nª`·N·í¤@Ó arithmetic function f ¬O multiplicative ®É, f (ab) = f (a)f (b) ¨Ã¤£¤@©w¦¨¥ß. ³o¬On¦b gcd(a, b) = 1 ®É¤~¥i¥H½T©w¬O¹ïªº. ¦pªG f ªº©Ê½è±j¨ì¹ï¥ô·N a, b ¬Ò¦³ f (ab) = f (a)f (b), ¨º»ò§Ú̺٠f ¬O completely multiplicative. ¥Ñ©ó completely multiplicative arithmetic function ªº±ø¥ó¸û±j, ¥B¨ÃµL¤Ó¦h³oÃþ¦³½ìªº¨ç¼Æ, ©Ò¥H³o¸Ì§ÚÌ¥u±Mª`©ó multiplicative arithmetic function.
§ÚÌ¥ý¨Ó¬Ý¤@Ó multiplicative arithmetic function ªº¨Ò¤l.
nª`·N ¨Ã«D completely multiplicative. §ÚÌ¥i¥H±q a = b = p, ¨ä¤¤ p ¬°½è¼Æªº±¡§Î¬Ý¥X. ¦¹®É (a) = (b) = 1 ¦ý¬O (ab) = 0, ¬Gª¾ (ab)(a)(b). nª¾¹D§AnÃÒ¤@Ó arithmetic function f ¬O multiplicative ®É, §A¥²¶·¦Ò¼{©Ò¦³ªº±¡ªp, §Y¹ï©Ò¦³º¡¨¬ gcd(a, b) = 1 ªº¥¿¾ã¼Æ a, b ¬Òn²Å¦X f (ab) = f (a)f (b), ¦Ó¤£¯à¶È¥NÓ¨Ò¤lÅçÃÒ. ¦ý·í§An»¡ f ¤£¬O multiplicative ®É, ¥un§ä¨ì¤@²Õ a, b ¥B gcd(a, b) = 1 ·|¨Ï±o f (ab)f (a)f (b) §Y¥i.
±µ¤U¨Ó§ÚÌ¨Ó¬Ý multiplicative arithmetic function ªº°ò¥»©Ê½è.
²{¹ï¥ô·N n , Y n = 1, «h¥Ñ«eª¾ f (n) = f (1) = 1. Y n > 1, «h¥Ñºâ¼Æ°ò¥»©w²zª¾ n = p1n1 ... prnr, ¨ä¤¤ pi ¬°¬Û²§½è¼Æ¥B ni . ¬G¥Ñ f ¬O multiplicative ¥B gcd(p1n1, p2n2 ... prnr) = 1 ª¾ f (n) = f (p1n1p2n2 ... prnr) = f (p1n1)f (p2n2 ... prnr). Ä~Äò¤U¥h¨Ï¥Î¼Æ¾ÇÂk¯Çªkª¾ f (n) = f (p1n1) ... f (prnr). ¬G¥Ñ°²³]¤wª¾³o¨Ç f (pini) ¤§È§ÚÌ¥i½T©w f (n) ¤§È.
¨Ì Proposition 2.1.3 §Ú̪¾¦pªG f ¬O multiplicative arithmetic function, ¨º»òY¯à´x´¤©Ò¦³½è¼Æ p ¥H¤Î t ¤¤ f (pt) ¤§È¨º»ò´N¥i¥H§¹¥þ¤F¸Ñ f ³o¤@Ó¨ç¼Æ. ¤£¹L«eÃD¬On½T»{ f ¬O§_¬° multiplicative. ©³¤U§ÚÌ·|µ¹¤@Ó±`¥Î¨Ó½T»{¬O multiplicative ªº¤èªk. ³oÓ¤èªk¤£¥u¥i¥H®³¨Ó½T»{ multiplicative arithmetic function ¦Ó¥B¥i¥HÀ°§U§Ú̳гy³\¦h multiplicative arithmetic function. ¤£¹Lº¥ý§ÚÌ»Ýn¤@ӸɧU©w²z.
º¥ýÃÒ©ú¦s¦b©Ê. µ¹©w d| ab, n¦p¦ó§ä¨ì d1| a ¥B d2| b ¨Ï±o d = d1d2 ©O? ¥Ñ©ón¨D d1d2 = d ¥H¤Î d1| a ©Ò¥H d1 ¥²¶·¬O a ©M d ªº¤½¦]¼Æ. «ä¦Ò¤@¤U, §ÚÌ¥i¦Ò¼{¨ú d1 ¬° a, d ªº³Ì¤j¤½¦]¼Æ, ³o¼Ë¤@¨Ó d2 = d /d1 ·|¤ñ¸û¤p¤ñ¸û¥i¯à¾ã°£ b. ´NÅý§Ų́ú d1 = gcd(a, d ) ¬Ý¬Ý¬O§_¥i¦æ. ¦¹®É¥O d2 = d /d1, §Ú̽T¹ê¦³ d = d1d2 ¥B d1| a. ¥u³Ñ¤UnÅçÃÒ¬O§_ d2| b. µM¦Ó d| ab ¬Gª¾ (d /d1)|(a/d1)b. ¤S¥Ñ d1 = gcd(a, d ) ª¾ gcd(a/d1, d /d1) = 1 (Corollary 1.2.3), ¬G¥Ñ Proposition 1.2.7(1) ª¾ d /d1| b, ¤]´N¬O»¡ d2| b.
±µ¤U¨ÓÃҰߤ@©Ê. µ¹©w d| ab °²³]¦s¦b d1, d1', d2, d2' ¤À§Oº¡¨¬ d = d1d2, d1| a ¥B d2| b ¥H¤Î d = d1'd2', d1'| a ¥B d2'| b, §ÚÌnÃÒ©ú d1 = d1' ¥B d2 = d2'. ¥Ñ©ó d1d2 = d1'd2', §Ú̪¾ d1| d1'd2'. ¤S¥Ñ©ó d1| a, d2'| b ¥H¤Î gcd(a, b) = 1, §Ú̪¾ gcd(d1, d2') = 1. ©Ò¥H¦A§Q¥Î Proposition 1.2.7(1) ±oª¾ d1| d1'. ¦P²z¥iÃÒ d1'| d1 ¦A¥[¤W d1, d1' ¬Gª¾ d1 = d1', ¥B±o d2 = d2'.
¦b Lemma 2.1.4 ¦³Ãö©ó¦s¦b©ÊªºÃÒ©ú¤¤§Ú̵o²{¨Ã¥¼¥Î¨ì gcd(a, b) = 1 ªº°²³], ¤]´N¬O»¡¨Ã¤£»Ý°²³] gcd(a, b) = 1, ¹ï¥ô·N ab ªº¥¿¦]¼Æ³£¥i¥H§ä¨ì d1| a, d2| b ¨Ï±o d = d1d2. ¤£¹L¦bÃÒ©ú°ß¤@©Ê®É, gcd(a, b) = 1 ªº°²³]´N»Ýn¤F. ¤ñ¤è»¡¦Ò¼{ a = 6, b = 4 ©M d = 6 ªº±¡§Î, §ÚÌ¥i¥H¨ú d1 = 6, d2 = 1 ©M d1' = 3, d2' = 2 ³£º¡¨¬n¨D, ©Ò¥H°ß¤@©Ê¦b¦¹±¡ªp¨Ã¤£¦¨¥ß. ¥Ñ¦¹§Ṳ́]¦A¦¸±j½Õ°ß¤@©Êµ´¤£¯à¥Î¦]¬° a ©M d ªº³Ì¤j¤½¦]¼Æ¬O°ß¤@ªºª¾ d1 ¬O°ß¤@ªº¦Ó±oÃҰߤ@©Ê. ³o¬O¦]¬°µL±q±oª¾¬°¦ó d1 «D±o¬O a, b ªº³Ì¤j¤½¦]¼Æ¤£¥i. ©Ò¥H¦bÃÒ©ú°ß¤@©Ê®É, ¤j®aÁÙ¬On«ö³¡´N¯Z¦a¥ý°²³]¦³¨âºØ¼gªk¦A¥h»¡©ú³o¨âºØ¼gªk¬O¤@¼Ë, ³o¼Ëªº¤èªk¨Ó³B²z¤ñ¸û¤£·|¥X¿ù.
¨Æ¹ê¤W Lemma 2.1.4 §i¶D§ÚÌ·í gcd(a, b) = 1 ®É, Y d1,..., di,..., dr ©M e1,..., ej,..., es ¤À§O¬O a ©M b ©Ò¦³ªº¬Û²§¥¿¦]¼Æ, «h d1e1,..., diej,..., dres ·|¬O ab ©Ò¦³ªº¬Û²§¥¿¦]¼Æ. ³o¬O¦]¬°³o¨Ç diej ¤@©w¬O ab ªº¥¿¦]¼Æ, ¦A¥[¤W Lemma 2.1.4 §i¶D§ÚÌ ab ªº¥¿¤½¦]¼Æ¤@©w¥i¥H¼g¦¨ diej ªº§Î¦¡¦Ó¥B³o¨Ç diej ¤@©w¬Û²§. ±µ¤U¨Ó§ÚÌ´N¬On¥Î³o©Ê½è¨Ó§Q¥Î¤@Ó¤wª¾ªº multiplicative arithmetic function ±o¨ì·sªº multiplicative arithmetic function.
²{°²³] d1,..., di,...dr ©M e1,..., ej,..., es ¤À§O¬O a ©M b ©Ò¦³ªº¥¿¦]¼Æ. §Ú̦³ F(a) = f (d1) + ... + f (di) + ... + f (dr) ¥H¤Î F(b) = f (e1) + ... + f (ej) + ... + f (es). ¦]¦¹ª¾ F(a)F(b) = f (d1)f (e1) + ... + f (di)f (ej) + ... + f (dr)f (es). ¥Ñ©ó gcd(a, b) = 1 ¦Ó di, ej ¤À§O¬O a, b ªº¦]¼Æ, §Ú̪¾ gcd(di, ej) = 1. ¦A¥[¤W f ¬O multiplicative, ¬G±o¹ï©Ò¦³ di, ej ¬Ò¦³ f (di)f (ej) = f (diej). ¦]¦¹±o F(a)F(b) = f (d1e1) + ... + f (diej) + ... + f (dres). µM¦Ó Lemma 2.1.4 §i¶D§Ú̥ѩó gcd(a, b) = 1, ³o¨Ç d1e1,..., diej,..., dres è¦n´N¬O ab ©Ò¦³ªº¬Û²§¥¿¦]¼Æ, ¬G±oÃÒ F(ab) = F(a)F(b).
³Ì«á§ÚÌ¨Ó¬Ý¬Ý Example 2.1.2 ¤¤ªº §Q¥Î Theorem 2.1.5 ©Ò³Ð³y¥X¨Óªº multiplicative arithmetic function ¬°¦ó.