Multiplicative Arithmetic Functions

要注意當一個 arithmetic function f 是 multiplicative 時, f (ab) = f (a)f (b) 並不一定成立. 這是要在 gcd(a, b) = 1 時才可以確定是對的. 如果 f 的性質強到對任意 a, b $\in$ $\mathbb {N}$ 皆有 f (ab) = f (a)f (b), 那麼我們稱 f 是 completely multiplicative. 由於 completely multiplicative arithmetic function 的條件較強, 且並無太多這類有趣的函數, 所以這裡我們只專注於 multiplicative arithmetic function.

Example 2.1.2 我們考慮 Möbius $\mu$ -function, 其定義為

$\displaystyle \mu$ (n) = $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 1, & \hbox{若 $n=1$;} \\ ... ...n=p_1\cdots p_r$, 其中 $p_1,\dots,p_r$ 為相異質數.} \\ \end{array}%% }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ll} 1, & \hbox{若 $n=1$;} \\ 0, & \hbox{若存在�... ... \hbox{若 $n=p_1\cdots p_r$, 其中 $p_1,\dots,p_r$ 為相異質數.} \\ \end{array}$

我們來驗證 $\mu$ 確為 multiplicative. 考慮 a, b $\in$ $\mathbb {N}$ 且 gcd(a, b) = 1. 今若 a = 1 則由 $\mu$ (a) = $\mu$ (1) = 1 得 $\mu$ (ab) = $\mu$ (b) = $\mu$ (a) $\mu$ (b). 同理若 b = 1 也得 $\mu$ (ab) = $\mu$ (a) $\mu$ (b). 所以我們僅要考慮 a > 1 且 b > 1 的情形. 由算數基本定理 (Theorem 1.5.1) 我們可以將 a, b 分別寫成 a = p₁^{n₁ ...}p_r^n_r 以及 b = q₁^{m₁ .}q_t^m_t 的形式其中 n_i, m_j 皆大於 0 且由於 a, b 互質所有的質數 p_i 和 q_j 皆相異. 今若 n_i 或 m_j 中有一個大於 1, 不失一般性就假設 n₁ $\ge$ 2, 則由 p₁²| a 且 p₁²| ab, 知 $\mu$ (a) = 0 且 $\mu$ (ab) = 0, 故得 $\mu$ (ab) = $\mu$ (a) $\mu$ (b). 最後我們只剩下 n₁ = ... = n_r = 1 且 m₁ = ... = m_t = 1 的情況. 此時由於 ab = p₁^...p_r^.q₁^...q_t 且 p₁,..., p_r, q₁,..., q_t 為相異質數得 $\mu$ (ab) = (- 1)^{r + t}. 然而 $\mu$ (a) = (- 1)^r 且 $\mu$ (b) = (- 1)^t, 故得證 $\mu$ (ab) = $\mu$ (a) $\mu$ (b). 也就是說 $\mu$ 是一個 multiplicative arithmetic function.

要注意 $\mu$ 並非 completely multiplicative. 我們可以從 a = b = p, 其中 p 為質數的情形看出. 此時 $\mu$ (a) = $\mu$ (b) = 1 但是 $\mu$ (ab) = 0, 故知 $\mu$ (ab) $\ne$ $\mu$ (a) $\mu$ (b). 要知道你要證一個 arithmetic function f 是 multiplicative 時, 你必須考慮所有的情況, 即對所有滿足 gcd(a, b) = 1 的正整數 a, b 皆要符合 f (ab) = f (a)f (b), 而不能僅代個例子驗證. 但當你要說 f 不是 multiplicative 時, 只要找到一組 a, b $\in$ $\mathbb {N}$ 且 gcd(a, b) = 1 會使得 f (ab) $\ne$ f (a)f (b) 即可.

証明. 因 f 是 multiplicative 且 gcd(1, 1) = 1, 故知 f (1) = f (1)f (1) 得知 f (1) = 1 或 f (1) = 0. 若 f (1) = 0, 則對任意 n $\in$ $\mathbb {N}$ , 由於 gcd(n, 1) = 1, 可得 f (n) = f (n)f (1) = 0. 也就是說 f 是 0 函數, 此和 f 是非 0 含數之假設矛盾, 故知 f (1) = 1.

現對任意 n $\in$ $\mathbb {N}$ , 若 n = 1, 則由前知 f (n) = f (1) = 1. 若 n > 1, 則由算數基本定理知 n = p₁^{n₁ ...}p_r^n_r, 其中 p_i 為相異質數且 n_i $\in$ $\mathbb {N}$ . 故由 f 是 multiplicative 且 gcd(p₁^n₁, p₂^{n₂ ...}p_r^n_r) = 1 知 f (n) = f (p₁^n₁p₂^{n₂ ...}p_r^n_r) = f (p₁^n₁)f (p₂^{n₂ ...}p_r^n_r). 繼續下去使用數學歸納法知 f (n) = f (p₁^n₁)^...f (p_r^n_r). 故由假設已知這些 f (p_i^n_i) 之值我們可確定 f (n) 之值. $\qedsymbol$

依 Proposition 2.1.3 我們知如果 f 是 multiplicative arithmetic function, 那麼若能掌握所有質數 p 以及 t $\in$ $\mathbb {N}$ 中 f (p^t) 之值那麼就可以完全了解 f 這一個函數. 不過前題是要確認 f 是否為 multiplicative. 底下我們會給一個常用來確認是 multiplicative 的方法. 這個方法不只可以拿來確認 multiplicative arithmetic function 而且可以幫助我們創造許多 multiplicative arithmetic function. 不過首先我們需要一個補助定理.

証明. 這又是一個存在及唯一的問題. 存在就是要證存在 d₁| a 且 d₂| b 使得 d = d₁d₂, 而唯一就是要證滿足這條件的寫法只有一種.

接下來證唯一性. 給定 d| ab 假設存在 d₁, d₁', d₂, d₂' $\in$ $\mathbb {N}$ 分別滿足 d = d₁d₂, d₁| a 且 d₂| b 以及 d = d₁'d₂', d₁'| a 且 d₂'| b, 我們要證明 d₁ = d₁' 且 d₂ = d₂'. 由於 d₁d₂ = d₁'d₂', 我們知 d₁| d₁'d₂'. 又由於 d₁| a, d₂'| b 以及 gcd(a, b) = 1, 我們知 gcd(d₁, d₂') = 1. 所以再利用 Proposition 1.2.7(1) 得知 d₁| d₁'. 同理可證 d₁'| d₁ 再加上 d₁, d₁' $\in$ $\mathbb {N}$ 故知 d₁ = d₁', 且得 d₂ = d₂'. $\qedsymbol$

在 Lemma 2.1.4 有關於存在性的證明中我們發現並未用到 gcd(a, b) = 1 的假設, 也就是說並不需假設 gcd(a, b) = 1, 對任意 ab 的正因數都可以找到 d₁| a, d₂| b 使得 d = d₁d₂. 不過在證明唯一性時, gcd(a, b) = 1 的假設就需要了. 比方說考慮 a = 6, b = 4 和 d = 6 的情形, 我們可以取 d₁ = 6, d₂ = 1 和 d₁' = 3, d₂' = 2 都滿足要求, 所以唯一性在此情況並不成立. 由此我們也再次強調唯一性絕不能用因為 a 和 d 的最大公因數是唯一的知 d₁ 是唯一的而得證唯一性. 這是因為無從得知為何 d₁ 非得是 a, b 的最大公因數不可. 所以在證明唯一性時, 大家還是要按部就班地先假設有兩種寫法再去說明這兩種寫法是一樣, 這樣的方法來處理比較不會出錯.

事實上 Lemma 2.1.4 告訴我們當 gcd(a, b) = 1 時, 若 d₁,..., d_i,..., d_r 和 e₁,..., e_j,..., e_s 分別是 a 和 b 所有的相異正因數, 則 d₁e₁,..., d_ie_j,..., d_re_s 會是 ab 所有的相異正因數. 這是因為這些 d_ie_j 一定是 ab 的正因數, 再加上 Lemma 2.1.4 告訴我們 ab 的正公因數一定可以寫成 d_ie_j 的形式而且這些 d_ie_j 一定相異. 接下來我們就是要用這性質來利用一個已知的 multiplicative arithmetic function 得到新的 multiplicative arithmetic function.

Theorem 2.1.5 假設 f : $\mathbb {N}$ $\to$ $\mathbb {C}$ 是一個 multiplicative arithmetic function. 考慮函數 F : $\mathbb {N}$ $\to$ $\mathbb {C}$ 其定義為對任意 n $\in$ $\mathbb {N}$ ,

F(n) = $\displaystyle \sum_{d\vert n,d>0}^{}$ f (d ),

則 F 是一個 multiplicative arithmetic function.

証明. 首先解釋一下 F(n) = $\sum_{d\vert n,d>0}^{}$ f (d ) 這符號表示如果 d₁,..., d_r 是 n 的所有相異正因數那麼 F(n) = f (d₁) + ^... + f (d_r). 我們要證明 F 是 multiplicative 就是要證明當 a, b $\in$ $\mathbb {N}$ 且 gcd(a, b) = 1 時 F(ab) = F(a)F(b).

現假設 d₁,..., d_i,...d_r 和 e₁,..., e_j,..., e_s 分別是 a 和 b 所有的正因數. 我們有 F(a) = f (d₁) + ^... + f (d_i) + ^... + f (d_r) 以及 F(b) = f (e₁) + ^... + f (e_j) + ^... + f (e_s). 因此知 F(a)F(b) = f (d₁)f (e₁) + ^... + f (d_i)f (e_j) + ^... + f (d_r)f (e_s). 由於 gcd(a, b) = 1 而 d_i, e_j 分別是 a, b 的因數, 我們知 gcd(d_i, e_j) = 1. 再加上 f 是 multiplicative, 故得對所有 d_i, e_j 皆有 f (d_i)f (e_j) = f (d_ie_j). 因此得 F(a)F(b) = f (d₁e₁) + ^... + f (d_ie_j) + ^... + f (d_re_s). 然而 Lemma 2.1.4 告訴我們由於 gcd(a, b) = 1, 這些 d₁e₁,..., d_ie_j,..., d_re_s 剛好就是 ab 所有的相異正因數, 故得證 F(ab) = F(a)F(b). $\qedsymbol$

最後我們來看看 Example 2.1.2 中的 $\mu$ 利用 Theorem 2.1.5 所創造出來的 multiplicative arithmetic function 為何.

Example 2.1.6 令 $\delta$ : $\mathbb {N}$ $\to$ $\mathbb {C}$ 是一個 arithmetic function 其定義為, 對任意 n $\in$ $\mathbb {N}$ ,

$\displaystyle \delta$ (n) = $\displaystyle \sum_{d\vert n,d>0}^{}$ $\displaystyle \mu$ (d ),

其中 $\mu$ 是 möbius $\mu$ -function. 因為 $\mu$ 是 multiplicative, 由 Theorem 2.1.5 知 $\delta$ 是 multiplicative. 故要決定 $\delta$ 之值由 Proposition 2.1.3 知只要先考慮 $\delta$ (p^t) 之值即可, 其中 p 是質數 t $\in$ $\mathbb {N}$ . 然而 p^t 所有的正因數為 1, p, p²,..., p^t, 故由定義知

$\displaystyle \delta$ (p^t) = $\displaystyle \mu$ (1) + $\displaystyle \mu$ (p) + $\displaystyle \mu$ (p²) + ^... $\displaystyle \mu$ (p^t) = 1 - 1 + 0 + ^... + 0 = 0.

故若 n > 1, 則由 n = p₁^{n₁ ...}p_r^n_r 知 $\delta$ (n) = $\delta$ (p₁^n₁)^... $\delta$ (p_r^n_r) = 0. 然而由定義 $\delta$ (1) = $\mu$ (1) = 1, 所以我們可得

$\displaystyle \delta$ (n) = $\displaystyle \sum_{d\vert n,d>0}^{}$ $\displaystyle \mu$ (d )= $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 1, & \hbox{當 $n=1$;} \\ 0, & \hbox{當 $n>1$.} \\ \end{array}%% }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ll} 1, & \hbox{當 $n=1$;} \\ 0, & \hbox{當 $n>1$.} \\ \end{array}$