Fixed Field

當 L 是一個 field, $\sigma$ $\in$ Aut(L) 若 $\lambda$ $\in$ L 滿足 $\sigma$($\lambda$) = $\lambda$, 我們就稱 $\lambda$ 被 $\sigma$ 固定 (fixed). 我們用 L^$\sigma$ 表示在 L 中所有被 $\sigma$ 固定的元素所成的集合. L^$\sigma$ 事實上是一個 field, 我們稱之為 $\sigma$ 的 fixed field. 這一節中我們主要是介紹 fixed field 以及其和 Galois group 的關係.

首先我們來看 L^$\sigma$ 為何是一個 field. 若 $\lambda_{1}^{}$,$\lambda_{2}^{}$ $\in$ L^$\sigma$, 且 $\lambda_{2}^{}$$\ne$ 0 則由於 $\sigma$($\lambda_{1}^{}$) = $\lambda_{1}^{}$, $\sigma$($\lambda_{2}^{}$) = $\lambda_{2}^{}$ 以及 $\sigma$ $\in$ Aut(L), 可得

$$\sigma$$($$\lambda_{1}^{}$$ - $$\lambda_{2}^{}$$) = $$\sigma$$($$\lambda_{1}^{}$$) - $$\sigma$$($$\lambda_{2}^{}$$) = $$\lambda_{1}^{}$$ - $$\lambda_{2}^{}$$    and    $$\sigma$$($$\lambda_{1}^{}$$$$\lambda_{2}^{-1}$$) = $$\sigma$$($$\lambda_{1}^{}$$)$$\sigma$$($$\lambda_{2}^{}$$)^-1 = $$\lambda_{1}^{}$$$$\lambda_{2}^{-1}$$.

因此 $\lambda_{1}^{}$ - $\lambda_{2}^{}$ $\in$ L^$\sigma$ 以及 $\lambda_{1}^{}$$\lambda_{2}^{-1}$ $\in$ L^$\sigma$, 故知 L^$\sigma$ 是一個 field. 特別當 L/K 是一個 field extension 且 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K), 則由於 K 中的元素皆被 $\sigma$, 固定我們有 K $\subseteq$ L^$\sigma$ $\subseteq$ L, 換言之 L^$\sigma$ 是 L/K 的 intermediate field.

在前一節中我們定義了一個函數 $\mathcal {G}$ 將 L/K 的 intermediate fields 送到 Gal(L/K) 的 subgroups. 一般來說 $\mathcal {G}$ 不一定是 1-1 (參見 Example 2.1.5), 為了探討何時 $\mathcal {G}$ 會 1-1, 以下我們引進了一個反向的函數將 Gal(L/K) 的 subgroups 送到 L/K 的 intermediate fields.

首先若 H 是 Gal(L/K) 的一個 subgroup 我們定義

L^H = {$$\lambda$$ $$\in$$ L | $$\sigma$$($$\lambda$$) = $$\lambda$$, $$\forall$$ $$\sigma$$ $$\in$$ H} = $$\bigcap_{\sigma\in H}^{}$$L^$\sigma$.

利用 fields 的交集仍是 field 以及對任意 $\sigma$ $\in$ H $\subseteq$ Gal(L/K) 皆有 K $\subseteq$ L^$\sigma$, 我們知 L^H 仍為一個 field 且 K $\subseteq$ L^H $\subseteq$ L. 故得 L^H 仍為 L/K 的 intermediate field.

Definition 2.2.1   當 L/K 是一個 field extension 且 H 是 Gal(L/K) 的一個 subgroup, 我們稱 L^H = {$\lambda$ $\in$ L | $\sigma$($\lambda$) = $\lambda$, $\forall$ $\sigma$ $\in$ H} 為 H 的 fixed field.

回顧上一節中當 L/K 是一個 field extension, 我們令 $\mathfrak{F}$ 是 L/K 的 intermediate fields 所成的集合且令 $\mathfrak{G}$ 是 Gal(L/K) 的 subgroups 所成的集合. 現在我們可以定義一個函數 $\mathcal {F}$ : $\mathfrak{G}\to\mathfrak{F}$ 使得對任意 Gal(L/K) 的 subgroup H (即 H $\in$ $\mathfrak{G}$), 我們定義 $\mathcal {F}$(H) = L^H. 從前面的討論我們知 L^H 是 L/K 的一個 intermediate field, 也就是說 $\mathcal {F}$(H) $\in$ $\mathfrak{F}$, 因此 $\mathcal {F}$ 確實是一個 well-defined 函數.

當 I 是 Gal(L/K) 的 identity 時, 當然有 L^I = L, 因此由定義知 $\mathcal {F}$({I}) = L. 要注意的是雖然 Gal(L/K) 將 K 的元素都固定, 但是 Gal(L/K) 的 fixed field 可能比 K 還大, 所以一般的情形不見得有 $\mathcal {F}$(Gal(L/K)) = K (後面我們會舉一個例子). 對於函數 $\mathcal {F}$ 我們有和 $\mathcal {G}$ 相對應的性質 (Lemma 2.1.2).

Lemma 2.2.2   給定一 extension L/K, 若 H₁, H₂ $\in$ $\mathfrak{G}$ 是 Gal(L/K) 之兩個 subgroups 且滿足 H₁ $\subseteq$ H₂, 則 $\mathcal {F}$(H₂) $\subseteq$ $\mathcal {F}$(H₁).

証 明. 若 $\lambda$ $\in$ $\mathcal {F}$(H₂) = L^H₂, 表示對任意 $\sigma$ $\in$ H₂ 皆滿足 $\sigma$($\lambda$) = $\lambda$. 現任取 $\tau$ $\in$ H₁, 由於 H₁ $\subseteq$ H₂, 我們有 $\tau$ $\in$ H₂, 故由 $\lambda$ $\in$ $\mathcal {F}$(H₂) 的假設知 $\tau$($\lambda$) = $\lambda$, 因此 $\lambda$ $\in$ L^H₁ = $\mathcal {F}$(H₁). 得證 $\mathcal {F}$(H₂) $\subseteq$ $\mathcal {F}$(H₁). $\qedsymbol$

再次強調: $\mathcal {G}$ 是將 L/K 的 intermediate fields 送到 Gal(L/K) 的 subgroups, 而 $\mathcal {F}$ 是將 Gal(L/K) 的 subgroups 送到 L/K 的 intermediate fields. 以下是這兩個函數相互的關係.

Proposition 2.2.3   令 L/K 是一個 field extension, F 是 L/K 的 intermediate field 且 H 是 Gal(L/K) 的 subgroup. 我們有以下的性質:

1. F $\subseteq$ $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F)) 且 H $\subseteq$ $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)).
2. $\mathcal {G}$(F) = $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F))) 且 $\mathcal {F}$(H) = $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H))).

証 明. (1) 首先觀察若 F 是 L/K 的 intermediate field, 則 $\mathcal {G}$(F) = Gal(L/F), 換言之對任意的 $\sigma$ $\in$ $\mathcal {G}$(F) 都會將 F 中的元素固定. 因此若 $\lambda$ $\in$ F, 則對任意 $\sigma$ $\in$ $\mathcal {G}$(F) 皆滿足 $\sigma$($\lambda$) = $\lambda$, 也就是說 $\lambda$ $\in$ L^{$\mathcal {G}$(F)} = $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F)). 故得證 F $\subseteq$ $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F)). 另一方面, 若 H 是 Gal(L/K) 的 subgroup, 則 $\mathcal {F}$(H) 中的元素都會被 H 固定住. 因此若 $\sigma$ $\in$ H, 則 $\sigma$ $\in$ Aut_{$\mathcal {F}$(H)}(L) = Gal(L/$\mathcal {F}$(H)) = $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)). 故得證 H $\subseteq$ $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)).

(2) 由於 F 和 $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F)) 皆為 L/K 的 intermediate fields, 利用 (1) F $\subseteq$ $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F)) 以及 Lemma 2.1.2 我們得到 $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F))) $\subseteq$ $\mathcal {G}$(F). 然而 $\mathcal {G}$(F) 是 Gal(L/K) 的 subgroup, 故將 (1) 的 H 用 $\mathcal {G}$(F) 取代, 可得 $\mathcal {G}$(F) $\subseteq$ $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F))). 因此得證 $\mathcal {G}$(F) = $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F))). 另一方面因為 H 和 $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)) 皆為 Gal(L/K) 的 subgroups, 利用 (1) H $\subseteq$ $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)) 以及 Lemma 2.2.2 我們得到 $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H))) $\subseteq$ $\mathcal {F}$(H). 然而 $\mathcal {F}$(H) 是 L/K 的 intermediate field, 故將 (1) 的 F 用 $\mathcal {F}$(H) 取代, 可得 $\mathcal {F}$(H) $\subseteq$ $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H))). 因此得證 $\mathcal {F}$(H) = $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H))). $\qedsymbol$

在一般的情形 Proposition 2.2.3 (1) 的等式有可能不成立 (即 F $\subsetneq$ $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F)) 和 H $\subsetneq$ $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)) 的情形有可能發生). 以後我們會知道當 L/K 是 finite extension 時, 對任意 Gal(L/K) 的 subgroup H 皆有 H = $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)) 的性質. 不過對於 L/K 的 intermediate field F, 仍可能有 F$\ne$$\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F)) 的情形發生 (下面我們會給一個例子). Galois 的理論就是要探討在哪些 extension L/K, 對任意的 L/K 的 intermediate field F 皆有 F = $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F)) 的性質.

以下我們利用前一節的例子, 來探討 Galois groups 和 fixed fields 之間的關係.

Example 2.2.4   我們沿用 Example 2.1.5 的 extension, 即 L = $\mathbb {Q}$($\alpha$) 其中 $\alpha$ 是 x⁴ - 2 唯一的正實根. 此時我們知 Gal(L/$\mathbb {Q}$) = {I,$\sigma$}, 其中 $\sigma$($\alpha$) = - $\alpha$. 又 F = $\mathbb {Q}$($\alpha^{2}_{}$) 為 L/$\mathbb {Q}$ 的 intermediate field 且 $\mathbb {Q}$ $\subsetneq$ F $\subsetneq$ L.

Gal(L/$\mathbb {Q}$) 只有兩個 subgroups: 即 {I} 和 Gal(L/$\mathbb {Q}$). 已知 $\mathcal {F}$({I}) = L, 我們來探討 $\mathcal {F}$(Gal(L/$\mathbb {Q}$)) 應該是哪一個 field. 由於

$$\mathcal {F}$$(Gal(L/$$\mathbb {Q}$$)) = L^I $$\cap$$ L^$\sigma$ = L $$\cap$$ L^$\sigma$ = L^$\sigma$,

我們只要探討 $\sigma$ 的 fixed field 即可.

由於對任意 L 中的元素 $\lambda$ 都可唯一表示成 $\lambda$ = r₀ + r₁$\alpha$ + r₂$\alpha^{2}_{}$ + r₃$\alpha^{3}_{}$, 其中 r₁, r₂, r₃, r₄ $\in$ $\mathbb {Q}$. 若 $\lambda$ $\in$ L^$\sigma$, 我們有

$$\lambda$$ = $$\sigma$$($$\lambda$$) = r₀ + r₁$$\sigma$$($$\alpha$$) + r₂$$\sigma$$($$\alpha$$)² + r₃$$\sigma$$($$\alpha$$)³ = r₀ - r₁$$\alpha$$ + r₂$$\alpha^{2}_{}$$ - r₃$$\alpha^{3}_{}$$.

因此得知 r₁ = r₃ = 0, 也就是說 L^$\sigma$ 中的元素必可寫成 r₀ + r₂$\alpha^{2}_{}$, 其中 r₀, r₂ $\in$ $\mathbb {Q}$ 這種形式. 故得 L^$\sigma$ $\subseteq$ $\mathbb {Q}$($\alpha^{2}_{}$) = F. 另一方面在 Example 2.1.5 中我們知 F 中的元素都被 $\sigma$ 固定, 故得 F $\subseteq$ L^$\sigma$. 因此得證 L^$\sigma$ = F, 也就是說 $\mathcal {F}$(Gal(L/$\mathbb {Q}$)) = F. 要注意, 我們曾經提過在一般的情形 Gal(L/K) 的 fixed field 不一定是 K, 在我們這個例子 $\mathcal {F}$(Gal(L/$\mathbb {Q}$)) = F$\ne$$\mathbb {Q}$, 就是這種情形.

在 Example 2.1.5 我們已知 $\mathcal {G}$($\mathbb {Q}$) = $\mathcal {G}$(F) = Gal(L/$\mathbb {Q}$) 以及 $\mathcal {G}$(L) = {I}. 因此我們有

$$\mathcal {F}$$($$\mathcal {G}$$($$\mathbb {Q}$$)) = $$\mathcal {F}$$($$\mathcal {G}$$(F)) = $$\mathcal {F}$$(Gal(L/$$\mathbb {Q}$$)) = F    and    $$\mathcal {F}$$($$\mathcal {G}$$(L)) = $$\mathcal {F}$$({I}) = L.

因此知

$$\mathbb {Q}$$ $$\subsetneq$$ $$\mathcal {F}$$($$\mathcal {G}$$($$\mathbb {Q}$$)),    F = $$\mathcal {F}$$($$\mathcal {G}$$(F))    and    L = $$\mathcal {F}$$($$\mathcal {G}$$(L)).

要注意 $\mathbb {Q}$ $\subsetneq$ $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$($\mathbb {Q}$)) 就是 Proposition 2.2.3 (1) 等式不成立的一個例子.

另一方面我們有 $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$({I})) = $\mathcal {G}$(L) 且 $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(Gal(L/$\mathbb {Q}$))) = $\mathcal {G}$(F) 因此知

{I} = $$\mathcal {G}$$($$\mathcal {F}$$({I}))    and    Gal(L/$$\mathbb {Q}$$) = $$\mathcal {G}$$($$\mathcal {F}$$(Gal(L/$$\mathbb {Q}$$))).

Example 2.2.5   在這個例子我們沿用 Example 2.1.6 的 extension, 即 L = $\mathbb {Q}$($\alpha$) 其中 $\alpha$ = $\sqrt{2}$ + i. 此時我們知 Gal(L/$\mathbb {Q}$) = {I,$\sigma_{1}^{}$,$\sigma_{2}^{}$,$\sigma_{3}^{}$}, 其中 $\sigma_{1}^{}$($\alpha$) = - $\alpha$, $\sigma_{2}^{}$($\alpha$) = 3$\alpha^{-1}_{}$ 以及 $\sigma_{3}^{}$($\alpha$) = - 3$\alpha^{-1}_{}$. 另外 L/$\mathbb {Q}$ 有三個相異的 nontrivial intermediate fields, 分別為 F₁ = $\mathbb {Q}$($\sqrt{2}$i), F₂ = $\mathbb {Q}$($\sqrt{2}$) 以及 F₃ = $\mathbb {Q}$(i).

在 Example 2.1.6 我們已知 Gal(L/$\mathbb {Q}$) $\simeq$ $\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$×$\mathbb {Z}$/2$\mathbb {Z}$ 所以 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 共有 5 個 subgroups: {I}, Gal(L/$\mathbb {Q}$), H₁ = {I,$\sigma_{1}^{}$}, H₂ = {I,$\sigma_{2}^{}$} 以及 H₃ = {I,$\sigma_{3}^{}$}. 我們先探討 $\mathcal {F}$ 在這 5 個 subgroups 的取值. 首先我們已知 $\mathcal {F}$({I}) = L. 對於 $\mathcal {F}$(H₁), 由於

$$\mathcal {F}$$(H₁) = L^H₁ = L^I $$\cap$$ L^$\sigma_{1}$ = L^$\sigma_{1}$,

我們只要探討 $\sigma_{1}^{}$ 的 fixed field 即可. 不過在 Exampel 2.1.6, 我們知道 $\sigma_{1}^{}$ 會固定 F₁ 的所有元素, 因此知 F₁ $\subseteq$ L^$\sigma_{1}$. 如果 F₁$\ne$L^$\sigma_{1}$, 即 [L^$\sigma_{1}$ : F₁] > 1, 由 Lemma 1.2.3 知

2 = [L : F₁] = [L : L^$\sigma_{1}$][L^$\sigma_{1}$ : F₁] > [L : L^$\sigma_{1}$],

這迫使 [L : L^$\sigma_{1}$] = 1, 也就是說 L = L^$\sigma_{1}$. 不過這是不可能的因為 $\alpha$ $\in$ L 但 $\sigma_{1}^{}$($\alpha$) = - $\alpha$$\ne$$\alpha$, 也就是說 $\alpha$ $\not\in$L^$\sigma_{1}$. 由此矛盾知 F₁ = L^$\sigma_{1}$ = L^H₁ = $\mathcal {F}$(H₁). 同理可得 F₂ = $\mathcal {F}$(H₂) 以及 F₃ = $\mathcal {F}$(H₃). 至於 $\mathcal {F}$(Gal(L/$\mathbb {Q}$)), 由定義以及前面結果知

$$\mathcal {F}$$(Gal(L/$$\mathbb {Q}$$)) = L^{Gal(L/$\mathbb {Q}$)} = L^I $$\cap$$ L^$\sigma_{1}$ $$\cap$$ L^$\sigma_{1}$ $$\cap$$ L^$\sigma_{3}$ = F₁ $$\cap$$ F₂ $$\cap$$ F₃.

如果 F₂ = F₁ $\cap$ F₂ $\cap$ F₃, 表示 F₂ $\subseteq$ F₁ $\cap$ F₃ $\subseteq$ F₃, 這是不可能的 (因為 [F₂ : $\mathbb {Q}$] = [F₃ : $\mathbb {Q}$] = 2, 因此 F₂ $\subseteq$ F₃ 會導致 F₂ = F₃). 故知 F₂$\ne$F₁ $\cap$ F₂ $\cap$ F₃, 也就是說 [F₂ : $\mathcal {F}$(Gal(L/$\mathbb {Q}$))] > 1. 再次利用 Lemma 1.2.3 知

2 = [F₂ : $$\mathbb {Q}$$] = [F₂ : $$\mathcal {F}$$(Gal(L/$$\mathbb {Q}$$))][$$\mathcal {F}$$(Gal(L/$$\mathbb {Q}$$)) : $$\mathbb {Q}$$] > [$$\mathcal {F}$$(Gal(L/$$\mathbb {Q}$$)) : $$\mathbb {Q}$$],

故得 [$\mathcal {F}$(Gal(L/$\mathbb {Q}$)) : $\mathbb {Q}$] = 1, 也就是說 $\mathcal {F}$(Gal(L/$\mathbb {Q}$)) = $\mathbb {Q}$. 因此我們知 $\mathcal {F}$ 這個函數對 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 的 subgroups 取值分別為:

$$\mathcal {F}$$({I}) = L,    $$\mathcal {F}$$(H₁) = F₁,    $$\mathcal {F}$$(H₂) = F₂,    $$\mathcal {F}$$(H₃) = F₃    and    $$\mathcal {F}$$(Gal(L/$$\mathbb {Q}$$)) = $$\mathbb {Q}$$.

由 Example 2.1.6 我們知

$$\mathcal {G}$$(L) = {I},    $$\mathcal {G}$$(F₁) = H₂,    $$\mathcal {G}$$(F₂) = H₂,    $$\mathcal {G}$$(F₃) = H₃    and    $$\mathcal {G}$$($$\mathbb {Q}$$) = Gal(L/$$\mathbb {Q}$$),

因此我們有

L = $$\mathcal {F}$$($$\mathcal {G}$$(L)),    F₁ = $$\mathcal {F}$$($$\mathcal {G}$$(F₁)),    F₂ = $$\mathcal {F}$$($$\mathcal {G}$$(F₂)),    F₃ = $$\mathcal {F}$$($$\mathcal {G}$$(F₃))    and    $$\mathbb {Q}$$ = $$\mathcal {F}$$($$\mathcal {G}$$($$\mathbb {Q}$$)),

以及

{I} = $$\mathcal {G}$$($$\mathcal {F}$$({I})),    H₁ = $$\mathcal {G}$$($$\mathcal {F}$$(H₂)),    H₂ = $$\mathcal {G}$$($$\mathcal {F}$$(H₂)),

H₃ = $$\mathcal {G}$$($$\mathcal {F}$$(H₃))    and    Gal(L/$$\mathbb {Q}$$) = $$\mathcal {G}$$($$\mathcal {F}$$(Gal(L/$$\mathbb {Q}$$))).

以後我們會知道 L/$\mathbb {Q}$ 的 intermediate fields 只有 $\mathbb {Q}$, F₁, F₂, F₃ 以及 L, 因此知 $\mathcal {G}$ : $\mathfrak{F}\to\mathfrak{G}$ 和 $\mathcal {F}$ : $\mathfrak{G}\to\mathfrak{F}$ 互為反函數, 也就是說 $\mathcal {G}$ 和 $\mathcal {F}$ 都是 1-1 且 onto. 這種 extension 就是所謂的 Galois Extension.