Galois Group

當 L 是一個 field 時, 從 L 到 L 的 1-1 且 onto 的 ring homomorphism 稱為 L 的 automorphism. 我們用 Aut(L) 表示所有 L 的 automorphisms 所成的集合. 本節將討論 Aut(L) 相關的性質.

利用合成函數的運算我們可以將 Aut(L) 視成一個 group. 也就是說對任意 $\sigma$,$\tau$ $\in$ Aut(L), 我們考慮的運算為 $\sigma$o$\tau$, 在此運算之下 Aut(L) 會是一個 group. 要注意這裡的``o''指的是合成而不是乘法. 也就是說對任意 $\lambda$ $\in$ L, 我們有 $\sigma$o$\tau$($\lambda$) = $\sigma$($\tau$($\lambda$)), 因此 $\sigma$o$\tau$ 仍為 L 到 L 的函數. 而且 $\sigma$ 和 $\tau$ 都是 ring isomorphisms, 很容易驗證 $\sigma$o$\tau$ 仍為 ring isomorphism. 因此 $\sigma$o$\tau$ $\in$ Aut(L), 換句話說 Aut(L) 在 o 的運算下是封閉的 (closed).

要證明 Aut(L) 在 o 運算之下是一個 group 我們還須證明結合率 (associative law) 即 $\sigma$o($\tau$o$\rho$) = ($\sigma$o$\tau$)o$\rho$ 以及存在 identity 和 inverse. 合成函數的結合率在一般的集合論中有介紹 (你也可以用元素代入自行驗證) 這裡不做驗證. 至於 identity 會是什麼呢? 大家很快猜出應該是 identity 這個函數. 這裡我們用 I 來表示, 也就是說 I : L$\to$L 滿足對任意 $\lambda$ $\in$ L 皆有 I($\lambda$) = $\lambda$. 當然了 I 是 ring isomorphism 所以 I $\in$ Aut(L). 又因為對任意 $\sigma$ $\in$ Aut(L) 皆有 $\sigma$oI = Io$\sigma$ = $\sigma$, 所以 I 會是 Aut(L) 在 o 的運算之下的 identity.

對任意的 $\sigma$ $\in$ Aut(L), 其 inverse 會是什麼呢? 從函數的觀點看來和 $\sigma$ 合成後會是 I 的函數應就是 $\sigma$ 的反函數. 又加上 $\sigma$ 是 1-1 且 onto 其反函數 $\sigma^{-1}_{}$ 必存在, 所以我們找到``候選人"了: 就是 $\sigma$ 的反函數 $\sigma^{-1}_{}$. 最後我們僅要證明 $\sigma^{-1}_{}$ $\in$ Aut(L) 即可. 首先我們要證明: $\sigma^{-1}_{}$ : L$\to$L 仍為 ring isomorphism. $\sigma^{-1}_{}$ 是 1-1 且 onto 可由反函數定義推得, 所以只要證明 $\sigma^{-1}_{}$ 為 ring homomorphism 即可. 也就是說對任意 a, b $\in$ L 我們要證明

$$\sigma^{-1}_{}$$(a + b) = $$\sigma^{-1}_{}$$(a) + $$\sigma^{-1}_{}$$(b)    且    $$\sigma^{-1}_{}$$(a ^. b) = $$\sigma^{-1}_{}$$(a) ^. $$\sigma^{-1}_{}$$(b).

因為 $\sigma$ 是 ring homomorphism, 故得

$$\sigma$$($$\sigma^{-1}_{}$$(a) + $$\sigma^{-1}_{}$$(b)) = $$\sigma$$($$\sigma^{-1}_{}$$(a)) + $$\sigma$$($$\sigma^{-1}_{}$$(b)) = a + b.

也就是說 $\sigma^{-1}_{}$(a + b) 和 $\sigma^{-1}_{}$(a) + $\sigma^{-1}_{}$(b) 經由 $\sigma$ 作用後皆得 a + b. 所以由 $\sigma$ 是 1-1 得知 $\sigma^{-1}_{}$(a + b) = $\sigma^{-1}_{}$(a) + $\sigma^{-1}_{}$(b). 同理可得 $\sigma^{-1}_{}$(a ^. b) = $\sigma^{-1}_{}$(a) ^. $\sigma^{-1}_{}$(b). 由此知 $\sigma^{-1}_{}$ $\in$ Aut(L) 從而得證 Aut(L) 在 o 的運算之下是一個 group.

前面提過為了方便記, 當 L/K 是 field extensions 時我們可以直接假設 K $\subseteq$ L. 在這個時候, 若 $\sigma$ : L$\to$L 是 L 的一個 automorphism 且對任意 k $\in$ K 皆滿足 $\sigma$(k) = k, 我們稱 $\sigma$ 為 L 的一個 K-automorphism. 我們將 L 的所有 K-automorphisms 所成的集合用 Aut_K(L) 表示. 簡單來說 Aut_K(L) 的元素就是 L 的 automorphisms 中會將 K 的元素固定的那些 automorphisms.

Aut_K(L) 當然是 Aut(L) 的一個 subset, 事實上在 o 的運算下 Aut_K(L) 會是 Aut(L) 的一個 subgroup. 要證明這件事, 依 group 的理論我們只要證明封閉性和 inverse 存在即可. 首先若 $\sigma$,$\tau$ $\in$ Aut_K(L), 由於對任意 k $\in$ K 我們皆有 $\sigma$(k) = k 且 $\tau$(k) = k, 所以得到 $\sigma$o$\tau$(k) = $\sigma$($\tau$(k)) = $\sigma$(k) = k. 也就是說 $\sigma$o$\tau$ $\in$ Aut_K(L). 最後對任意 k $\in$ K, 由於 $\sigma$(k) = k 故知 $\sigma^{-1}_{}$(k) = $\sigma^{-1}_{}$($\sigma$(k)) = k. 因此 $\sigma^{-1}_{}$ 仍為 K-automorphism, 也就是說 $\sigma^{-1}_{}$ $\in$ Aut_K(L).

Aut_K(L) 既然是一個 group 又和 L/K 這一個 extension 息息相關, 我們有以下的定義來突顯這兩件事.

Definition 2.1.1   對任意的 extension L/K 我們稱 Aut_K(L) 為 L/K 的 Galois group. 通常我們會把 L/K 的 Galois group 記為 Gal(L/K).

Aut_K(L) 和 Gal(L/K) 是一樣的, 不過當我們要談論 Galois 的相關理論時我們會特別選用 Gal(L/K) 這個符號.

當 F/K 是 L/K 的 subextension, 即 F 是一個 field 且 K $\subseteq$ F $\subseteq$ L. 我們稱 F 是 L/K 的 intermediate field. 這時我們有兩個 groups 可以考慮: 一個是 Gal(L/F), 另一個是 Gal(F/K). 這兩個 groups 都和 Gal(L/K) 有關, 不過 Gal(L/F) 和 Gal(L/K) 的關係較直接, 所以我們先討論 Gal(L/F) 和 Gal(L/K) 的關係.

事實上若 $\sigma$ $\in$ Gal(L/F), 依定義我們當然有 $\sigma$ $\in$ Aut(L) 而且 $\sigma$ 將 F 中的元素固定. 然而由於 K $\subseteq$ F 我們知 $\sigma$ 當然也將 K 中的元素固定. 也就是說 $\sigma$ $\in$ Aut_K(L) = Gal(L/K). 我們得證 Gal(L/F) $\subseteq$ Gal(L/K). 又由於 Gal(L/K) 和 Gal(L/F) 在 o 的運算之下都是 group, 所以 Gal(L/F) 是 Gal(L/K) 的 subgroup.

若令 $\mathfrak{F}$ 是 L/K 的 intermediate fields 所成的集合且令 $\mathfrak{G}$ 是 Gal(L/K) 的 subgroups 所成的集合. 由以上的討論我們可以訂一個從 $\mathfrak{F}$ 到 $\mathfrak{G}$ 的函數 $\mathcal {G}$. 這個函數 $\mathcal {G}$ : $\mathfrak{F}\to\mathfrak{G}$ 的定義如下: 對任意 L/K 的 intermediate field F $\in$ $\mathfrak{F}$, 我們定義 $\mathcal {G}$(F) = Gal(L/F).

由定義我們知道 $\mathcal {G}$(K) = Gal(L/K). 另外 $\mathcal {G}$(L) = Gal(L/L) = Aut_L(L), 也就是說 $\mathcal {G}$(L) 中的元素 $\sigma$ 必須是 L 到 L 的函數且滿足對任意 $\lambda$ $\in$ L 皆有 $\sigma$($\lambda$) = $\lambda$. 這表示 $\sigma$ = I, 因此得知 $\mathcal {G}$(L) = {I} 是由 identity 所成的 trivial group. 對於函數 $\mathcal {G}$, 我們還有以下的性質.

Lemma 2.1.2   給定一 extension L/K, 若 F₁, F₂ $\in$ $\mathfrak{F}$ 是 L/K 之兩個 intermediate fields 且滿足 F₁ $\subseteq$ F₂, 則 $\mathcal {G}$(F₂) $\subseteq$ $\mathcal {G}$(F₁).

証 明. 若 $\sigma$ $\in$ $\mathcal {G}$(F₂) = Gal(L/F₂), 即表示 $\sigma$ 是 L 的 automorphism 且將 F₂ 中的元素固定. 然而由於 F₁ $\subseteq$ F₂, 可知 $\sigma$ 當然也將 F₁ 中的元素固定. 故得 $\sigma$ $\in$ Gal(L/F₁) = $\mathcal {G}$(F₁). 得證 $\mathcal {G}$(F₂) $\subseteq$ $\mathcal {G}$(F₁). $\qedsymbol$

這裡我們要強調: 必須先固定一個 extension L/K 才能定義出 $\mathcal {G}$ 這一個函數. 另外要注意的是 $\mathcal {G}$ 的定義域是一些 fields 所成的集合而不是 field. 更具體一點來說就是: 可以代入 $\mathcal {G}$ 的應該是 L/K 的 intermediate field 而不是 L 的元素. 同樣的將一個 intermediate field 代入 $\mathcal {G}$ 後所得的結果會是 Gal(L/K) 的 subgroup, 而不是 Gal(L/K) 中的元素. 千萬不要誤以為這裡定的 $\mathcal {G}$ 是從 L 送到 Gal(L/K) 的函數.

接下來我們要介紹一些 Galois groups 的例子. 因為我們舉的例子都是 simple extensions, 所以先介紹一下探討 simple extension 的 Galois group 的基本方法.

假設 L/K 是一個 simple extension of degree n, 即 L = K($\alpha$) 其中 $\alpha$ over K 的 minimal polynomial 為 f (x) $\in$ K[x] 且 deg(f (x)) = n. 在前一章中我們提及對任意的 $\lambda$ $\in$ K($\alpha$) 都可唯一表示成:

$$\lambda$$ = c₀ + c₁$$\alpha$$ + ^... + c_{n - 1}$$\alpha^{n-1}_{}$$,    其中 c₀, c₁..., c_{n - 1} $\in$ K.

現若 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K), 則由於 $\sigma$ 是 ring homomorphism 且將 K 中的元素固定, 可得

$$\sigma$$($$\lambda$$) = $$\sigma$$(c₀ + c₁$$\alpha$$ + ^... + c_{n - 1}$$\alpha^{n-1}_{}$$) = c₀ + c₁$$\sigma$$($$\alpha$$) + ^... + c_{n - 1}$$\sigma$$($$\alpha$$)^{n - 1}.

換言之, 對任意 $\lambda$ $\in$ L, $\sigma$($\lambda$) 的取值完全可由 $\sigma$($\alpha$) 決定. 所以要了解 Gal(L/K) 只要了解對任意 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K), $\sigma$($\alpha$) 有哪些可能的取值. 這個概念對 simple extension 的 Galois group 相當重要, 我們不時的會用它來處理 simple extension.

那麼對任意的 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K), $\sigma$($\alpha$) 有可能取哪些值呢? 首先我們觀察對任意的 g(x) = a_mx^m + a_{m - 1}x^{m - 1} + ^... + a₁x + a₀ $\in$ K[x], 由於

g($$\alpha$$) = a_m$$\alpha^{m}_{}$$ + a_{m - 1}$$\alpha^{m-1}_{}$$ + ^... + a₁$$\alpha$$ + a₀,

以及 $\sigma$ 是 ring homomorphism 且將 K 中的元素固定, 我們有

$$\sigma \alpha \sigma \alpha^{m}_{} \alpha^{m-1}_{} \alpha$$ =

$$\sigma \alpha \sigma \alpha \sigma \alpha$$ =

$$\sigma \alpha$$ = (2.1)

現在由於 f (x) 是 $\alpha$ over K 的 minimal polynomial, 我們有 f (x) $\in$ K[x] 且 f ($\alpha$) = 0, 套用等式 (2.1) 可得

f ($$\sigma$$($$\alpha$$)) = $$\sigma$$(f ($$\alpha$$)) = $$\sigma$$(0) = 0.

也就是說 $\sigma$($\alpha$) 必為 f (x) 的一個根. 又別忘了 $\sigma$ 是 L 到 L 的 automorphism, 故知 $\sigma$($\alpha$) $\in$ L. 所以我們可以總結說: 若 L = K($\alpha$), f (x) $\in$ K[x] 為 $\alpha$ 的 minimal polynomial over K 且 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K), 則 $\sigma$($\alpha$) 必為 f (x) 在 L 中的一個根.

上一個結論只是說 $\sigma$($\alpha$) 必為 f (x) 在 L 中的一個根. 並不表示對任意 f (x) 在 L 中的一個根 $\beta$ 皆存在 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 使得 $\sigma$($\alpha$) = $\beta$. 接下來我們要說明這是對的. 首先回顧一下: 若 f (x) $\in$ K[x] 是一個 irreducible polynomial 且 $\alpha$ 和 $\beta$ 為其根, 從大學基礎代數講義的 Corollary 10.1.7 我們知道存在 K-isomorphisms $\phi$ : K[x]/(f (x))$\to$K($\alpha$) 和 $\psi$ : K[x]/(f (x))$\to$K($\beta$) 滿足 $\phi$($\overline{x}$) = $\alpha$ 和 $\psi$($\overline{x}$) = $\beta$. 考慮 $\rho$ = $\psi$o$\phi^{-1}_{}$ : K($\alpha$)$\to$K($\beta$), 很容易檢查 $\rho$ 仍為 K-isomorphism 且滿足 $\rho$($\alpha$) = $\beta$. 現若又知 $\beta$ $\in$ L = K($\alpha$), 由於 K($\beta$) $\subseteq$ L 且 [K($\beta$) : K] = [L : K] = n, 可得 K($\beta$) = L = K($\alpha$). 換句話說在這情況下 $\rho$ 為 L 的 K-automorphism, 也就是說 $\rho$ $\in$ Gal(L/K) 且滿足 $\rho$($\alpha$) = $\beta$. 綜合以上的討論, 我們可以由 f (x) 在 L 中相異根的個數得知 Gal(L/K) 的 order. (回顧一下所謂一個 finite group G 的 order 就是 G 中元素的個數, 記作 $\left\vert\vphantom{ G}\right.$G$\left.\vphantom{ G}\right\vert$.)

Proposition 2.1.3   假設 L = K($\alpha$) 是一個 finite simple extension over K 且 f (x) $\in$ K[x] 為 $\alpha$ over K 的 minimal polynomial. 若 f (x) 在 L 中共有 m 個相異根, 則 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$ = m.

証 明. 令 S = {$\beta$ $\in$ L | f ($\beta$) = 0} 為 L 中所有 f (x) 的根所成的集合. 考慮一函數 $\chi$ : Gal(L/K)$\to$S 使得對任意 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 定義 $\chi$($\sigma$) = $\sigma$($\alpha$). 從前面討論知對任意 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K), 皆有 $\sigma$($\alpha$) $\in$ S, 所以 $\chi$ 是一個 well defined 的函數. 我們目的是要證明 $\chi$ 是 1-1 且 onto 由此可得 Gal(L/K) 和 S 的元素個數相等.

假設 $\sigma$,$\tau$ $\in$ Gal(L/K) 滿足 $\chi$($\sigma$) = $\chi$($\tau$), 即 $\sigma$($\alpha$) = $\tau$($\alpha$). 由前面討論知 $\sigma$ 和 $\tau$ 對任意 L 中元素的取值完全由 $\sigma$($\alpha$) 和 $\tau$($\alpha$) 來決定. 因此由 $\sigma$($\alpha$) = $\tau$($\alpha$) 得知 $\sigma$ = $\tau$, 也就是說 $\chi$ 是 1-1. 另一方面對任意 $\beta$ $\in$ S 由前面討論知必存在 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 使得 $\sigma$($\alpha$) = $\beta$, 也就是說 $\chi$($\sigma$) = $\beta$. 故得證 $\chi$ 是 onto, 因此知 Gal(L/K) 的 order 為 m. $\qedsymbol$

由於一個多項式在一個 field 中其解的個數不超過此多項式的次數, 我們很容易得到以下之結果.

Corollary 2.1.4   假設 L/K 是一個 finite simple extension, 則

$$\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$$Gal(L/K)$$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$$$$\le$$[L : K].

証 明. 假設 L = K($\alpha$) 且 $\alpha$ over K 的 minimal polynomial f (x) 的次數為 n. 我們知在 L 中 f (x) 的根的個數必小於或等於 n 而且 [L : K] = n, 故由 Proposition 2.1.3 知

$$\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$$Gal(L/K)$$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$$$$\le$$n = [L : K].

$\qedsymbol$

這裡我們預告一下, 當 L/K 是 finite extension 時, 以後我們會知道即使 L/K 不是 simple extension, 仍然會有 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$$\le$[L : K]. 接下來我們來看兩個 simple extension 的例子.

Example 2.1.5   利用 Eisenstain criterion 參見大學基礎代數講義Proposition 7.3.14 我們知道 x⁴ - 2 是 $\mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible polynomial. 令 $\alpha$ = $\sqrt[4]{2}$ 是 x⁴ - 2 = 0 唯一的正實數解, 我們有 $\alpha$, - $\alpha$, $\alpha$i 以及 - $\alpha$i 是 x⁴ - 2 = 0 在 $\mathbb {C}$ 中的 4 個解. 現令 L = $\mathbb {Q}$($\alpha$), 我們考慮 L/$\mathbb {Q}$ 這一個 extension.

首先我們討論 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 是怎樣的 group. 由於 $\alpha$ $\in$ $\mathbb {R}$ 且 L = $\mathbb {Q}$($\alpha$) 是包含 $\mathbb {Q}$ 和 $\alpha$ 最小的 field, 故知 L $\subseteq$ $\mathbb {R}$. 但 $\alpha$i $\not\in$$\mathbb {R}$ 且 - $\alpha$i $\not\in$$\mathbb {R}$, 我們得知 x⁴ - 2 在 L 中的根為 $\alpha$ 和 - $\alpha$. 故由 Proposition 2.1.3 得知 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})}\right.$Gal(L/$\mathbb {Q}$)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})}\right\vert$ = 2 < 4 = [L : $\mathbb {Q}$].

從 group 的理論我們知只有兩個元素的 group 必 isomorphic to $\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$, 因此我們知 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 是一個 order 2 的 cyclic group. 事實上 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 有兩個元素: 一個是 identity I 將 $\alpha$ 送到 $\alpha$, 另一個不為 identity 的元素 $\sigma$ 將 $\alpha$ 送到 - $\alpha$. 由於 $\sigma$($\alpha$) = - $\alpha$, 我們知

$$\sigma$$o$$\sigma$$($$\alpha$$) = $$\sigma$$($$\sigma$$($$\alpha$$)) = $$\sigma$$(- $$\alpha$$) = - $$\sigma$$($$\alpha$$) = $$\alpha$$.

得知 $\sigma$o$\sigma$ = I, 也就是說 $\sigma$ 的 order 確為 2. 因此 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 的確是一個 order 2 的 cyclic group.

因為 $\alpha^{4}_{}$ = 2, 很容易看出 $\alpha^{2}_{}$ 是 x² - 2 的一個根. 令 F = $\mathbb {Q}$($\alpha^{2}_{}$). 由於 x² - 2 是 irreducible over $\mathbb {Q}$, 所以 [F : $\mathbb {Q}$] = 2, 又因為 $\alpha^{2}_{}$ $\in$ L, 我們知 $\mathbb {Q}$ $\subsetneq$ F $\subsetneq$ L. 既然 F 是 L/K 的 intermediate field, 那麼 $\mathcal {G}$(F) = Gal(L/F) 是甚麼呢? 已知 Gal(L/F) 會是 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 的 subgroup, 又知 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 是一個 order 2 的 cyclic group, 所以 Gal(L/F) 要不是 identity 就是 Gal(L/$\mathbb {Q}$). 因此我們只要檢驗 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 中不為 identity 的 $\sigma$ (即 $\sigma$($\alpha$) = - $\alpha$) 是否在 Gal(L/F) 中即可: 也就是要檢查 $\sigma$ 是否將 F = $\mathbb {Q}$($\alpha^{2}_{}$) 中的元素固定. 因為 $\sigma$ 已將 $\mathbb {Q}$ 中元素固定, 所以若 $\sigma$ 可將 $\alpha^{2}_{}$ 固定, 則 $\sigma$ 會將 F = $\mathbb {Q}$($\alpha^{2}_{}$) 中所有的元素固定 (別忘了 $\mathbb {Q}$($\alpha^{2}_{}$) 中的元素都是 r₀ + r₁$\alpha^{2}_{}$ 其中 r₀, r₁ $\in$ $\mathbb {Q}$ 這種形式). 然而

$$\sigma$$($$\alpha^{2}_{}$$) = $$\sigma$$($$\alpha$$)² = (- $$\alpha$$)² = $$\alpha^{2}_{}$$,

我們得知 $\sigma$ $\in$ Gal(L/F), 也就是說 Gal(L/F) = Gal(L/$\mathbb {Q}$). 用 $\mathcal {G}$ 這個函數來看就是 $\mathcal {G}$(F) = $\mathcal {G}$($\mathbb {Q}$). 由於已知 F$\ne$$\mathbb {Q}$, 所以在這情況之下 $\mathcal {G}$ 不是一對一的函數.

Example 2.1.6   令 L = $\mathbb {Q}$($\alpha$) 其中 $\alpha$ = $\sqrt{2}$ + i. 很容易驗證 x⁴ - 2x² + 9 $\in$ $\mathbb {Q}$[x] 是 $\alpha$ over $\mathbb {Q}$ 的 minimal polynomial. 我們有

$$\alpha$$ = $$\sqrt{2}$$ + i,     - $$\alpha$$ = - $$\sqrt{2}$$ - i,    $$\overline{\alpha}$$ = $$\sqrt{2}$$ - i    and     - $$\overline{\alpha}$$ = - $$\sqrt{2}$$ + i

是 x⁴ - 2x² + 9 = 0 在 $\mathbb {C}$ 中的 4 個解.

由於 ($\sqrt{2}$ + i) ^. ($\sqrt{2}$ - i) = 3, 知 $\overline{\alpha}$ = $\sqrt{2}$ - i = 3($\sqrt{2}$ + i)^-1 = 3$\alpha^{-1}_{}$ $\in$ L. 因此 x⁴ - 2x² + 9 在 $\mathbb {C}$ 中的 4 個根 (即 $\alpha$, - $\alpha$, 3$\alpha^{-1}_{}$ 和 -3$\alpha^{-1}_{}$) 都在 L 中. 故由 Proposition 2.1.3 知 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})}\right.$Gal(L/$\mathbb {Q}$)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})}\right\vert$ = 4.

由 group 的理論知 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 會 isomorphic to $\mathbb {Z}$/4$\mathbb {Z}$ 或 $\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$×$\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$ 其中之一. 區分 $\mathbb {Z}$/4$\mathbb {Z}$ 和 $\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$×$\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$ 這兩個 groups 的方法是: 由於 $\mathbb {Z}$/4$\mathbb {Z}$ 是一個 order 4 的 cyclic group, 所以其中必存在一個 order 4 的元素, 而 $\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$×$\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$ 就沒有 order 4 的元素. 因此我們需檢查 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 中所有元素的 order. 已經知道 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 中將 $\alpha$ 送到 $\alpha$ 的元素就是 identity, 所以我們只要考慮其他三個元素 $\sigma_{1}^{}$,$\sigma_{2}^{}$,$\sigma_{3}^{}$ $\in$ Gal(L/$\mathbb {Q}$) 其中

$$\sigma_{1}^{}$$($$\alpha$$) = - $$\alpha$$,    $$\sigma_{2}^{}$$($$\alpha$$) = $$\overline{\alpha}$$ = 3$$\alpha^{-1}_{}$$    and    $$\sigma_{3}^{}$$($$\alpha$$) = - $$\overline{\alpha}$$ = - 3$$\alpha^{-1}_{}$$.

因為

$$\sigma_{1}^{}$$o$$\sigma_{1}^{}$$($$\alpha$$) = $$\sigma_{1}^{}$$($$\sigma_{1}^{}$$($$\alpha$$)) = $$\sigma_{1}^{}$$(- $$\alpha$$) = - $$\sigma_{1}^{}$$($$\alpha$$) = - (- $$\alpha$$) = $$\alpha$$,

得知 $\sigma_{1}^{}$o$\sigma_{1}^{}$ = I, 也就是說 $\sigma_{1}^{}$ 的 order 為 2. 另一方面

$$\sigma_{2}^{}$$o$$\sigma_{2}^{}$$($$\alpha$$) = $$\sigma_{2}^{}$$($$\sigma_{2}^{}$$($$\alpha$$)) = $$\sigma_{2}^{}$$(3$$\alpha^{-1}_{}$$) = 3$$\sigma_{2}^{}$$($$\alpha$$)^-1 = 3(3$$\alpha^{-1}_{}$$)^-1 = $$\alpha$$,

以及

$$\sigma_{3}^{}$$o$$\sigma_{3}^{}$$($$\alpha$$) = $$\sigma_{3}^{}$$($$\sigma_{3}^{}$$($$\alpha$$)) = $$\sigma_{3}^{}$$(- 3$$\alpha^{-1}_{}$$) = - 3$$\sigma_{3}^{}$$($$\alpha$$)^-1 = - 3(- 3$$\alpha^{-1}_{}$$)^-1 = $$\alpha$$,

所以 $\sigma_{2}^{}$ 和 $\sigma_{3}^{}$ 的 order 皆為 2. 得知 Gal(L/$\mathbb {Q}$) $\simeq$ $\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$×$\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$.

接下來我們看看 L/K 的 intermediate fields. 由於 ($\sqrt{2}$ + i) + ($\sqrt{2}$ - i) = 2$\sqrt{2}$ 以及 ($\sqrt{2}$ + i) - ($\sqrt{2}$ - i) = 2i, 我們知

$$\sqrt{2}$$ = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$($$\alpha$$ + 3$$\alpha^{-1}_{}$$) $$\in$$ L,    i = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$($$\alpha$$ - 3$$\alpha^{-1}_{}$$) $$\in$$ L    and    $$\sqrt{2}$$i = $${\textstyle\frac{1}{4}}$$($$\alpha^{2}_{}$$ - 9$$\alpha^{-2}_{}$$) $$\in$$ L.

令 F₁ = $\mathbb {Q}$($\sqrt{2}$i), F₂ = $\mathbb {Q}$($\sqrt{2}$) 以及 F₃ = $\mathbb {Q}$(i). 很容易看出 [F₁ : $\mathbb {Q}$] = [F₂ : $\mathbb {Q}$] = [F₃ : $\mathbb {Q}$] = 2. 由於 F₂ $\subseteq$ $\mathbb {R}$ 但 F₁, F₃ $\nsubseteq$ $\mathbb {R}$, 我們知 F₂$\ne$F₁ 且 F₂$\ne$F₃. 又若假設 F₁ = F₃, 即 $\sqrt{2}$i $\in$ F₃ = $\mathbb {Q}$(i), 則 $\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$i/i $\in$ F₃. 得到 F₂ = F₃ 之矛盾, 故知 F₁$\ne$F₃. 因此 F₁, F₂ 和 F₃ 是 L/$\mathbb {Q}$ 的三個相異的 intermediate fields.

要知道 $\mathcal {G}$(F₁) (即 Gal(L/F₁)) 是 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 的哪一個 subgroup, 我們需要探討在 $\sigma_{1}^{}$, $\sigma_{2}^{}$ 和 $\sigma_{3}^{}$ 中哪些會固定 F₁ = $\mathbb {Q}$($\sqrt{2}$i) 中所有的元素. 由於

$$\sigma_{1}^{}$$($$\sqrt{2}$$i) = $$\sigma_{1}^{}$$($${\textstyle\frac{1}{4}}$$($$\alpha^{2}_{}$$ - 9$$\alpha^{-2}_{}$$)) = $${\textstyle\frac{1}{4}}$$($$\sigma_{1}^{}$$($$\alpha$$)² - 9$$\sigma_{1}^{}$$($$\alpha$$)^-2) = $${\textstyle\frac{1}{4}}$$((- $$\alpha$$)² - 9(- $$\alpha$$)^-2) = $$\sqrt{2}$$i,

$$\sigma_{2}^{}$$($$\sqrt{2}$$i) = $$\sigma_{2}^{}$$($${\textstyle\frac{1}{4}}$$($$\alpha^{2}_{}$$ - 9$$\alpha^{-2}_{}$$)) = $${\textstyle\frac{1}{4}}$$($$\sigma_{2}^{}$$($$\alpha$$)² - 9$$\sigma_{2}^{}$$($$\alpha$$)^-2) = $${\textstyle\frac{1}{4}}$$(9$$\alpha^{-2}_{}$$ - 9(3$$\alpha^{-1}_{}$$)^-2) = - $$\sqrt{2}$$i,

以及

$$\sigma_{3}^{}$$($$\sqrt{2}$$i) = $$\sigma_{3}^{}$$($${\textstyle\frac{1}{4}}$$($$\alpha^{2}_{}$$ - 9$$\alpha^{-2}_{}$$)) = $${\textstyle\frac{1}{4}}$$($$\sigma_{3}^{}$$($$\alpha$$)² - 9$$\sigma_{2}^{}$$($$\alpha$$)^-2) = $${\textstyle\frac{1}{4}}$$(9$$\alpha^{-2}_{}$$ - 9(- 3$$\alpha^{-1}_{}$$)^-2) = - $$\sqrt{2}$$i,

我們知僅有 $\sigma_{1}^{}$ 會固定 F₁ 中的元素, 因此知 $\mathcal {G}$(F₁) = Gal(L/F₁) = {I,$\sigma_{1}^{}$}. 同樣方法可得到 $\mathcal {G}$(F₂) = Gal(L/F₂) = {I,$\sigma_{2}^{}$} 以及 $\mathcal {G}$(F₃) = Gal(L/F₃) = {I,$\sigma_{3}^{}$}. 要注意雖然 $\mathcal {G}$(F₁), $\mathcal {G}$(F₂) 以及 $\mathcal {G}$(F₃) 都 isomorphic to $\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$, 但它們是 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 中三個相異的 subgroups. 事實上以後我們會知道在這個例子中 $\mathcal {G}$ 這個函數是 1-1 且 onto 的.