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  目 錄
當 L 是一個 field,
Aut(L) 若
L 滿足
(
) =
, 我們就稱
被
固定
(fixed). 我們用 L
表示在 L 中所有被
固定的元素所成的集合. L
事實上是一個 field, 我們稱之為
的 fixed field. 這一節中我們主要是介紹 fixed field 以及其和
Galois group 的關係.
首先我們來看 L
為何是一個 field. 若
,
L
, 且
![$ \lambda_{2}^{}$](img88.gif)
0 則由於
(
) =
,
(
) =
以及
Aut(L), 可得
![$\displaystyle \sigma$](img42.gif)
(
![$\displaystyle \lambda_{1}^{}$](img89.gif)
-
![$\displaystyle \lambda_{2}^{}$](img90.gif)
) =
![$\displaystyle \sigma$](img42.gif)
(
![$\displaystyle \lambda_{1}^{}$](img89.gif)
) -
![$\displaystyle \sigma$](img42.gif)
(
![$\displaystyle \lambda_{2}^{}$](img90.gif)
) =
![$\displaystyle \lambda_{1}^{}$](img89.gif)
-
![$\displaystyle \lambda_{2}^{}$](img90.gif)
and
![$\displaystyle \sigma$](img42.gif)
(
![$\displaystyle \lambda_{1}^{}$](img89.gif)
![$\displaystyle \lambda_{2}^{-1}$](img91.gif)
) =
![$\displaystyle \sigma$](img42.gif)
(
![$\displaystyle \lambda_{1}^{}$](img89.gif)
)
![$\displaystyle \sigma$](img42.gif)
(
![$\displaystyle \lambda_{2}^{}$](img90.gif)
)
-1 =
![$\displaystyle \lambda_{1}^{}$](img89.gif)
![$\displaystyle \lambda_{2}^{-1}$](img91.gif)
.
因此
-
L
以及
![$ \lambda_{1}^{}$](img87.gif)
L
, 故知 L
是一個 field.
特別當 L/K 是一個 field extension 且
Gal(L/K), 則由於
K 中的元素皆被
, 固定我們有
K
L
L, 換言之 L
是 L/K 的 intermediate field.
在前一節中我們定義了一個函數
將 L/K 的 intermediate fields
送到
Gal(L/K) 的 subgroups. 一般來說
不一定是 1-1 (參見
Example 2.1.5), 為了探討何時
會 1-1,
以下我們引進了一個反向的函數將
Gal(L/K) 的 subgroups 送到 L/K
的 intermediate fields.
首先若 H 是
Gal(L/K) 的一個 subgroup 我們定義
LH = {
L |
![$\displaystyle \sigma$](img42.gif)
(
![$\displaystyle \lambda$](img47.gif)
) =
![$\displaystyle \lambda$](img47.gif)
,
H} =
L![$\scriptstyle \sigma$](img86.gif)
.
利用 fields 的交集仍是 field
以及對任意
H
Gal(L/K) 皆有
K
L
, 我們知 LH 仍為一個 field 且
K
LH
L. 故得 LH 仍為 L/K 的 intermediate field.
Definition 2.2.1
當
L/
K 是一個 field extension 且
H 是
Gal(
L/
K) 的一個
subgroup, 我們稱
LH = {
L |
![$ \sigma$](img37.gif)
(
![$ \lambda$](img27.gif)
) =
![$ \lambda$](img27.gif)
,
H} 為
H 的
fixed field.
回顧上一節中當 L/K 是一個 field extension, 我們令
是 L/K 的 intermediate fields 所成的集合且令
是
Gal(L/K) 的 subgroups 所成的集合. 現在我們可以定義一個函數
:
使得對任意
Gal(L/K) 的 subgroup H (即
H
), 我們定義
(H) = LH. 從前面的討論我們知 LH 是 L/K
的一個 intermediate field, 也就是說
(H)
, 因此
確實是一個 well-defined 函數.
當 I 是
Gal(L/K) 的 identity 時, 當然有 LI = L, 因此由定義知
({I}) = L. 要注意的是雖然
Gal(L/K) 將 K 的元素都固定, 但是
Gal(L/K) 的 fixed field 可能比 K 還大, 所以一般的情形不見得有
(Gal(L/K)) = K (後面我們會舉一個例子). 對於函數
我們有和
相對應的性質 (Lemma 2.1.2).
Lemma 2.2.2
給定一 extension
L/
K, 若
H1,
H2
![$ \mathfrak{G}$](img44.gif)
是
Gal(
L/
K) 之兩個
subgroups 且滿足
H1
H2, 則
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
H2)
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
H1).
証 明.
若
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
H2) =
LH2, 表示對任意
H2 皆滿足
![$ \sigma$](img37.gif)
(
![$ \lambda$](img27.gif)
) =
![$ \lambda$](img27.gif)
. 現任取
H1, 由於
H1
H2, 我們有
H2, 故由
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
H2) 的假設知
![$ \tau$](img38.gif)
(
![$ \lambda$](img27.gif)
) =
![$ \lambda$](img27.gif)
, 因此
LH1 =
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
H1). 得證
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
H2)
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
H1).
再次強調:
是將 L/K 的 intermediate fields 送到
Gal(L/K)
的 subgroups, 而
是將
Gal(L/K) 的 subgroups 送到 L/K 的
intermediate fields. 以下是這兩個函數相互的關係.
証 明.
(1) 首先觀察若
F 是
L/
K 的 intermediate field, 則
![$ \mathcal {G}$](img45.gif)
(
F) = Gal(
L/
F), 換言之對任意的
![$ \mathcal {G}$](img45.gif)
(
F) 都會將
F
中的元素固定. 因此若
F, 則對任意
![$ \mathcal {G}$](img45.gif)
(
F)
皆滿足
![$ \sigma$](img37.gif)
(
![$ \lambda$](img27.gif)
) =
![$ \lambda$](img27.gif)
, 也就是說
L
(F) =
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
![$ \mathcal {G}$](img45.gif)
(
F)). 故得證
F
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
![$ \mathcal {G}$](img45.gif)
(
F)). 另一方面,
若
H 是
Gal(
L/
K) 的 subgroup, 則
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
H) 中的元素都會被
H
固定住. 因此若
H, 則
![$ \in$](img1.gif)
Aut
(H)(
L) = Gal(
L/
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
H)) =
![$ \mathcal {G}$](img45.gif)
(
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
H)). 故得證
H
![$ \mathcal {G}$](img45.gif)
(
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
H)).
(2) 由於 F 和
(
(F)) 皆為 L/K 的 intermediate fields,
利用 (1)
F
(
(F)) 以及 Lemma 2.1.2 我們得到
(
(
(F)))
(F). 然而
(F) 是
Gal(L/K) 的
subgroup, 故將 (1) 的 H 用
(F) 取代, 可得
(F)
(
(
(F))). 因此得證
(F) =
(
(
(F))). 另一方面因為
H 和
(
(H)) 皆為
Gal(L/K) 的 subgroups, 利用 (1)
H
(
(H)) 以及 Lemma 2.2.2 我們得到
(
(
(H)))
(H). 然而
(H) 是 L/K 的
intermediate field, 故將 (1) 的 F 用
(H) 取代, 可得
(H)
(
(
(H))). 因此得證
(H) =
(
(
(H))).
在一般的情形 Proposition 2.2.3 (1) 的等式有可能不成立 (即
F
(
(F)) 和
H
(
(H))
的情形有可能發生). 以後我們會知道當 L/K 是 finite extension 時,
對任意
Gal(L/K) 的 subgroup H 皆有
H =
(
(H)) 的性質.
不過對於 L/K 的 intermediate field F, 仍可能有
F![$ \ne$](img6.gif)
(
(F))
的情形發生 (下面我們會給一個例子). Galois 的理論就是要探討在哪些
extension L/K, 對任意的 L/K 的 intermediate field F 皆有
F =
(
(F)) 的性質.
以下我們利用前一節的例子, 來探討 Galois groups 和 fixed fields
之間的關係.
Example 2.2.4
我們沿用 Example
2.1.5 的 extension, 即
L =
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
(
![$ \alpha$](img28.gif)
) 其中
![$ \alpha$](img28.gif)
是
x4 - 2 唯一的正實根. 此時我們知
Gal(
L/
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
) = {
I,
![$ \sigma$](img37.gif)
}, 其中
![$ \sigma$](img37.gif)
(
![$ \alpha$](img28.gif)
) = -
![$ \alpha$](img28.gif)
. 又
F =
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
(
![$ \alpha^{2}_{}$](img66.gif)
) 為
L/
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
的 intermediate field 且
F
L.
Gal(L/
) 只有兩個 subgroups: 即 {I} 和
Gal(L/
). 已知
({I}) = L, 我們來探討
(Gal(L/
)) 應該是哪一個 field.
由於
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(Gal(
L/
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
)) =
LI
L![$\scriptstyle \sigma$](img86.gif)
=
L
L![$\scriptstyle \sigma$](img86.gif)
=
L![$\scriptstyle \sigma$](img86.gif)
,
我們只要探討
![$ \sigma$](img37.gif)
的 fixed field 即可.
由於對任意 L 中的元素
都可唯一表示成
= r0 + r1
+ r2
+ r3
, 其中
r1, r2, r3, r4
. 若
L
, 我們有
![$\displaystyle \lambda$](img47.gif)
=
![$\displaystyle \sigma$](img42.gif)
(
![$\displaystyle \lambda$](img47.gif)
) =
r0 +
r1![$\displaystyle \sigma$](img42.gif)
(
![$\displaystyle \alpha$](img48.gif)
) +
r2![$\displaystyle \sigma$](img42.gif)
(
![$\displaystyle \alpha$](img48.gif)
)
2 +
r3![$\displaystyle \sigma$](img42.gif)
(
![$\displaystyle \alpha$](img48.gif)
)
3 =
r0 -
r1![$\displaystyle \alpha$](img48.gif)
+
r2![$\displaystyle \alpha^{2}_{}$](img68.gif)
-
r3![$\displaystyle \alpha^{3}_{}$](img102.gif)
.
因此得知
r1 =
r3 = 0, 也就是說
L![$\scriptstyle \sigma$](img86.gif)
中的元素必可寫成
r0 +
r2![$ \alpha^{2}_{}$](img66.gif)
, 其中
r0,
r2
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
這種形式. 故得
L
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
(
![$ \alpha^{2}_{}$](img66.gif)
) =
F. 另一方面在 Example
2.1.5
中我們知
F 中的元素都被
![$ \sigma$](img37.gif)
固定, 故得
F
L![$\scriptstyle \sigma$](img86.gif)
.
因此得證
L![$\scriptstyle \sigma$](img86.gif)
=
F, 也就是說
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(Gal(
L/
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
)) =
F. 要注意,
我們曾經提過在一般的情形
Gal(
L/
K) 的 fixed field 不一定是
K,
在我們這個例子
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(Gal(
L/
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
)) =
F![$ \ne$](img6.gif)
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
, 就是這種情形.
在 Example 2.1.5 我們已知
(
) =
(F) = Gal(L/
) 以及
(L) = {I}. 因此我們有
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
)) =
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
F)) =
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(Gal(
L/
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
)) =
F and
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
L)) =
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
({
I}) =
L.
因此知
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
)),
F =
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
F)) and
L =
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
L)).
要注意
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
![$ \mathcal {G}$](img45.gif)
(
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
)) 就是
Proposition
2.2.3 (1) 等式不成立的一個例子.
另一方面我們有
(
({I})) =
(L) 且
(
(Gal(L/
))) =
(F) 因此知
{
I} =
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
({
I})) and Gal(
L/
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
) =
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(Gal(
L/
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
))).
Example 2.2.5
在這個例子我們沿用 Example
2.1.6 的 extension, 即
L =
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
(
![$ \alpha$](img28.gif)
) 其中
![$ \alpha$](img28.gif)
=
![$ \sqrt{2}$](img69.gif)
+
i. 此時我們知
Gal(
L/
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
) = {
I,
![$ \sigma_{1}^{}$](img74.gif)
,
![$ \sigma_{2}^{}$](img75.gif)
,
![$ \sigma_{3}^{}$](img76.gif)
}, 其中
![$ \sigma_{1}^{}$](img74.gif)
(
![$ \alpha$](img28.gif)
) = -
![$ \alpha$](img28.gif)
,
![$ \sigma_{2}^{}$](img75.gif)
(
![$ \alpha$](img28.gif)
) = 3
![$ \alpha^{-1}_{}$](img73.gif)
以及
![$ \sigma_{3}^{}$](img76.gif)
(
![$ \alpha$](img28.gif)
) = - 3
![$ \alpha^{-1}_{}$](img73.gif)
. 另外
L/
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
有三個相異的
nontrivial intermediate fields, 分別為
F1 =
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
(
i),
F2 =
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
(
![$ \sqrt{2}$](img69.gif)
) 以及
F3 =
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
(
i).
在 Example 2.1.6 我們已知
Gal(L/
)
/2
×
/2
所以
Gal(L/
) 共有 5
個 subgroups: {I},
Gal(L/
),
H1 = {I,
},
H2 = {I,
} 以及
H3 = {I,
}. 我們先探討
在這 5 個 subgroups 的取值. 首先我們已知
({I}) = L. 對於
(H1), 由於
我們只要探討
![$ \sigma_{1}^{}$](img74.gif)
的 fixed field
即可. 不過在 Exampel
2.1.6, 我們知道
![$ \sigma_{1}^{}$](img74.gif)
會固定
F1
的所有元素, 因此知
F1
L![$\scriptstyle \sigma_{1}$](img105.gif)
. 如果
F1
L![$\scriptstyle \sigma_{1}$](img105.gif)
, 即
[
L![$\scriptstyle \sigma_{1}$](img105.gif)
:
F1] > 1, 由 Lemma
1.2.3 知
2 = [
L :
F1] = [
L :
L![$\scriptstyle \sigma_{1}$](img105.gif)
][
L![$\scriptstyle \sigma_{1}$](img105.gif)
:
F1] > [
L :
L![$\scriptstyle \sigma_{1}$](img105.gif)
],
這迫使
[
L :
L![$\scriptstyle \sigma_{1}$](img105.gif)
] = 1, 也就是說
L =
L![$\scriptstyle \sigma_{1}$](img105.gif)
.
不過這是不可能的因為
L 但
![$ \sigma_{1}^{}$](img74.gif)
(
![$ \alpha$](img28.gif)
) = -
![$ \alpha$](img28.gif)
![$ \ne$](img6.gif)
![$ \alpha$](img28.gif)
, 也就是說
L![$\scriptstyle \sigma_{1}$](img105.gif)
. 由此矛盾知
F1 =
L![$\scriptstyle \sigma_{1}$](img105.gif)
=
LH1 =
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
H1).
同理可得
F2 =
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
H2) 以及
F3 =
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(
H3). 至於
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(Gal(
L/
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
)), 由定義以及前面結果知
如果
F2 =
F1
F2
F3,
表示
F2
F1
F3
F3, 這是不可能的 (因為
[
F2 :
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
] = [
F3 :
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
] = 2, 因此
F2
F3 會導致
F2 =
F3).
故知
F2
F1
F2
F3, 也就是說
[
F2 :
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(Gal(
L/
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
))] > 1. 再次利用 Lemma
1.2.3 知
2 = [
F2 :
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
] = [
F2 :
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(Gal(
L/
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
))][
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(Gal(
L/
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
)) :
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
] > [
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(Gal(
L/
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
)) :
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
],
故得
[
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(Gal(
L/
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
)) :
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
] = 1, 也就是說
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
(Gal(
L/
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
)) =
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
.
因此我們知
![$ \mathcal {F}$](img95.gif)
這個函數對
Gal(
L/
![$ \mathbb {Q}$](img5.gif)
) 的 subgroups 取值分別為:
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
({
I}) =
L,
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
H1) =
F1,
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
H2) =
F2,
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
H3) =
F3 and
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(Gal(
L/
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
)) =
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
.
由 Example
2.1.6 我們知
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
L) = {
I},
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
F1) =
H2,
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
F2) =
H2,
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
F3) =
H3 and
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
) = Gal(
L/
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
),
因此我們有
L =
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
L)),
F1 =
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
F1)),
F2 =
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
F2)),
F3 =
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
F3)) and
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
=
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
)),
以及
{
I} =
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
({
I})),
H1 =
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
H2)),
H2 =
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
H2)),
H3 =
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(
H3)) and Gal(
L/
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
) =
![$\displaystyle \mathcal {G}$](img103.gif)
(
![$\displaystyle \mathcal {F}$](img99.gif)
(Gal(
L/
![$\displaystyle \mathbb {Q}$](img8.gif)
))).
以後我們會知道
L/
的 intermediate fields 只有
, F1,
F2, F3 以及 L, 因此知
:
和
:
互為反函數, 也就是說
和
都是 1-1 且 onto. 這種 extension
就是所謂的 Galois Extension.
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  目 錄
Li
2006-05-18