Field Extension 的 Degree

在大學基礎代數講義的 Chapter 9 Section 4 中我們曾經說明若 L/K 是一個 field extension 那麼我們可以將 L 看成是一個 vector space over K. 這件事情在我們新的 field extension 的定義之下仍是對的. 也就是說若 i : K$\to$L 是一個 field extension, 那麼仿照前面對任意的 k $\in$ K 及 l $\in$ L 我們定義 k ^. l : = i(k) ^. l, 很容易就可以驗證在此定義之下 L 仍為一個 vector space over K. 既然 L 是一個 vector space over K, 很自然的會考慮到其維度 (dimension) 因此我們仍然有以下的定義:

Definition 1.2.1   給定一個 field extension L/K, 我們用 [L : K] 來表示 dim_K(L), 稱之為 the degree of L over K. 若 [L : K] 是有限的 (即 L 是一個 finite dimensional vector space over K), 則稱 L 是 K 的一個 finite extension.

若 L₁/K 和 L₂/K 是兩個 isomorphic extensions over K, 由 extension degree 的定義大家應可理解 [L₁ : K] = [L₂ : K]. 這個證明很簡單不過我們仍將證明寫下讓大家了解當初要求 isomorphism 時要保持 K 的重要性.

Lemma 1.2.2   若 L₁/K 和 L₂/K 是兩個 isomorphic extensions over K, 則 [L₁ : K] = [L₂ : K].

証 明. 大家可以直接假設 K $\subseteq$ L₁ 和 K $\subseteq$ L₂ 來處理, 這裡我們用比較正式的定義來證明.

假設 i : K$\to$L₁ 和 j : K$\to$L₂ 分別為 L₁/K 和 L₂/K 的 extension 且 $\phi$ : L₁$\to$L₂ 為 L₁ 和 L₂ 的 isomorphism over K. 依定義 $\phi$ 是一個 ring homomorphism, 如果我們能證明 $\phi$ 是 L₁ 和 L₂ 這兩個 vector space over K 的 K-linear map, 那麼再由假設 $\phi$ 是 1-1 且 onto (因已知 $\phi$ 是 isomorphism) 可得 dim_K(L₁) = dim_K(L₂), 即 [L₁ : K] = [L₂ : K].

要證明 $\phi$ 是 K-linear, 只要證明對任意的 c $\in$ K 且 a, b $\in$ L₁, 皆有

$$\phi$$(c ^. a + b) = c ^. $$\phi$$(a) + $$\phi$$(b).

這裡的 c ^. a + b 需看成是 L₁ 中元素的運算, 依定義是 i(c) ^. a + b. 故利用 $\phi$ 是 L₁ 到 L₂ 的 ring homomorphism 知

$$\phi$$(c ^. a + b) = $$\phi$$(i(c) ^. a + b) = $$\phi$$(i(c) ^. a) + $$\phi$$(b) = $$\phi$$(i(c)) ^. $$\phi$$(a) + $$\phi$$(b).

另一方面, c ^. $\phi$(a) + $\phi$(b) 需看成是 L₂ 中元素的運算, 依定義是 j(c) ^. $\phi$(a) + $\phi$(b). 然而 $\phi$ 滿足 $\phi$(i(c)) = j(c) 故知 $\phi$(c ^. a + b) = c ^. $\phi$(a) + $\phi$(b), 也就是說 $\phi$ 是一個 K-linear map. $\qedsymbol$

從這個證明我們了解到若 $\phi$ 是 L₁ 到 L₂ 的 ring homomorphism 且保持 K 的運算那麼 $\phi$ 就是一個 L₁ 到 L₂ 的 K-linear map. 不過反過來並不一定對. 也就是說如果 $\psi$ : L₁$\to$L₂ 是一個 K-linear map 並不一定保證 $\psi$ 是一個 ring homomorphism. 這是由於 K-linear map 僅保持 K 中元素和 L₁ 中元素的乘法運算但是 ring homomorphism 卻需保持任兩個 L₁ 中元素的乘法運算. 因此要注意兩個 extensions L₁/K 和 L₂/K, 如果僅知 [L₁ : K] = [L₂ : K] 並不表示 L₁ 和 L₂ 是 isomorphic extensions over K.

若 L, F 和 K 皆為 fields, 且 i : K$\to$F 和 j : F$\to$L 皆為 1-1 的 ring homomorphism, 則 joi : K$\to$L 當然也是 1-1 的 ring homomorphism. 所以如果 L/F 和 F/K 是 field extensions 則 L 當然也是一個 field extension of K. 我們有以下重要有關 extension degree 的性質. 事實上這是大學基礎代數講義的 Theorem 9.4.6 和 Corollary 9.4.7 的合併, 我們就不再證明了.

Lemma 1.2.3   假設 L/F 和 F/K 是 field extensions. 若 F 是 K 的一個 finite extension 且 L 是 F 的一個 finite extension 則 L 也是 K 的一個 finite extension. 反之, 若 L 是 K 的一個 finite extension, 則 F 是 K 的一個 finite extension 且 L 是 F 的一個 finite extension.

另外, 在這兩個等價條件之下皆有:

[L : K] = [L : F][F : K].