這一個不是 1 的公因數, 此和 f*(x) 的各項係數的最大公因數為 1 相矛盾. 故得 d = c, 也就是說 d . f*(x) = d . (b0 + b1x + ... + bnxn). 最後因 $ \mathbb {Z}$[x] 是 integral domain, 我們得 f*(x) = b0 + b1x + ... + bnxn. $ \qedsymbol$

有了 Lemma 7.3.2, 我們有以下的定義.

Definition 7.3.3   若 f (x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 可寫成 f (x) = c . f*(x), 其中 c $ \in$ $ \mathbb {N}$, f*(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 且 f*(x) 的係數的最大公因數是 1. 則稱 c 為 f (x) 的 content, 記為 c(f ). 若 f (x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 且 c(f )= 1, 則稱 f (x) 是一個 primitive polynomial.

其實 c(f ) 就是 f (x) 的所有係數的最大公因數. Lemma 7.3.2 告訴我們說任意的 f (x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 都可以寫成其 content 乘上一個 primitive polynomial. 我們可以將 Lemma 7.3.2 推廣到 $ \mathbb {Q}$[x] 中.

Proposition 7.3.4   若 f (x) $ \in$ $ \mathbb {Q}$[x] 是一個非 0 的 polynomial, 則 f (x) 可唯一寫成 f (x) = c . f*(x), 其中 c $ \in$ $ \mathbb {Q}$, c > 0 且 f*(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 是一個 primitive polynomial.

証 明. 首先證明存在性: 若 f (x) = a0 + a1x + ... + anxn, 其中 ai $ \in$ $ \mathbb {Q}$. 我們可找到一正整數 m 使得 m . f (x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] (比方說令 m 為 這些 ai 分母的乘積). 既然 m . f (x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 由 Lemma 7.3.2 的存在性知存在正整數 a 以及 f*(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 其中 f*(x) 是 primitive polynomial, 使得 m . f (x) = a . f*(x). 故得

f (x) = $\displaystyle {\frac{a}{m}}$ . f*(x)

為所要求的形式.

至於唯一性我們假設 f (x) = d . f*(x) = d' . g(x) 其中 d, d' 都是正的有理數而 f*(x), g(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 都是 primitive polynomials. 將 d 和 d' 分別寫成 a/b 和 a'/b', 其中 a, a', b, b' $ \in$ $ \mathbb {N}$. 我們可得

(a . b') . f*(x) = (a' . b) . g(x).

別忘了 (a . b') . f*(x),(a' . b) . g(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 又因 a . b', a' . b $ \in$ $ \mathbb {N}$ 且 f*(x), g(x) 都是 primitive polynomial, 由 Lemma 7.3.2 的唯一性知: a . b' = b . a' (即 d = d') 且 f*(x) = g(x). 故得證唯一性. $ \qedsymbol$

由 Proposition 7.3.4, 我們可以把 content 的定義推廣到 $ \mathbb {Q}$[x], 以後我們將會把任意的 f (x) $ \in$ $ \mathbb {Q}$[x] 寫成 f (x) = c(f ) . f*(x), 其中 0 < c(f ) $ \in$ $ \mathbb {Q}$ 是 f (x) 的 content, f*(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 是一個 primitive polynomial.

當 f (x), g(x) $ \in$ $ \mathbb {Q}$[x], 要計算 f (x) . g(x) 的 content, 其實是很複雜的. 我們必須把兩個 polynomial 乘�, 移項整理, 再通分找最大公因數. 我們當然希望 f (x) . g(x) 的 content 可以由 f (x) 和 g(x) 的 contents 直接求出就好了. 讓我們先看一個特殊例子就是 f (x) 和 g(x) 的 contents 都是 1 的情況.

Lemma 7.3.5 (Gauss Lemma)   若 f (x), g(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 都是 primitive polynomials, 則 f (x) . g(x) 也是一個 primitive polynomial.

証 明. 設 f (x) = anxn + ... + a1x + a0, g(x) = bmxm + ... + b1x + b0, 我們要用反證法證明若 c(f )= c(g) = 1, 則 c(f . g) = 1. 假設 c(f . g) = d$ \ne$1, 取一質數 p 使得 p | d, 也就是 p 整除 f (x) . g(x) 的所有係數. 然因 c(f )= c(g) = 1, 故必存在 ai, bj 使得 p$ \nmid$ai 且 p$ \nmid$bj. 令 r 是最小的整數使得 p$ \nmid$ar (也就是 p$ \nmid$ar, 但對任意的 i < r, p | ai), 同樣的令 s 是最小的整數使得 p$ \nmid$bs. 笙[察 f (x) . g(x) 的 xr + s 項係數:

$\displaystyle \sum_{i+j=r+s}^{}$ai . bj.

除了 ar . bs 以� , 其他項的 ai . bj 要不是 i < r 就是 j < s. 否則若 i > r 且 j > s 那麼 i + j > r + s 就不可能符合 i + j = r + s 了. 如果 i < r 由當初 r 的選取知 p | ai, 故知此情況下 p | ai . bj. 同理, 若 j < s 也可得 p | ai . bj. 總而言之, f (x) . g(x) 的 xr + s 項的係數除了 ar . bs � 其他的 ai . bj 都可被 p 整除. 然而當初假設 p$ \nmid$ar 且 p$ \nmid$bs, 故知 p$ \nmid$ar . bs. 也就是說 f (x) . g(x) 的 xr + s 項的係數不可被 p 整除. 這和當初假設 p 可整除 f (x) . g(x) 的每一項的係數相矛盾. 故知不可能 c(f . g)$ \ne$1, 所以 f (x) . g(x) 也是 primitive polynomial. $ \qedsymbol$

有了 Gauss Lemma 對於一般的 f (x), g(x) $ \in$ $ \mathbb {Q}$[x], 我們很快的就可以計算出 c(f . g).

Proposition 7.3.6   若 f (x), g(x) $ \in$ $ \mathbb {Q}$[x] 都是非 0 的 polynomial, 則

c(f . g) = c(f ) . c(g).

証 明. 由 Lemma 7.3.4 知可將 f (x) 和 g(x) 分別寫成 f (x) = c(f ) . f*(x) 和 g(x) = c(g) . g*(x), 其中 f*(x) 和 g*(x) 都是 primitive polynomials. 故得

f (x) . g(x) = $\displaystyle \bigl($c(f ) . c(g)$\displaystyle \bigr)$ . $\displaystyle \bigl($f*(x) . g*(x)$\displaystyle \bigr)$.

再由 Lemma 7.3.4 知 f (x) . g(x) 可唯一寫成 c(f . g) . h(x) 其中 h(x) 是 primitive polynomial. 然而 Lemma 7.3.5 告訴我們 f*(x) . g*(x) 是 primitive polynomial, 故由唯一性知 f*(x) . g*(x) = h(x) 且 c(f ) . c(g) = c(f . g). $ \qedsymbol$

接下來我們要談 $ \mathbb {Z}$[x] 上的分解, 首先要區分一下在 $ \mathbb {Z}$[x] 和 $ \mathbb {Q}$[x] 中的整除概念. 給定 f (x), g(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x], 我們說 f (x) | g(x) in $ \mathbb {Z}$[x] 表示存在 h(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 滿足 g(x) = h(x) . f (x). 而我們說 f (x) | g(x) in $ \mathbb {Q}$[x] 表示存在 l (x) $ \in$ $ \mathbb {Q}$[x] 滿足 g(x) = l (x) . f (x). 這裡最大的不同在於 h(x) 要求落在 $ \mathbb {Z}$[x], 而 l (x) 要在 $ \mathbb {Q}$[x] 即可. 所以有可能發生 f (x) | g(x) in $ \mathbb {Q}$[x] 但 f (x)$ \nmid$g(x) in $ \mathbb {Z}$[x] 的狀況.

Lemma 7.3.7   假設 f (x), g(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x], 且 f (x) 是一個 primitive polynomial, 則 f (x) | g(x) in $ \mathbb {Z}$[x] 若且唯若 f (x) | g(x) in $ \mathbb {Q}$[x].

証 明. 假設 f (x) | g(x) in $ \mathbb {Z}$[x] 表示存在 h(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 滿足 g(x) = h(x) . f (x). 然而 h(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 當然得 h(x) $ \in$ $ \mathbb {Q}$[x], 故知 f (x) | g(x) in $ \mathbb {Q}$[x]. (注意這部分我們不需要 f (x) 是 primitive 的假設.)

反之, 若 f (x) | g(x) in $ \mathbb {Q}$[x], 表示存在 l (x) $ \in$ $ \mathbb {Q}$[x] 滿足 g(x) = l (x) . f (x). 我們希望能證得 l (x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x]. 利用 Lemma 7.3.4 將 l (x) 寫成 l (x) = c(l ) . l*(x), 其中 l*(x) 是 primitive polynomials. 故得 g(x) = c(l ) . (l*(x) . f (x)). 因為 f (x) 和 l*(x) 都是 primitive polynomials, 故利用 Lemma 7.3.5 知 l*(x) . f (x) 是 primitive polynomial. 再利用 Lemma 7.3.4 的唯一性知 c(g) = c(l ). 因 c(g) $ \in$ $ \mathbb {N}$, 故得 c(l ) $ \in$ $ \mathbb {N}$, 且又 l*(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x], 故由 l (x) = c(l ) . l*(x) 得 l (x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x]. $ \qedsymbol$

同樣的, 我們也要區分一下在 $ \mathbb {Q}$[x] 和 $ \mathbb {Z}$[x] 中分解的不同. 若 f (x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 我們說 f (x) 在 $ \mathbb {Q}$[x] 可分解表示 f (x) 可寫成 f (x) = g(x) . h(x), 其中 g(x), h(x) $ \in$ $ \mathbb {Q}$[x] 且 deg(g(x)) 和 deg(h(x)) 皆小於 deg(f (x)). 但這並不表示 f (x) 可以在 $ \mathbb {Z}$[x] 中分解成 f (x) = m(x) . n(x), 其中 m(x), n(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x]. 不過下一個 Lemma 告訴我們這是辦得到的.

Lemma 7.3.8   假設 f (x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 且 f (x) = g(x) . h(x) 其中 g(x), h(x) $ \in$ $ \mathbb {Q}$[x], 則存在 m(x), n(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 滿足 f (x) = m(x) . n(x) 且 deg(m(x)) = deg(g(x)) 及 deg(n(x)) = deg(h(x)).

証 明. 利用 Lemma 7.3.4 知 g(x) = c(g) . g*(x) 且 h(x) = c(h) . h*(x) 其中 g*(x), h*(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 且都是 primitive polynomial. 利用 Proposition 7.3.6 知

c(g) . c(h) = c(g . h) = c(f ),

然而 f (x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x], 故 c(g) . c(h) = c(f ) $ \in$ $ \mathbb {N}$. 因此若令 m(x) = $ \bigl($c(g) . c(h)$ \bigr)$ . g*(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 及 n(x) = h*(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x], 則
f (x) = g(x) . h(x) = $\displaystyle \bigl($c(g) . g*(x)$\displaystyle \bigr)$ . $\displaystyle \bigl($c(h) . h*(x)$\displaystyle \bigr)$  
  = $\displaystyle \bigl($c(g) . c(h)$\displaystyle \bigr)$ . g*(x) . h*(x)  
  = m(x) . n(x).  

又

deg(m(x)) = deg(g*(x)) = deg(g(x))    且    deg(n(x)) = deg(h*(x)) = deg(h(x)).

$ \qedsymbol$

反之若 f (x) 在 $ \mathbb {Z}$[x] 可以分解成 f (x) = m(x) . n(x), 其中 m(x), n(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x], 且 m(x), n(x) 不是 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 unit. 那麼 大家一定賑陞悕� m(x), n(x) 也在 $ \mathbb {Q}$[x] 中所以 f (x) 在 $ \mathbb {Q}$[x] 中可以分解. 其實不然, 因為 m(x), n(x) 在 $ \mathbb {Z}$[x] 中不是 unit, 但可能在 $ \mathbb {Q}$[x] 中就是 unit 了. 例如 2x + 2 在 $ \mathbb {Q}$[x] 是 irreducible 但在 $ \mathbb {Z}$[x] 中 2x + 2 = 2 . (x + 1), 而且 2 和 x + 1 在 $ \mathbb {Z}$[x] 中都不是 unit (但 2 在 $ \mathbb {Q}$[x] 是 unit), 所以 2x + 2 在 $ \mathbb {Z}$[x] 並不是 irreducible. 從這裡看出 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 irreducible element 和 $ \mathbb {Q}$[x] 的 irreducible element 不同.

回顧一下我們定義所謂的 irreducible element 是一個元素它的 divisor 只有 unit 和 本身乘上 unit 這兩種形式. 由於 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 unit 只有 1 和 -1 所以我們有以下的定義.

Definition 7.3.9   令 p(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x]
  1. 若 p(x) 在 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 divisor 只有 ±1 和 ±p(x), 則稱 p(x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 的 irreducible element.
  2. 若對所有滿足 p(x) | f (x) . g(x) 的 f (x), g(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 都有 p(x) | f (x) 或 p(x) | g(x) 則稱 p(x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 的 prime element.

由這個定義我們馬上得到以下的 Lemma.

Lemma 7.3.10   假設 p(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 且 deg(p(x)) > 0.
  1. 若 p(x) 是一個 irreducible element, 則 p(x) 是一個 primitive polynomial.
  2. 若 p(x) 是一個 prime element, 則 p(x) 是一個 primitive polynomial.

証 明. (1) 假設 p(x) 是 irreducible. 因 p(x) = c(p) . p*(x), 其中 c(p) $ \in$ $ \mathbb {N}$ $ \subseteq$ $ \mathbb {Z}$[x] 且 p*(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x], 所以 c(p) 是 p(x) 的一個 divisor. 由 p(x) 是 irreducible 及 deg(p*(x)) = deg(p(x)) > 0 知 c(p) = 1, 故得 p(x) 是 primitive.

(2) 假設 p(x) 是 prime. 因 p(x) = c(p) . p*(x), 故知 p(x) | c(p) . p*(x). 由 p(x) 是 prime 的假設, 知 p(x) | c(p) 或 p(x) | p*(x). 由於 deg(p(x)) > 0 知不可能 p(x) | c(p). 故得 p(x) | p*(x). 也就是說存在 $ \lambda$(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 使得 p*(x) = $ \lambda$(x) . p(x). 故得 p*(x) = $ \bigl($$ \lambda$(x) . c(p)$ \bigr)$ . p*(x). 利用 $ \mathbb {Z}$[x] 是 integral domain 及 p*(x)$ \ne$ 0 知 $ \lambda$(x) . c(p) = 1. 也就是說 $ \lambda$(x) 和 c(p) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 的 unit. 但由定義 c(p) 是正整數, 故得 $ \lambda$(x) = c(p) = 1. 也就是說 p(x) 是 primitive. $ \qedsymbol$

如前面幾節中的結果, 我們將會證得在 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 irreducible element 和 prime element 是一樣的. 由於 $ \mathbb {Z}$[x] 沒有所有的 ideal 都是 principle ideal 的性質, 我們不能用前面的方法如法泡製. 我們將利用 $ \mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible element 的性質來幫忙處理, 所以我們需要先了解在 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 irreducible element 和 $ \mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible element 之間的關係.

Lemma 7.3.11   若 p(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x], deg(p(x)) > 0 且 p(x) 是一個 primitive polynomial, 則 p(x) 是 $ \mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible element 若且唯若 p(x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 irreducible element.

証 明. 首先假設 p(x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 irreducible element. 如果 p(x) 在 $ \mathbb {Q}$[x] 中不是 irreducible element, 表示存在 g(x), h(x) $ \in$ $ \mathbb {Q}$[x] 滿足 0 < deg(g(x)) < deg(p(x)), 0 < deg(h(x)) < deg(p(x)) 且 p(x) = g(x) . h(x). 利用 Lemma 7.3.8 知存在 m(x), n(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 且 deg(m(x)) = deg(g(x)), deg(n(x)) = deg(h(x)) 滿足 p(x) = m(x) . n(x). 也就是說 m(x) 是 p(x) 的 divisor. 但 0 < deg(m(x)) < deg(p(x)), 故知 m(x)$ \ne$±1 且 m(x)$ \ne$±p(x). 此和 p(x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 的一個 irreducible element 假設相矛盾. 故知 p(x) 也是 $ \mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible element.

反之, 若 p(x) 是 $ \mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible element. 若 p(x) = m(x) . n(x), 其中 m(x), n(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x]. 由 p(x) 在 $ \mathbb {Q}$[x] 是 irreducible 的假設知 m(x) 和 n(x) 中有一個是 $ \mathbb {Q}$[x] 的 unit, 即常數: 就假設 m(x) = d 是常數吧! 因 m(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 故知 d $ \in$ $ \mathbb {Z}$. 由 p(x) = d . n(x) 知 d 是 p(x) 的所有係數的公因數. 但已知 p(x) 是 primitive, 故得 d = ±1. 也就是說 p(x) 的 divisor 只能是 ±1 和 ±p(x) 這種形式, 故得 p(x) 在 $ \mathbb {Z}$[x] 中是 irreducible. $ \qedsymbol$

由於 $ \mathbb {Q}$ 是一個 field, 所以上一節中 F[x] 的性質都可套用在 $ \mathbb {Q}$[x] 上. 我們要利用 $ \mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible 和 prime 是一樣的, 得到在 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 irreducible 和 prime 也是一樣的.

Proposition 7.3.12   假設 p(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x]. 若 p(x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 irreducible element, 則 p(x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 prime element. 反之, 若 p(x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 prime element, 則 p(x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 irreducible element.

証 明. 首先注意, 當 deg(p(x)) = 0 時表示 p(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$ 是一個常數. 我們已知在 $ \mathbb {Z}$ 中的 irreducible 和 prime 是一樣的 (Proposition 7.1.7), 所以我們只要關心 deg(p(x)) > 0 的情況.

首先假設 p(x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 irreducible element. 由 Lemma 7.3.10 知其為 primitive, 故由 Lemma 7.3.11 知 p(x) 也是 $ \mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible element. 再由 Proposition 7.2.11 知 p(x) 是 $ \mathbb {Q}$[x] 中的 prime element. 痍Y f (x), g(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 且 p(x) | f (x) . g(x) in $ \mathbb {Z}$[x], 由 Lemma 7.3.7 知 p(x) | f (x) . g(x) in $ \mathbb {Q}$[x]. 故由 p(x) 在 $ \mathbb {Q}$[x] 是 prime 得 p(x) | f (x) 或 p(x) | g(x) in $ \mathbb {Q}$[x]. 再由 Lemma 7.3.7 知 p(x) | f (x) 或 p(x) | g(x) in $ \mathbb {Z}$[x]. 也就是說 p(x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 prime element.

反之, 若 p(x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 prime element. 若 p(x) = m(x) . n(x) 其中 m(x), n(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x]. 則由於 p(x) | m(x) . n(x), 可得 p(x) | n(x) 或 p(x) | m(x). 若 p(x) | n(x), 即存在 $ \lambda$(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 使得 n(x) = $ \lambda$(x) . p(x). 故得

n(x) = $\displaystyle \lambda$(x) . $\displaystyle \bigl($n(x) . m(x)$\displaystyle \bigr)$ = $\displaystyle \bigl($$\displaystyle \lambda$(x) . m(x)$\displaystyle \bigr)$ . n(x).

由 n(x)$ \ne$ 0 以及 $ \mathbb {Z}$[x] 是 integral domain, 得 $ \lambda$(x) . m(x) = 1. 也就是說 m(x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 的 unit, 即 m(x) = ±1. 同理, 若 p(x) | m(x) 可得 n(x) = ±1. 得證 p(x) 的 divisor 都是 ±1 和 ±p(x) 這種形式, 故知 p(x) 是一個 irreducible element. $ \qedsymbol$

畢b要證明 $ \mathbb {Z}$[x] 上的唯一分解性質露出了一線曙光, 前面幾節中我們證明唯一分解性質並沒有用到每一個 ideal 都是 principle ideal 的性質, 而是用到如 Proposition 7.3.12 中每個 irreducible element 是 prime 的性質. 如同在整數的情況, 由於 f (x) 和 - f (x) 的分解僅差一個正負號, 我們可以只考撲怜爬葆筍Y數是正整數的 polynomial.

Theorem 7.3.13   若 f (x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 是一個不為 0, 1, - 1 且最高次項係數是正整數的 polynomial, 則存在 p1(x),..., pr(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x], 其中這些 pi(x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 中兩兩相異且最高次項係數是正整數的 irreducible elements, 滿足

f (x) = p1(x)n1 ... pr(x)nr,    ni $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {N}$,$\displaystyle \forall$i $\displaystyle \in$ {1,..., r}.

如果 f (x) 可以分解成另� 的形式 f (x) = q1(x)m1 ... qs(x)ms, 其中這些 qi(x) 也是 $ \mathbb {Z}$[x] 中兩兩相異且最高次係數是正整數的 irreducible elements, 則 r = s 且經過變換順序可得 pi(x) = qi(x), ni = mi, $ \forall$ i $ \in$ {1,..., r}.

証 明. 首先證明存在性, 也就是 f (x) 可寫成有限多個 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 irreducible elements 的乘積. 我們依然 (對 degree) 用數學歸納法來證明. 假設 deg(f (x)) = 0, 因 f (x) $ \in$ $ \mathbb {N}$ 且不是 unit, 故由 $ \mathbb {Z}$ 的分解性質 (Theorem 7.1.8) 的存在性知 f (x) 可寫成有限多個 irreducible elements 的乘積. 盒眾]存在性對 degree 小於 n 的 polynomial 皆成立. 當 deg(f (x)) = n 時, 若 f (x) 本身是 irreducible, 存在性自然成立. 故僅剩 f (x) 不是 irreducible 的情況要考�. 此時要注意, 在 $ \mathbb {Z}$[x] 中一個 polynomial 是 irreducible 並不表示他一定可以寫成兩個 degree 比較小的 polynomials 的乘積 (例如前面提過的例子 2x + 2). 此時我們先將 f (x) 寫成 f (x) = c(f ) . f*(x), 其中 f*(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 是 primitive polynomial. 由於 c(f ) $ \in$ $ \mathbb {N}$, 再一次利用 Theorem 7.1.8 知 c(f )= 1 或是可以寫成有限多個 irreducible 常數 polynomials 的乘積. 所以我們只剩下考� f*(x) 是否可寫成有限多個 irreducible elements 的乘積. 當 f*(x) 是 irreducible 時, 存在性自然又成立了. 而當 f*(x) 不是 irreducible 時, Lemma 7.3.11 告訴我們 f*(x) 在 $ \mathbb {Q}$[x] 不是 irreducible, 也就是 f*(x) = g(x) . h(x) 其中 g(x), h(x) $ \in$ $ \mathbb {Q}$[x] 且 0 < deg(g(x)) < deg(f (x)) 以及 0 < deg(h(x)) < deg(f (x)). 由 Lemma 7.3.8 知存在 m(x), n(x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 且 deg(m(x)) = deg(g(x)) 以及 deg(n(x)) = deg(h(x)) 使得 f*(x) = m(x) . n(x). 由於 deg(m(x)) < deg(f (x)) = n 以及 deg(n(x)) < n, 故利用歸納法假設知 m(x) 和 n(x) 都可寫成有限多個 irreducible elements 的乘積. 因此得證 f*(x) 可以寫成有限多個 irreducible elements 的乘積, 故知 f (x) = c(f )f*(x) 也可寫成有限多個 irreducible elements 的乘積.

至於唯一性我們依然用數學歸納法來處理. 若 deg(f (x)) = 0, 因 f (x) $ \in$ $ \mathbb {N}$, 故可以利用 Theorem 7.1.8 的唯一性得證唯一性. 盒眾]唯一性對 degree 小於 n 的 polynomial 皆成立. 當 deg(f (x)) = n 時, 若

f (x) = p1(x)n1 ... pr(x)nr = q1(x)m1 ... qs(x)ms,

其中 pi(x) 兩兩相異, qj(x) 也是兩兩相異, 而且 pi(x), qj(x) 都是 $ \mathbb {Z}$[x] 中最高次項係數是正整數的 irreducible elements. 由於 deg(f (x)) > 0, 故知 pi(x) 中必存在一 polynomial 其 degree 大於 0, 經重排後我們令之為 p1(x). Proposition 7.3.12 告訴我們 p1(x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 的 prime element, 故由 p1(x) | f (x) 得知, qj(x) 中有一 polynomial 會被 p1(x) 整除, 經重排後我們令之為 q1(x). 也就是說 p1(x) | q1(x). 然而 q1(x) 是 irreducible, 其 divisor 只有 ±1 和 ±q1(x). 又因已知 deg(p1(x)) > 0 且 p1(x) 和 q1(x) 的最高次項係數都是正整數, 故得 p1(x) = q1(x). 因此我們可將 f (x) 的分解改寫成

f (x) = p1(x)n1 . p2(x)n2 ... pr(x)nr = p1(x)m1 . q2(x)m2 ... qs(x)ms.

將上式移項再提出 p1(x), 我們可得

p1(x) . $\displaystyle \bigl($p1(x)n1 - 1 . p2(x)n2 ... pr(x)nr - p1(x)m1 - 1 . q2(x)m2 ... qs(x)ms$\displaystyle \bigr)$ = 0.

由於 p1(x)$ \ne$ 0 且 $ \mathbb {Z}$[x] 是 integral domain, 我們得

p1(x)n1 - 1 . p2(x)n2 ... pr(x)nr - p1(x)m1 - 1 . q2(x)m2 ... qs(x)ms = 0.

畦O g(x) = p1(x)n1 - 1 . p2(x)n2 ... pr(x)nr. 由於當初選取 p1(x) 滿足 deg(p1(x)) > 0, 故得

deg(g(x)) = deg(f (x)) - deg(p1(x)) < deg(f (x)) = n

且

g(x) = p1(x)n1 - 1 . p2(x)n2 ... pr(x)nr = p1(x)m1 - 1 . q2(x)m2 ... qs(x)ms

是 g(x) 的兩個分解, 故利用歸納法假設我們有 r = s 且 p1(x) = q1(x),..., pr(x) = qr(x) 以及 n1 = m1, n2 = m2,..., nr = mr, 故得證唯一性. $ \qedsymbol$

由 Theorem 7.3.13 知 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 irreducible elements 就如同 $ \mathbb {Z}$ 中的質數一樣重要. 另一方面利用 Lemma 7.3.8 也告訴我們在 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 irreducible element 在 $ \mathbb {Q}$[x] 中也是 irreducible. 因此探討 $ \mathbb {Z}$[x] 中有哪些 irreducible elements 是一個重要的課題. 其實給定 f (x) $ \in$ $ \mathbb {Z}$[x] 要判斷其是否為 irreducible 並不容易. 以下我們介紹一種方法可以確賑Y一類的 polynomial 是 irreducible.

Proposition 7.3.14 (Eisenstein Criterion)   令

f (x) = xn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + a0 $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$[x],

其中 n > 0. 假設存在一質數 p $ \in$ $ \mathbb {N}$ 滿足

p | a0, p | a1, ..., p | an - 1    但    p2$\displaystyle \nmid$a0,

則 f (x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 中的 irreducible element.

証 明. 由於 c(f )= 1 所以 f (x) 是 primitive polynomial. 因此要說明 f (x) 是 irreducible in $ \mathbb {Z}$[x] 只要說明 f (x) 不可能寫成兩個 degree 小於 n 的 polynomials 的乘積. 我們利用反證法來證明.

假設 f (x) = g(x) . h(x) 其中

g(x) = crxr + ... + c1x + c0 $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$[x],    0 < r < n

且

h(x) = dsxs + ... + d1x + d0 $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$[x],    0 < s < n.

考� g(x) . h(x) 的常數項 c0 . d0 = a0. 由假設 p | a0 = c0 . d0, 故知 p | c0 或 p | d0. 然而又知 p2$ \nmid$c0 . d0, 故知 c0 和 d0 間只能有一個被 p 整除. 我們就假設是 c0 吧! 也就是說 p | c0 但 p$ \nmid$d0. 畢b觀察 g(x) . h(x) 的一次項係數 c0 . d1 + c1 . d0 = a1. 由假設 p | a1 以及剛� 得知的 p | c0 可得 p | c1 . d0. 但又知 p$ \nmid$d0 故得 p | c1. 這樣一直下去我們想用數學歸納法證得 p | cr. 也就是假設已知 p | c0, p | c1,..., p | cr - 1, 我們欲證得 p | cr. 畢瓞 g(x) . h(x) 的 xr 項係數

c0 . dr + c1 . dr - 1 + ... + cr - 1 . d1 + cr . d0 = ar.

(這個式子裡若 s < r, 那當然是令 ds + 1 = ... = dr = 0) 由於 0 < r < n 故知 p | ar, 再加上歸納假設 p | c0,..., p | cr - 1, 我們可得 p | cr . d0. 別忘了 p$ \nmid$d0, 故得證 p | cr. 畢b我們考� g(x) . h(x) 的最高次項係數 (即 f (x) 的 xn 項係數)

cr . ds = 1.

大家馬上看出由 p | cr 不可能得到 cr . ds = 1. 因此得到矛盾, 也就是說 f (x) 是 $ \mathbb {Z}$[x] 的 irreducible element. $ \qedsymbol$

最後我們重申一下, 由 Lemma 7.3.8 (或 Lemma 7.3.11) 我們知道符合 Proposition 7.3.14 的 polynomials 在 $ \mathbb {Q}$[x] 也是 irreducible.

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Administrator 2005-06-18