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Galois Group

L 是一個 field 時, 從 LL 的 1-1 且 onto 的 ring homomorphism 稱為 L 的 automorphism. 我們用 Aut(L) 表示所有 L 的 automorphisms 所成的集合. 本節將討論 Aut(L) 相關的性質.

利用合成函數的運算我們可以將 Aut(L) 視成一個 group. 也就是說對任意 $ \sigma$,$ \tau$ $ \in$ Aut(L), 我們考慮的運算為 $ \sigma$o$ \tau$, 在此運算之下 Aut(L) 會是一個 group. 要注意這裡的``o''指的是合成而不是乘法. 也就是說對任意 $ \lambda$ $ \in$ L, 我們有 $ \sigma$o$ \tau$($ \lambda$) = $ \sigma$($ \tau$($ \lambda$)), 因此 $ \sigma$o$ \tau$ 仍為 LL 的函數. 而且 $ \sigma$$ \tau$ 都是 ring isomorphisms, 很容易驗證 $ \sigma$o$ \tau$ 仍為 ring isomorphism. 因此 $ \sigma$o$ \tau$ $ \in$ Aut(L), 換句話說 Aut(L) 在 o 的運算下是封閉的 (closed).

要證明 Aut(L) 在 o 運算之下是一個 group 我們還須證明結合率 (associative law) 即 $ \sigma$o($ \tau$o$ \rho$) = ($ \sigma$o$ \tau$)o$ \rho$ 以及存在 identity 和 inverse. 合成函數的結合率在一般的集合論中有介紹 (你也可以用元素代入自行驗證) 這裡不做驗證. 至於 identity 會是什麼呢? 大家很快猜出應該是 identity 這個函數. 這裡我們用 I 來表示, 也就是說 I : L$ \to$L 滿足對任意 $ \lambda$ $ \in$ L 皆有 I($ \lambda$) = $ \lambda$. 當然了 I 是 ring isomorphism 所以 I $ \in$ Aut(L). 又因為對任意 $ \sigma$ $ \in$ Aut(L) 皆有 $ \sigma$oI = Io$ \sigma$ = $ \sigma$, 所以 I 會是 Aut(L) 在 o 的運算之下的 identity.

對任意的 $ \sigma$ $ \in$ Aut(L), 其 inverse 會是什麼呢? 從函數的觀點看來和 $ \sigma$ 合成後會是 I 的函數應就是 $ \sigma$ 的反函數. 又加上 $ \sigma$ 是 1-1 且 onto 其反函數 $ \sigma^{-1}_{}$ 必存在, 所以我們找到``候選人"了: 就是 $ \sigma$ 的反函數 $ \sigma^{-1}_{}$. 最後我們僅要證明 $ \sigma^{-1}_{}$ $ \in$ Aut(L) 即可. 首先我們要證明: $ \sigma^{-1}_{}$ : L$ \to$L 仍為 ring isomorphism. $ \sigma^{-1}_{}$ 是 1-1 且 onto 可由反函數定義推得, 所以只要證明 $ \sigma^{-1}_{}$ 為 ring homomorphism 即可. 也就是說對任意 a, b $ \in$ L 我們要證明

$\displaystyle \sigma^{-1}_{}$(a + b) = $\displaystyle \sigma^{-1}_{}$(a) + $\displaystyle \sigma^{-1}_{}$(b)    且    $\displaystyle \sigma^{-1}_{}$(a . b) = $\displaystyle \sigma^{-1}_{}$(a) . $\displaystyle \sigma^{-1}_{}$(b).

因為 $ \sigma$ 是 ring homomorphism, 故得

$\displaystyle \sigma$($\displaystyle \sigma^{-1}_{}$(a) + $\displaystyle \sigma^{-1}_{}$(b)) = $\displaystyle \sigma$($\displaystyle \sigma^{-1}_{}$(a)) + $\displaystyle \sigma$($\displaystyle \sigma^{-1}_{}$(b)) = a + b.

也就是說 $ \sigma^{-1}_{}$(a + b) 和 $ \sigma^{-1}_{}$(a) + $ \sigma^{-1}_{}$(b) 經由 $ \sigma$ 作用後皆得 a + b. 所以由 $ \sigma$ 是 1-1 得知 $ \sigma^{-1}_{}$(a + b) = $ \sigma^{-1}_{}$(a) + $ \sigma^{-1}_{}$(b). 同理可得 $ \sigma^{-1}_{}$(a . b) = $ \sigma^{-1}_{}$(a) . $ \sigma^{-1}_{}$(b). 由此知 $ \sigma^{-1}_{}$ $ \in$ Aut(L) 從而得證 Aut(L) 在 o 的運算之下是一個 group.

前面提過為了方便記, 當 L/K 是 field extensions 時我們可以直接假設 K $ \subseteq$ L. 在這個時候, 若 $ \sigma$ : L$ \to$LL 的一個 automorphism 且對任意 k $ \in$ K 皆滿足 $ \sigma$(k) = k, 我們稱 $ \sigma$L 的一個 K-automorphism. 我們將 L 的所有 K-automorphisms 所成的集合用 AutK(L) 表示. 簡單來說 AutK(L) 的元素就是 L 的 automorphisms 中會將 K 的元素固定的那些 automorphisms.

AutK(L) 當然是 Aut(L) 的一個 subset, 事實上在 o 的運算下 AutK(L) 會是 Aut(L) 的一個 subgroup. 要證明這件事, 依 group 的理論我們只要證明封閉性和 inverse 存在即可. 首先若 $ \sigma$,$ \tau$ $ \in$ AutK(L), 由於對任意 k $ \in$ K 我們皆有 $ \sigma$(k) = k$ \tau$(k) = k, 所以得到 $ \sigma$o$ \tau$(k) = $ \sigma$($ \tau$(k)) = $ \sigma$(k) = k. 也就是說 $ \sigma$o$ \tau$ $ \in$ AutK(L). 最後對任意 k $ \in$ K, 由於 $ \sigma$(k) = k 故知 $ \sigma^{-1}_{}$(k) = $ \sigma^{-1}_{}$($ \sigma$(k)) = k. 因此 $ \sigma^{-1}_{}$ 仍為 K-automorphism, 也就是說 $ \sigma^{-1}_{}$ $ \in$ AutK(L).

AutK(L) 既然是一個 group 又和 L/K 這一個 extension 息息相關, 我們有以下的定義來突顯這兩件事.

Definition 2.1.1   對任意的 extension L/K 我們稱 AutK(L) 為 L/KGalois group. 通常我們會把 L/K 的 Galois group 記為 Gal(L/K).

AutK(L) 和 Gal(L/K) 是一樣的, 不過當我們要談論 Galois 的相關理論時我們會特別選用 Gal(L/K) 這個符號.

F/KL/K 的 subextension, 即 F 是一個 field 且 K $ \subseteq$ F $ \subseteq$ L. 我們稱 FL/Kintermediate field. 這時我們有兩個 groups 可以考慮: 一個是 Gal(L/F), 另一個是 Gal(F/K). 這兩個 groups 都和 Gal(L/K) 有關, 不過 Gal(L/F) 和 Gal(L/K) 的關係較直接, 所以我們先討論 Gal(L/F) 和 Gal(L/K) 的關係.

事實上若 $ \sigma$ $ \in$ Gal(L/F), 依定義我們當然有 $ \sigma$ $ \in$ Aut(L) 而且 $ \sigma$F 中的元素固定. 然而由於 K $ \subseteq$ F 我們知 $ \sigma$ 當然也將 K 中的元素固定. 也就是說 $ \sigma$ $ \in$ AutK(L) = Gal(L/K). 我們得證 Gal(L/F) $ \subseteq$ Gal(L/K). 又由於 Gal(L/K) 和 Gal(L/F) 在 o 的運算之下都是 group, 所以 Gal(L/F) 是 Gal(L/K) 的 subgroup.

若令 $ \mathfrak{F}$L/K 的 intermediate fields 所成的集合且令 $ \mathfrak{G}$ Gal(L/K) 的 subgroups 所成的集合. 由以上的討論我們可以訂一個從 $ \mathfrak{F}$ $ \mathfrak{G}$ 的函數 $ \mathcal {G}$. 這個函數 $ \mathcal {G}$ : $ \mathfrak{F}\to\mathfrak{G}$ 的定義如下: 對任意 L/K 的 intermediate field F $ \in$ $ \mathfrak{F}$, 我們定義 $ \mathcal {G}$(F) = Gal(L/F).

由定義我們知道 $ \mathcal {G}$(K) = Gal(L/K). 另外 $ \mathcal {G}$(L) = Gal(L/L) = AutL(L), 也就是說 $ \mathcal {G}$(L) 中的元素 $ \sigma$ 必須是 LL 的函數且滿足對任意 $ \lambda$ $ \in$ L 皆有 $ \sigma$($ \lambda$) = $ \lambda$. 這表示 $ \sigma$ = I, 因此得知 $ \mathcal {G}$(L) = {I} 是由 identity 所成的 trivial group. 對於函數 $ \mathcal {G}$, 我們還有以下的性質.

Lemma 2.1.2   給定一 extension L/K, 若 F1, F2 $ \in$ $ \mathfrak{F}$L/K 之兩個 intermediate fields 且滿足 F1 $ \subseteq$ F2, 則 $ \mathcal {G}$(F2) $ \subseteq$ $ \mathcal {G}$(F1).

証 明. 若 $ \sigma$ $ \in$ $ \mathcal {G}$(F2) = Gal(L/F2), 即表示 $ \sigma$L 的 automorphism 且將 F2 中的元素固定. 然而由於 F1 $ \subseteq$ F2, 可知 $ \sigma$ 當然也將 F1 中的元素固定. 故得 $ \sigma$ $ \in$ Gal(L/F1) = $ \mathcal {G}$(F1). 得證 $ \mathcal {G}$(F2) $ \subseteq$ $ \mathcal {G}$(F1). $ \qedsymbol$

這裡我們要強調: 必須先固定一個 extension L/K 才能定義出 $ \mathcal {G}$ 這一個函數. 另外要注意的是 $ \mathcal {G}$ 的定義域是一些 fields 所成的集合而不是 field. 更具體一點來說就是: 可以代入 $ \mathcal {G}$ 的應該是 L/K 的 intermediate field 而不是 L 的元素. 同樣的將一個 intermediate field 代入 $ \mathcal {G}$ 後所得的結果會是 Gal(L/K) 的 subgroup, 而不是 Gal(L/K) 中的元素. 千萬不要誤以為這裡定的 $ \mathcal {G}$ 是從 L 送到 Gal(L/K) 的函數.

接下來我們要介紹一些 Galois groups 的例子. 因為我們舉的例子都是 simple extensions, 所以先介紹一下探討 simple extension 的 Galois group 的基本方法.

假設 L/K 是一個 simple extension of degree n, 即 L = K($ \alpha$) 其中 $ \alpha$ over K 的 minimal polynomial 為 f (x) $ \in$ K[x] 且 deg(f (x)) = n. 在前一章中我們提及對任意的 $ \lambda$ $ \in$ K($ \alpha$) 都可唯一表示成:

$\displaystyle \lambda$ = c0 + c1$\displaystyle \alpha$ + ... + cn - 1$\displaystyle \alpha^{n-1}_{}$,    其中 c0, c1..., cn - 1 $ \in$ K.

現若 $ \sigma$ $ \in$ Gal(L/K), 則由於 $ \sigma$ 是 ring homomorphism 且將 K 中的元素固定, 可得

$\displaystyle \sigma$($\displaystyle \lambda$) = $\displaystyle \sigma$(c0 + c1$\displaystyle \alpha$ + ... + cn - 1$\displaystyle \alpha^{n-1}_{}$) = c0 + c1$\displaystyle \sigma$($\displaystyle \alpha$) + ... + cn - 1$\displaystyle \sigma$($\displaystyle \alpha$)n - 1.

換言之, 對任意 $ \lambda$ $ \in$ L, $ \sigma$($ \lambda$) 的取值完全可由 $ \sigma$($ \alpha$) 決定. 所以要了解 Gal(L/K) 只要了解對任意 $ \sigma$ $ \in$ Gal(L/K), $ \sigma$($ \alpha$) 有哪些可能的取值. 這個概念對 simple extension 的 Galois group 相當重要, 我們不時的會用它來處理 simple extension.

那麼對任意的 $ \sigma$ $ \in$ Gal(L/K), $ \sigma$($ \alpha$) 有可能取哪些值呢? 首先我們觀察對任意的 g(x) = amxm + am - 1xm - 1 + ... + a1x + a0 $ \in$ K[x], 由於

g($\displaystyle \alpha$) = am$\displaystyle \alpha^{m}_{}$ + am - 1$\displaystyle \alpha^{m-1}_{}$ + ... + a1$\displaystyle \alpha$ + a0,

以及 $ \sigma$ 是 ring homomorphism 且將 K 中的元素固定, 我們有
$\displaystyle \sigma$(g($\displaystyle \alpha$)) = $\displaystyle \sigma$(am$\displaystyle \alpha^{m}_{}$ + am - 1$\displaystyle \alpha^{m-1}_{}$ + ... + a1$\displaystyle \alpha$ + a0)  
  = am$\displaystyle \sigma$($\displaystyle \alpha$)m + am - 1$\displaystyle \sigma$($\displaystyle \alpha$)m - 1 + ... + a1$\displaystyle \sigma$($\displaystyle \alpha$) + a0  
  = g($\displaystyle \sigma$($\displaystyle \alpha$)). (2.1)

現在由於 f (x) 是 $ \alpha$ over K 的 minimal polynomial, 我們有 f (x) $ \in$ K[x] 且 f ($ \alpha$) = 0, 套用等式 (2.1) 可得

f ($\displaystyle \sigma$($\displaystyle \alpha$)) = $\displaystyle \sigma$(f ($\displaystyle \alpha$)) = $\displaystyle \sigma$(0) = 0.

也就是說 $ \sigma$($ \alpha$) 必為 f (x) 的一個根. 又別忘了 $ \sigma$LL 的 automorphism, 故知 $ \sigma$($ \alpha$) $ \in$ L. 所以我們可以總結說: 若 L = K($ \alpha$), f (x) $ \in$ K[x] 為 $ \alpha$ 的 minimal polynomial over K $ \sigma$ $ \in$ Gal(L/K), 則 $ \sigma$($ \alpha$) 必為 f (x) 在 L 中的一個根.

上一個結論只是說 $ \sigma$($ \alpha$) 必為 f (x) 在 L 中的一個根. 並不表示對任意 f (x) 在 L 中的一個根 $ \beta$ 皆存在 $ \sigma$ $ \in$ Gal(L/K) 使得 $ \sigma$($ \alpha$) = $ \beta$. 接下來我們要說明這是對的. 首先回顧一下: 若 f (x) $ \in$ K[x] 是一個 irreducible polynomial 且 $ \alpha$$ \beta$ 為其根, 從大學基礎代數講義的 Corollary 10.1.7 我們知道存在 K-isomorphisms $ \phi$ : K[x]/(f (x))$ \to$K($ \alpha$) 和 $ \psi$ : K[x]/(f (x))$ \to$K($ \beta$) 滿足 $ \phi$($ \overline{x}$) = $ \alpha$ $ \psi$($ \overline{x}$) = $ \beta$. 考慮 $ \rho$ = $ \psi$o$ \phi^{-1}_{}$ : K($ \alpha$)$ \to$K($ \beta$), 很容易檢查 $ \rho$ 仍為 K-isomorphism 且滿足 $ \rho$($ \alpha$) = $ \beta$. 現若又知 $ \beta$ $ \in$ L = K($ \alpha$), 由於 K($ \beta$) $ \subseteq$ L [K($ \beta$) : K] = [L : K] = n, 可得 K($ \beta$) = L = K($ \alpha$). 換句話說在這情況下 $ \rho$LK-automorphism, 也就是說 $ \rho$ $ \in$ Gal(L/K) 且滿足 $ \rho$($ \alpha$) = $ \beta$. 綜合以上的討論, 我們可以由 f (x) 在 L 中相異根的個數得知 Gal(L/K) 的 order. (回顧一下所謂一個 finite group G 的 order 就是 G 中元素的個數, 記作 $ \left\vert\vphantom{ G}\right.$G$ \left.\vphantom{ G}\right\vert$.)

Proposition 2.1.3   假設 L = K($ \alpha$) 是一個 finite simple extension over K f (x) $ \in$ K[x] 為 $ \alpha$ over K 的 minimal polynomial. 若 f (x) 在 L 中共有 m 個相異根, 則 $ \left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$ \left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$ = m.

証 明. 令 S = {$ \beta$ $ \in$ L | f ($ \beta$) = 0} 為 L 中所有 f (x) 的根所成的集合. 考慮一函數 $ \chi$ : Gal(L/K)$ \to$S 使得對任意 $ \sigma$ $ \in$ Gal(L/K) 定義 $ \chi$($ \sigma$) = $ \sigma$($ \alpha$). 從前面討論知對任意 $ \sigma$ $ \in$ Gal(L/K), 皆有 $ \sigma$($ \alpha$) $ \in$ S, 所以 $ \chi$ 是一個 well defined 的函數. 我們目的是要證明 $ \chi$ 是 1-1 且 onto 由此可得 Gal(L/K) 和 S 的元素個數相等.

假設 $ \sigma$,$ \tau$ $ \in$ Gal(L/K) 滿足 $ \chi$($ \sigma$) = $ \chi$($ \tau$), 即 $ \sigma$($ \alpha$) = $ \tau$($ \alpha$). 由前面討論知 $ \sigma$$ \tau$ 對任意 L 中元素的取值完全由 $ \sigma$($ \alpha$) 和 $ \tau$($ \alpha$) 來決定. 因此由 $ \sigma$($ \alpha$) = $ \tau$($ \alpha$) 得知 $ \sigma$ = $ \tau$, 也就是說 $ \chi$ 是 1-1. 另一方面對任意 $ \beta$ $ \in$ S 由前面討論知必存在 $ \sigma$ $ \in$ Gal(L/K) 使得 $ \sigma$($ \alpha$) = $ \beta$, 也就是說 $ \chi$($ \sigma$) = $ \beta$. 故得證 $ \chi$ 是 onto, 因此知 Gal(L/K) 的 order 為 m. $ \qedsymbol$

由於一個多項式在一個 field 中其解的個數不超過此多項式的次數, 我們很容易得到以下之結果.

Corollary 2.1.4   假設 L/K 是一個 finite simple extension, 則

$\displaystyle \left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\displaystyle \left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$$\displaystyle \le$[L : K].

証 明. 假設 L = K($ \alpha$) 且 $ \alpha$ over K 的 minimal polynomial f (x) 的次數為 n. 我們知在 Lf (x) 的根的個數必小於或等於 n 而且 [L : K] = n, 故由 Proposition 2.1.3

$\displaystyle \left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\displaystyle \left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$$\displaystyle \le$n = [L : K].

$ \qedsymbol$

這裡我們預告一下, 當 L/K 是 finite extension 時, 以後我們會知道即使 L/K 不是 simple extension, 仍然會有 $ \left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$ \left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$$ \le$[L : K]. 接下來我們來看兩個 simple extension 的例子.

Example 2.1.5   利用 Eisenstain criterion 參見大學基礎代數講義Proposition 7.3.14 我們知道 x4 - 2 是 $ \mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible polynomial. 令 $ \alpha$ = $ \sqrt[4]{2}$x4 - 2 = 0 唯一的正實數解, 我們有 $ \alpha$, - $ \alpha$, $ \alpha$i 以及 - $ \alpha$ix4 - 2 = 0 在 $ \mathbb {C}$ 中的 4 個解. 現令 L = $ \mathbb {Q}$($ \alpha$), 我們考慮 L/$ \mathbb {Q}$ 這一個 extension.

首先我們討論 Gal(L/$ \mathbb {Q}$) 是怎樣的 group. 由於 $ \alpha$ $ \in$ $ \mathbb {R}$ L = $ \mathbb {Q}$($ \alpha$) 是包含 $ \mathbb {Q}$$ \alpha$ 最小的 field, 故知 L $ \subseteq$ $ \mathbb {R}$. 但 $ \alpha$i $ \not\in$$ \mathbb {R}$ - $ \alpha$i $ \not\in$$ \mathbb {R}$, 我們得知 x4 - 2 在 L 中的根為 $ \alpha$ 和 - $ \alpha$. 故由 Proposition 2.1.3 得知 $ \left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})}\right.$Gal(L/$ \mathbb {Q}$)$ \left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})}\right\vert$ = 2 < 4 = [L : $ \mathbb {Q}$].

從 group 的理論我們知只有兩個元素的 group 必 isomorphic to $ \mathbb {Z}$/2$ \mathbb {Z}$, 因此我們知 Gal(L/$ \mathbb {Q}$) 是一個 order 2 的 cyclic group. 事實上 Gal(L/$ \mathbb {Q}$) 有兩個元素: 一個是 identity I$ \alpha$ 送到 $ \alpha$, 另一個不為 identity 的元素 $ \sigma$$ \alpha$ 送到 - $ \alpha$. 由於 $ \sigma$($ \alpha$) = - $ \alpha$, 我們知

$\displaystyle \sigma$o$\displaystyle \sigma$($\displaystyle \alpha$) = $\displaystyle \sigma$($\displaystyle \sigma$($\displaystyle \alpha$)) = $\displaystyle \sigma$(- $\displaystyle \alpha$) = - $\displaystyle \sigma$($\displaystyle \alpha$) = $\displaystyle \alpha$.

得知 $ \sigma$o$ \sigma$ = I, 也就是說 $ \sigma$ 的 order 確為 2. 因此 Gal(L/$ \mathbb {Q}$) 的確是一個 order 2 的 cyclic group.

因為 $ \alpha^{4}_{}$ = 2, 很容易看出 $ \alpha^{2}_{}$x2 - 2 的一個根. 令 F = $ \mathbb {Q}$($ \alpha^{2}_{}$). 由於 x2 - 2 是 irreducible over $ \mathbb {Q}$, 所以 [F : $ \mathbb {Q}$] = 2, 又因為 $ \alpha^{2}_{}$ $ \in$ L, 我們知 $ \mathbb {Q}$ $ \subsetneq$ F $ \subsetneq$ L. 既然 FL/K 的 intermediate field, 那麼 $ \mathcal {G}$(F) = Gal(L/F) 是甚麼呢? 已知 Gal(L/F) 會是 Gal(L/$ \mathbb {Q}$) 的 subgroup, 又知 Gal(L/$ \mathbb {Q}$) 是一個 order 2 的 cyclic group, 所以 Gal(L/F) 要不是 identity 就是 Gal(L/$ \mathbb {Q}$). 因此我們只要檢驗 Gal(L/$ \mathbb {Q}$) 中不為 identity 的 $ \sigma$ (即 $ \sigma$($ \alpha$) = - $ \alpha$) 是否在 Gal(L/F) 中即可: 也就是要檢查 $ \sigma$ 是否將 F = $ \mathbb {Q}$($ \alpha^{2}_{}$) 中的元素固定. 因為 $ \sigma$ 已將 $ \mathbb {Q}$ 中元素固定, 所以若 $ \sigma$ 可將 $ \alpha^{2}_{}$ 固定, 則 $ \sigma$ 會將 F = $ \mathbb {Q}$($ \alpha^{2}_{}$) 中所有的元素固定 (別忘了 $ \mathbb {Q}$($ \alpha^{2}_{}$) 中的元素都是 r0 + r1$ \alpha^{2}_{}$ 其中 r0, r1 $ \in$ $ \mathbb {Q}$ 這種形式). 然而

$\displaystyle \sigma$($\displaystyle \alpha^{2}_{}$) = $\displaystyle \sigma$($\displaystyle \alpha$)2 = (- $\displaystyle \alpha$)2 = $\displaystyle \alpha^{2}_{}$,

我們得知 $ \sigma$ $ \in$ Gal(L/F), 也就是說 Gal(L/F) = Gal(L/$ \mathbb {Q}$). 用 $ \mathcal {G}$ 這個函數來看就是 $ \mathcal {G}$(F) = $ \mathcal {G}$($ \mathbb {Q}$). 由於已知 F$ \ne$$ \mathbb {Q}$, 所以在這情況之下 $ \mathcal {G}$ 不是一對一的函數.

Example 2.1.6   令 L = $ \mathbb {Q}$($ \alpha$) 其中 $ \alpha$ = $ \sqrt{2}$ + i. 很容易驗證 x4 - 2x2 + 9 $ \in$ $ \mathbb {Q}$[x] 是 $ \alpha$ over $ \mathbb {Q}$ 的 minimal polynomial. 我們有

$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ + i,     - $\displaystyle \alpha$ = - $\displaystyle \sqrt{2}$ - i,    $\displaystyle \overline{\alpha}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ - i    and     - $\displaystyle \overline{\alpha}$ = - $\displaystyle \sqrt{2}$ + i

x4 - 2x2 + 9 = 0 在 $ \mathbb {C}$ 中的 4 個解.

由於 ($ \sqrt{2}$ + i) . ($ \sqrt{2}$ - i) = 3, 知 $ \overline{\alpha}$ = $ \sqrt{2}$ - i = 3($ \sqrt{2}$ + i)-1 = 3$ \alpha^{-1}_{}$ $ \in$ L. 因此 x4 - 2x2 + 9 在 $ \mathbb {C}$ 中的 4 個根 (即 $ \alpha$, - $ \alpha$, 3$ \alpha^{-1}_{}$ -3$ \alpha^{-1}_{}$) 都在 L 中. 故由 Proposition 2.1.3 $ \left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})}\right.$Gal(L/$ \mathbb {Q}$)$ \left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})}\right\vert$ = 4.

由 group 的理論知 Gal(L/$ \mathbb {Q}$) 會 isomorphic to $ \mathbb {Z}$/4$ \mathbb {Z}$ $ \mathbb {Z}$/2$ \mathbb {Z}$×$ \mathbb {Z}$/2$ \mathbb {Z}$ 其中之一. 區分 $ \mathbb {Z}$/4$ \mathbb {Z}$ $ \mathbb {Z}$/2$ \mathbb {Z}$×$ \mathbb {Z}$/2$ \mathbb {Z}$ 這兩個 groups 的方法是: 由於 $ \mathbb {Z}$/4$ \mathbb {Z}$ 是一個 order 4 的 cyclic group, 所以其中必存在一個 order 4 的元素, 而 $ \mathbb {Z}$/2$ \mathbb {Z}$×$ \mathbb {Z}$/2$ \mathbb {Z}$ 就沒有 order 4 的元素. 因此我們需檢查 Gal(L/$ \mathbb {Q}$) 中所有元素的 order. 已經知道 Gal(L/$ \mathbb {Q}$) 中將 $ \alpha$ 送到 $ \alpha$ 的元素就是 identity, 所以我們只要考慮其他三個元素 $ \sigma_{1}^{}$,$ \sigma_{2}^{}$,$ \sigma_{3}^{}$ $ \in$ Gal(L/$ \mathbb {Q}$) 其中

$\displaystyle \sigma_{1}^{}$($\displaystyle \alpha$) = - $\displaystyle \alpha$,    $\displaystyle \sigma_{2}^{}$($\displaystyle \alpha$) = $\displaystyle \overline{\alpha}$ = 3$\displaystyle \alpha^{-1}_{}$    and    $\displaystyle \sigma_{3}^{}$($\displaystyle \alpha$) = - $\displaystyle \overline{\alpha}$ = - 3$\displaystyle \alpha^{-1}_{}$.

因為

$\displaystyle \sigma_{1}^{}$o$\displaystyle \sigma_{1}^{}$($\displaystyle \alpha$) = $\displaystyle \sigma_{1}^{}$($\displaystyle \sigma_{1}^{}$($\displaystyle \alpha$)) = $\displaystyle \sigma_{1}^{}$(- $\displaystyle \alpha$) = - $\displaystyle \sigma_{1}^{}$($\displaystyle \alpha$) = - (- $\displaystyle \alpha$) = $\displaystyle \alpha$,

得知 $ \sigma_{1}^{}$o$ \sigma_{1}^{}$ = I, 也就是說 $ \sigma_{1}^{}$ 的 order 為 2. 另一方面

$\displaystyle \sigma_{2}^{}$o$\displaystyle \sigma_{2}^{}$($\displaystyle \alpha$) = $\displaystyle \sigma_{2}^{}$($\displaystyle \sigma_{2}^{}$($\displaystyle \alpha$)) = $\displaystyle \sigma_{2}^{}$(3$\displaystyle \alpha^{-1}_{}$) = 3$\displaystyle \sigma_{2}^{}$($\displaystyle \alpha$)-1 = 3(3$\displaystyle \alpha^{-1}_{}$)-1 = $\displaystyle \alpha$,

以及

$\displaystyle \sigma_{3}^{}$o$\displaystyle \sigma_{3}^{}$($\displaystyle \alpha$) = $\displaystyle \sigma_{3}^{}$($\displaystyle \sigma_{3}^{}$($\displaystyle \alpha$)) = $\displaystyle \sigma_{3}^{}$(- 3$\displaystyle \alpha^{-1}_{}$) = - 3$\displaystyle \sigma_{3}^{}$($\displaystyle \alpha$)-1 = - 3(- 3$\displaystyle \alpha^{-1}_{}$)-1 = $\displaystyle \alpha$,

所以 $ \sigma_{2}^{}$$ \sigma_{3}^{}$ 的 order 皆為 2. 得知 Gal(L/$ \mathbb {Q}$) $ \simeq$ $ \mathbb {Z}$/2$ \mathbb {Z}$×$ \mathbb {Z}$/2$ \mathbb {Z}$.

接下來我們看看 L/K 的 intermediate fields. 由於 ($ \sqrt{2}$ + i) + ($ \sqrt{2}$ - i) = 2$ \sqrt{2}$ 以及 ($ \sqrt{2}$ + i) - ($ \sqrt{2}$ - i) = 2i, 我們知

$\displaystyle \sqrt{2}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \alpha$ + 3$\displaystyle \alpha^{-1}_{}$) $\displaystyle \in$ L,    i = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \alpha$ - 3$\displaystyle \alpha^{-1}_{}$) $\displaystyle \in$ L    and    $\displaystyle \sqrt{2}$i = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$($\displaystyle \alpha^{2}_{}$ - 9$\displaystyle \alpha^{-2}_{}$) $\displaystyle \in$ L.

F1 = $ \mathbb {Q}$($ \sqrt{2}$i), F2 = $ \mathbb {Q}$($ \sqrt{2}$) 以及 F3 = $ \mathbb {Q}$(i). 很容易看出 [F1 : $ \mathbb {Q}$] = [F2 : $ \mathbb {Q}$] = [F3 : $ \mathbb {Q}$] = 2. 由於 F2 $ \subseteq$ $ \mathbb {R}$ F1, F3 $ \nsubseteq$ $ \mathbb {R}$, 我們知 F2$ \ne$F1 F2$ \ne$F3. 又若假設 F1 = F3, 即 $ \sqrt{2}$i $ \in$ F3 = $ \mathbb {Q}$(i), 則 $ \sqrt{2}$ = $ \sqrt{2}$i/i $ \in$ F3. 得到 F2 = F3 之矛盾, 故知 F1$ \ne$F3. 因此 F1, F2F3 L/$ \mathbb {Q}$ 的三個相異的 intermediate fields.

要知道 $ \mathcal {G}$(F1) (即 Gal(L/F1)) 是 Gal(L/$ \mathbb {Q}$) 的哪一個 subgroup, 我們需要探討在 $ \sigma_{1}^{}$, $ \sigma_{2}^{}$$ \sigma_{3}^{}$ 中哪些會固定 F1 = $ \mathbb {Q}$($ \sqrt{2}$i) 中所有的元素. 由於

$\displaystyle \sigma_{1}^{}$($\displaystyle \sqrt{2}$i) = $\displaystyle \sigma_{1}^{}$($\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$($\displaystyle \alpha^{2}_{}$ - 9$\displaystyle \alpha^{-2}_{}$)) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$($\displaystyle \sigma_{1}^{}$($\displaystyle \alpha$)2 - 9$\displaystyle \sigma_{1}^{}$($\displaystyle \alpha$)-2) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$((- $\displaystyle \alpha$)2 - 9(- $\displaystyle \alpha$)-2) = $\displaystyle \sqrt{2}$i,

$\displaystyle \sigma_{2}^{}$($\displaystyle \sqrt{2}$i) = $\displaystyle \sigma_{2}^{}$($\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$($\displaystyle \alpha^{2}_{}$ - 9$\displaystyle \alpha^{-2}_{}$)) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$($\displaystyle \sigma_{2}^{}$($\displaystyle \alpha$)2 - 9$\displaystyle \sigma_{2}^{}$($\displaystyle \alpha$)-2) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(9$\displaystyle \alpha^{-2}_{}$ - 9(3$\displaystyle \alpha^{-1}_{}$)-2) = - $\displaystyle \sqrt{2}$i,

以及

$\displaystyle \sigma_{3}^{}$($\displaystyle \sqrt{2}$i) = $\displaystyle \sigma_{3}^{}$($\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$($\displaystyle \alpha^{2}_{}$ - 9$\displaystyle \alpha^{-2}_{}$)) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$($\displaystyle \sigma_{3}^{}$($\displaystyle \alpha$)2 - 9$\displaystyle \sigma_{2}^{}$($\displaystyle \alpha$)-2) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(9$\displaystyle \alpha^{-2}_{}$ - 9(- 3$\displaystyle \alpha^{-1}_{}$)-2) = - $\displaystyle \sqrt{2}$i,

我們知僅有 $ \sigma_{1}^{}$ 會固定 F1 中的元素, 因此知 $ \mathcal {G}$(F1) = Gal(L/F1) = {I,$ \sigma_{1}^{}$}. 同樣方法可得到 $ \mathcal {G}$(F2) = Gal(L/F2) = {I,$ \sigma_{2}^{}$} 以及 $ \mathcal {G}$(F3) = Gal(L/F3) = {I,$ \sigma_{3}^{}$}. 要注意雖然 $ \mathcal {G}$(F1), $ \mathcal {G}$(F2) 以及 $ \mathcal {G}$(F3) 都 isomorphic to $ \mathbb {Z}$/2$ \mathbb {Z}$, 但它們是 Gal(L/$ \mathbb {Q}$) 中三個相異的 subgroups. 事實上以後我們會知道在這個例子中 $ \mathcal {G}$ 這個函數是 1-1 且 onto 的.


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Li 2006-05-18