利用合成函數的運算我們可以將 Aut(L) 視成一個 group. 也就是說對任意 , Aut(L), 我們考慮的運算為 o, 在此運算之下 Aut(L) 會是一個 group. 要注意這裡的``o''指的是合成而不是乘法. 也就是說對任意 L, 我們有 o() = (()), 因此 o 仍為 L 到 L 的函數. 而且 和 都是 ring isomorphisms, 很容易驗證 o 仍為 ring isomorphism. 因此 o Aut(L), 換句話說 Aut(L) 在 o 的運算下是封閉的 (closed).
要證明 Aut(L) 在 o 運算之下是一個 group 我們還須證明結合率 (associative law) 即 o(o) = (o)o 以及存在 identity 和 inverse. 合成函數的結合率在一般的集合論中有介紹 (你也可以用元素代入自行驗證) 這裡不做驗證. 至於 identity 會是什麼呢? 大家很快猜出應該是 identity 這個函數. 這裡我們用 I 來表示, 也就是說 I : LL 滿足對任意 L 皆有 I() = . 當然了 I 是 ring isomorphism 所以 I Aut(L). 又因為對任意 Aut(L) 皆有 oI = Io = , 所以 I 會是 Aut(L) 在 o 的運算之下的 identity.
對任意的 Aut(L), 其 inverse 會是什麼呢? 從函數的觀點看來和 合成後會是 I 的函數應就是 的反函數. 又加上 是 1-1 且 onto 其反函數 必存在, 所以我們找到``候選人"了: 就是 的反函數 . 最後我們僅要證明 Aut(L) 即可. 首先我們要證明: : LL 仍為 ring isomorphism. 是 1-1 且 onto 可由反函數定義推得, 所以只要證明 為 ring homomorphism 即可. 也就是說對任意 a, b L 我們要證明
前面提過為了方便記, 當 L/K 是 field extensions 時我們可以直接假設 K L. 在這個時候, 若 : LL 是 L 的一個 automorphism 且對任意 k K 皆滿足 (k) = k, 我們稱 為 L 的一個 K-automorphism. 我們將 L 的所有 K-automorphisms 所成的集合用 AutK(L) 表示. 簡單來說 AutK(L) 的元素就是 L 的 automorphisms 中會將 K 的元素固定的那些 automorphisms.
AutK(L) 當然是 Aut(L) 的一個 subset, 事實上在 o 的運算下 AutK(L) 會是 Aut(L) 的一個 subgroup. 要證明這件事, 依 group 的理論我們只要證明封閉性和 inverse 存在即可. 首先若 , AutK(L), 由於對任意 k K 我們皆有 (k) = k 且 (k) = k, 所以得到 o(k) = ((k)) = (k) = k. 也就是說 o AutK(L). 最後對任意 k K, 由於 (k) = k 故知 (k) = ((k)) = k. 因此 仍為 K-automorphism, 也就是說 AutK(L).
AutK(L) 既然是一個 group 又和 L/K 這一個 extension 息息相關, 我們有以下的定義來突顯這兩件事.
AutK(L) 和 Gal(L/K) 是一樣的, 不過當我們要談論 Galois 的相關理論時我們會特別選用 Gal(L/K) 這個符號.
當 F/K 是 L/K 的 subextension, 即 F 是一個 field 且 K F L. 我們稱 F 是 L/K 的 intermediate field. 這時我們有兩個 groups 可以考慮: 一個是 Gal(L/F), 另一個是 Gal(F/K). 這兩個 groups 都和 Gal(L/K) 有關, 不過 Gal(L/F) 和 Gal(L/K) 的關係較直接, 所以我們先討論 Gal(L/F) 和 Gal(L/K) 的關係.
事實上若 Gal(L/F), 依定義我們當然有 Aut(L) 而且 將 F 中的元素固定. 然而由於 K F 我們知 當然也將 K 中的元素固定. 也就是說 AutK(L) = Gal(L/K). 我們得證 Gal(L/F) Gal(L/K). 又由於 Gal(L/K) 和 Gal(L/F) 在 o 的運算之下都是 group, 所以 Gal(L/F) 是 Gal(L/K) 的 subgroup.
若令 是 L/K 的 intermediate fields 所成的集合且令 是 Gal(L/K) 的 subgroups 所成的集合. 由以上的討論我們可以訂一個從 到 的函數 . 這個函數 : 的定義如下: 對任意 L/K 的 intermediate field F , 我們定義 (F) = Gal(L/F).
由定義我們知道 (K) = Gal(L/K). 另外 (L) = Gal(L/L) = AutL(L), 也就是說 (L) 中的元素 必須是 L 到 L 的函數且滿足對任意 L 皆有 () = . 這表示 = I, 因此得知 (L) = {I} 是由 identity 所成的 trivial group. 對於函數 , 我們還有以下的性質.
這裡我們要強調: 必須先固定一個 extension L/K 才能定義出 這一個函數. 另外要注意的是 的定義域是一些 fields 所成的集合而不是 field. 更具體一點來說就是: 可以代入 的應該是 L/K 的 intermediate field 而不是 L 的元素. 同樣的將一個 intermediate field 代入 後所得的結果會是 Gal(L/K) 的 subgroup, 而不是 Gal(L/K) 中的元素. 千萬不要誤以為這裡定的 是從 L 送到 Gal(L/K) 的函數.
接下來我們要介紹一些 Galois groups 的例子. 因為我們舉的例子都是 simple extensions, 所以先介紹一下探討 simple extension 的 Galois group 的基本方法.
假設 L/K 是一個 simple extension of degree n, 即 L = K() 其中 over K 的 minimal polynomial 為 f (x) K[x] 且 deg(f (x)) = n. 在前一章中我們提及對任意的 K() 都可唯一表示成:
那麼對任意的 Gal(L/K), () 有可能取哪些值呢? 首先我們觀察對任意的 g(x) = amxm + am - 1xm - 1 + ... + a1x + a0 K[x], 由於
上一個結論只是說 () 必為 f (x) 在 L 中的一個根. 並不表示對任意 f (x) 在 L 中的一個根 皆存在 Gal(L/K) 使得 () = . 接下來我們要說明這是對的. 首先回顧一下: 若 f (x) K[x] 是一個 irreducible polynomial 且 和 為其根, 從大學基礎代數講義的 Corollary 10.1.7 我們知道存在 K-isomorphisms : K[x]/(f (x))K() 和 : K[x]/(f (x))K() 滿足 () = 和 () = . 考慮 = o : K()K(), 很容易檢查 仍為 K-isomorphism 且滿足 () = . 現若又知 L = K(), 由於 K() L 且 [K() : K] = [L : K] = n, 可得 K() = L = K(). 換句話說在這情況下 為 L 的 K-automorphism, 也就是說 Gal(L/K) 且滿足 () = . 綜合以上的討論, 我們可以由 f (x) 在 L 中相異根的個數得知 Gal(L/K) 的 order. (回顧一下所謂一個 finite group G 的 order 就是 G 中元素的個數, 記作 G.)
假設 , Gal(L/K) 滿足 () = (), 即 () = (). 由前面討論知 和 對任意 L 中元素的取值完全由 () 和 () 來決定. 因此由 () = () 得知 = , 也就是說 是 1-1. 另一方面對任意 S 由前面討論知必存在 Gal(L/K) 使得 () = , 也就是說 () = . 故得證 是 onto, 因此知 Gal(L/K) 的 order 為 m.
由於一個多項式在一個 field 中其解的個數不超過此多項式的次數, 我們很容易得到以下之結果.
這裡我們預告一下, 當 L/K 是 finite extension 時, 以後我們會知道即使 L/K 不是 simple extension, 仍然會有 Gal(L/K)[L : K]. 接下來我們來看兩個 simple extension 的例子.
首先我們討論 Gal(L/) 是怎樣的 group. 由於 且 L = () 是包含 和 最小的 field, 故知 L . 但 i 且 - i , 我們得知 x4 - 2 在 L 中的根為 和 - . 故由 Proposition 2.1.3 得知 Gal(L/) = 2 < 4 = [L : ].
從 group 的理論我們知只有兩個元素的 group 必 isomorphic to /2, 因此我們知 Gal(L/) 是一個 order 2 的 cyclic group. 事實上 Gal(L/) 有兩個元素: 一個是 identity I 將 送到 , 另一個不為 identity 的元素 將 送到 - . 由於 () = - , 我們知
因為 = 2, 很容易看出 是 x2 - 2 的一個根. 令 F = (). 由於 x2 - 2 是 irreducible over , 所以 [F : ] = 2, 又因為 L, 我們知 F L. 既然 F 是 L/K 的 intermediate field, 那麼 (F) = Gal(L/F) 是甚麼呢? 已知 Gal(L/F) 會是 Gal(L/) 的 subgroup, 又知 Gal(L/) 是一個 order 2 的 cyclic group, 所以 Gal(L/F) 要不是 identity 就是 Gal(L/). 因此我們只要檢驗 Gal(L/) 中不為 identity 的 (即 () = - ) 是否在 Gal(L/F) 中即可: 也就是要檢查 是否將 F = () 中的元素固定. 因為 已將 中元素固定, 所以若 可將 固定, 則 會將 F = () 中所有的元素固定 (別忘了 () 中的元素都是 r0 + r1 其中 r0, r1 這種形式). 然而
由於 ( + i) . ( - i) = 3, 知 = - i = 3( + i)-1 = 3 L. 因此 x4 - 2x2 + 9 在 中的 4 個根 (即 , - , 3 和 -3) 都在 L 中. 故由 Proposition 2.1.3 知 Gal(L/) = 4.
由 group 的理論知 Gal(L/) 會 isomorphic to /4 或 /2×/2 其中之一. 區分 /4 和 /2×/2 這兩個 groups 的方法是: 由於 /4 是一個 order 4 的 cyclic group, 所以其中必存在一個 order 4 的元素, 而 /2×/2 就沒有 order 4 的元素. 因此我們需檢查 Gal(L/) 中所有元素的 order. 已經知道 Gal(L/) 中將 送到 的元素就是 identity, 所以我們只要考慮其他三個元素 ,, Gal(L/) 其中
接下來我們看看 L/K 的 intermediate fields. 由於 ( + i) + ( - i) = 2 以及 ( + i) - ( - i) = 2i, 我們知
要知道 (F1) (即 Gal(L/F1)) 是 Gal(L/) 的哪一個 subgroup, 我們需要探討在 , 和 中哪些會固定 F1 = (i) 中所有的元素. 由於