Quotient Field of an Integral Domain

給定任意的 integral domain D, 令 S = {(a, b) | a, b $\in$ D, b $\ne$ 0}. 首先我們將在 S 中定一個 equivalence relation. 對於 S 中的兩元素 (a, b),(c, d ) $\in$ S, 我們令

好了, 既然 $\sim$ 是 S 中的一個 equivalence relation, 我們就可以將 S 中的元素利用 $\sim$ 來分類. 若 (a, b) $\in$ S, 我們令 [a, b] 表示在 S 中所有和 (a, b) 同類的元素所成的集合. 令 $\widetilde{S}$ 表示將 S 分類以後所成的新的集合. 也就是說 $\widetilde{S}$ 中的元素都是 [a, b] 這種形式, 其中 a, b $\in$ D 且 b $\ne$ 0, 而且若 (a, b) $\sim$ (c, d ), 則在 $\widetilde{S}$ 中 [a, b] = [c, d].

畢b我們要在 $\widetilde{S}$ 中定義加法和乘法. 若 [a, b] $\in$ $\widetilde{S}$ 且 [c, d] $\in$ $\widetilde{S}$ , 我們定:

既然在 $\widetilde{S}$ 中可定義加法和乘法, 我們自然會問 $\widetilde{S}$ 是否是一個 ring, 也就是要檢查 (R1)-(R8). 這一連串的檢查雖然不難, 但是很繁複我們就略過. 事實上 $\widetilde{S}$ 是一個 commutative ring with 1. 其中 $\widetilde{S}$ 的 0 是 [0, 1] 而 1 是 [1, 1]. 這可以用 $\forall$ [a, b] $\in$ $\widetilde{S}$ 則 [a, b] + [0, 1] = [a, b] 以及 [a, b]^.[1, 1] = [a, b] 證得. 至於 $\widetilde{S}$ 是 commutative 可由 D 是 integral domain 的假設知 D 是 commutative 故得 [a, b]^.[c, d] = [a^.c, b^.d] = [c, d]^.[a, b].

我們最終的目的要證明 $\widetilde{S}$ 是一個 field, 也就是說對任意的 [a, b] $\in$ $\widetilde{S}$ 且 [a, b] $\ne$ [0, 1] 可以找到 [c, d] $\in$ $\widetilde{S}$ 使得 [a, b]^.[c, d] = [1, 1]. 因為 [a, b] $\ne$ [0, 1] 故知 a $\ne$ 0, 所以 [b, a] $\in$ $\widetilde{S}$ . 很容易得知 [a, b]^.[b, a] = [a^.b, a^.b] = [1, 1]. 總之, 任意 $\widetilde{S}$ 中非 0 的元素都是 unit, 所以 $\widetilde{S}$ 是一個 field, 我們稱之為 D 的 quotient field 或 fraction field.

D 的 quotient field $\widetilde{S}$ 有一個重要的性質, 就是它是包含 D 最小的 field. 這裡有件事情我們得說明一下. 我們提過在代數中通常將兩個 isomorphic 的東西看成是一樣的. 事實上 $\widetilde{S}$ 並沒有真正的包含 D, 嚴格來說應該是 $\widetilde{S}$ 中有一個 subring 和 D 是 isomorphic. 所以這裡所謂 $\widetilde{S}$ 是包含 D 最小的 field 表示若 F 是一個 field 且有一個 subring 和 D isomorphic, 則 F 中有一個 subring 和 $\widetilde{S}$ isomorphic.

証明. 考� $\phi$ : D $\to$ $\widetilde{S}$ 定義成對任意的 a $\in$ D, $\phi$ (a) = [a, 1]. 由於若 a, b $\in$ D 則

$\displaystyle \phi$ (a + b) = [a + b, 1] = [a, 1] + [b, 1] = $\displaystyle \phi$ (a) + $\displaystyle \phi$ (b)

且

$\displaystyle \phi$ (a^.b) = [a^.b, 1] = [a, 1]^.[b, 1] = $\displaystyle \phi$ (a)^. $\displaystyle \phi$ (b).

故知 $\phi$ 是一個從 D 到 $\widetilde{S}$ 的 ring homomorphism. 至於要證 $\phi$ 是一對一, 我們只要檢查 ker( $\phi$ ) = {0}. 由於 $\phi$ (0) = [0, 1] 故知 0 $\in$ ker( $\phi$ ). 痍Y a $\in$ ker( $\phi$ ), 表示 $\phi$ (a) = [a, 1] = [0, 1]. 利用定義, [a, 1] = [0, 1] 表示 a^.1 = 0^.1, 故得 a = 0. 因此得證 ker( $\phi$ ) = {0}. $\qedsymbol$

回顧 Theorem 6.4.2 告訴我們 D/ker( $\phi$ ) $\simeq$ im( $\phi$ ) 而 Proposition 7.4.1 告訴我們 ker( $\phi$ ) = {0} 因此得 D $\simeq$ im( $\phi$ ). 但是 im( $\phi$ ) 是 $\widetilde{S}$ 的 subring (Lemma 6.3.3), 故知 D 和 D 的 quotient field $\widetilde{S}$ 中的一個 subring 是 isomorphic. 接下來我們要證明 D 的 quotient field 是有這個特性之最小的 field.

証明. 由假設知存在一個一對一的 ring homomorphism $\phi$ : D $\to$ F. 我們想利用這個 $\phi$ 製造出另一個一對一的 ring homomorphism $\psi$ : $\widetilde{S}$ $\to$ F.

對任意的 [a, b] $\in$ $\widetilde{S}$ , 我們定 $\psi$ ([a, b]) = $\phi$ (a)^. $\phi$ (b)^-1. 當然這裡我們要檢查 $\psi$ 是否 well-defined.

首先我們檢查 $\psi$ ([a, b]) 是否是 F 中的元素. 由於 [a, b] $\in$ $\widetilde{S}$ , 知 b $\ne$ 0, 因此由 $\phi$ 是一對一知 $\phi$ (b) 是 F 中的一個不等於 0 的元素. 所以由 F 是 field 的假設知 $\phi$ (b)^-1 $\in$ F. 故得證 $\psi$ ([a, b]) = $\phi$ (a)^. $\phi$ (b)^-1 $\in$ F. 接著要檢查是否若 [a, b] = [c, d] 則 $\psi$ ([a, b]) = $\psi$ ([c, d]). (再次提醒: 當我們建構一個函數時如果定義域裡的元素的表示法不唯一, 我們一定要檢查是否同一元素其不同的表示法會被映射到相同的值, 以免發生一對多的情況.) 也就是說若 a^.d = c^.b, 要檢查是否

$\displaystyle \phi$ (a)^. $\displaystyle \phi$ (b)^-1 = $\displaystyle \phi$ (c)^. $\displaystyle \phi$ (d )^-1.

然而利用 $\phi$ 是 ring homomorphism 知 $\phi$ (a^.d )= $\phi$ (a)^. $\phi$ (d ) 且 $\phi$ (c^.b) = $\phi$ (c)^. $\phi$ (b). 故由 a^.d = c^.b 可得 $\phi$ (a^.d )= $\phi$ (c^.b) 也就是說 $\phi$ (a)^. $\phi$ (d )= $\phi$ (c)^. $\phi$ (b). 上式兩邊各乘上 $\phi$ (d )^{-1 .} $\phi$ (b)^-1 (別忘了 $\phi$ (b) 和 $\phi$ (d ) 皆不等於 0) 可得 $\phi$ (a)^. $\phi$ (b)^-1 = $\phi$ (c)^. $\phi$ (d )^-1. 因此 $\psi$ 是一個 well-defined 的函數.

接下來我們證 $\psi$ 是一個 ring homomorphism. 對任意的 [a, b],[c, d] $\in$ $\widetilde{S}$ , 依 $\psi$ 的定義我們有

$\displaystyle \psi$ ([a, b] + [c, d]) = $\displaystyle \psi$ ([a^.d + c^.b, b^.d]) = $\displaystyle \phi$ (a^.d + c^.b)^. $\displaystyle \phi$ (b^.d )^-1

且

$\displaystyle \psi$ ([a, b]) + $\displaystyle \psi$ ([c, d]) = $\displaystyle \phi$ (a)^. $\displaystyle \phi$ (b)^-1 + $\displaystyle \phi$ (c)^. $\displaystyle \phi$ (d )^-1.

然而利用 $\phi$ 是 ring homomorphism, 乘上 $\phi$ (b^.d )= $\phi$ (b)^. $\phi$ (d ) 我們很容易檢驗

$\displaystyle \phi$ (a^.d + c^.b)^. $\displaystyle \phi$ (b^.d )^-1 = $\displaystyle \phi$ (a)^. $\displaystyle \phi$ (b)^-1 + $\displaystyle \phi$ (c)^. $\displaystyle \phi$ (d )^-1.

故知

$\displaystyle \psi$ ([a, b] + [c, d]) = $\displaystyle \psi$ ([a, b]) + $\displaystyle \psi$ ([c, d]).

同理可證

$\displaystyle \psi$ ([a, b]^.[c, d]) = $\displaystyle \psi$ ([a^.c, b^.d]) = $\displaystyle \phi$ (a^.c)^. $\displaystyle \phi$ (b^.d )^-1 = $\displaystyle \psi$ ([a, b])^. $\displaystyle \psi$ ([c, d]),

故知 $\psi$ 是一個 ring homomorphism.

最後我們驗證 $\psi$ 是一對一的, 也就是驗證 ker( $\psi$ ) = {[0, 1]}. 假設 [a, b] $\in$ ker( $\psi$ ), 即 $\psi$ ([a, b]) = $\phi$ (a)^. $\phi$ (b)^-1 = 0. 乘上 $\phi$ (b) 馬上可得 $\phi$ (a) = 0. 但由於 $\phi$ 是一對一, 故由 a $\in$ ker( $\phi$ ) = {0}, 得 a = 0. 換句話說 [a, b] = [0, 1]. 所以得證 $\psi$ 是一對一. $\qedsymbol$

從今以後, 若 $\widetilde{S}$ 為 D 的 quotient field, 我們將直接看成 D 包含於 $\widetilde{S}$ , 也就是將 [a, 1] 寫成 a. 另� 我們將 [a, b] $\in$ $\widetilde{S}$ 直接寫成 a/b.

a^.d	=	c^.b	(7.1)
c^.f	=	e^.d	(7.2)

(a^.d + c^.b)^.(b'^.d')	=	(a^.b')^.(d^.d') + (c^.d')^.(b'^.b)
	=	(a'^.b)^.(d^.d') + (c'^.d )^.(b'^.b)
	=	(a'^.d' + c'^.b')^.(b^.d ).