Extension Degree 和 Galois Group 的 Order 之關係

當 L/K 是 finite extension 時 Gal(L/K) 會是一個 finite group 而且 Gal(L/K) 的 order 和 L/K 的 degree 相關. 這一節中我們就是要探討 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$ 和 [L : K] 的關係.

在 Corollary 2.1.4 中我們知道當 L/K 是 finite simple extension 時, $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$$\le$[L : K]. 所以知道在這情形時 Gal(L/K) 是一個 finite group. 事實上不需 simple 的假設, 當 L/K 是 finite extension 時 Gal(L/K) 必是一個 finite group.

Lemma 2.3.1   若 L/K 是一個 finite extension, 則 Gal(L/K) 是一個 finite group.

証 明. 利用 Proposition 1.3.4, 我們知存在 a₁,..., a_n $\in$ L, 其中這些 a_i 皆 algebraic over K, 使得 L = K(a₁,..., a_n). 由 Lemma 1.3.5, 我們知對任意 $\lambda$ $\in$ L, 皆存在 f (x₁,..., x_n) $\in$ K[x₁,..., x_n] 使得 $\lambda$ = f (a₁,..., a_n). 因此若 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K), 則由於 f (x₁,..., x_n) 的係數都在 K 中, 可得

$$\sigma$$($$\lambda$$) = $$\sigma$$(f (a₁,..., a_n)) = f ($$\sigma$$(a₁),...,$$\sigma$$(a_n)).

也就是說 $\sigma$ 對 L 中元素的取值完全可由 $\sigma$(a₁),...,$\sigma$(a_n) 來決定. 換句話說若 $\sigma$,$\tau$ $\in$ Gal(L/K) 且對於所有的 i = 1,..., n, 皆有 $\sigma$(a_i) = $\tau$(a_i), 則 $\sigma$ = $\tau$.

當 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 時, $\sigma$(a_i) 有哪些可能的取值呢? 若 f_i(x) $\in$ K[x] 是 a_i over K 的 minimal polynomial, 且 deg(f_i(x)) = m_i, 則由於

f_i($$\sigma$$(a_i)) = $$\sigma$$(f_i(a_i)) = $$\sigma$$(0) = 0,

我們知 $\sigma$(a_i) 仍為 f_i(x) 在 L 中的一個根. 因此每個 $\sigma$(a_i) 最多只有 m_i 個選擇. 所以對任何 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 這些 $\sigma$(a₁),...,$\sigma$(a_n) 最多有 m₁ ^... m_n 種選擇, 故知 Gal(L/K) 最多只能有 m₁ ^... m_n 個元素. $\qedsymbol$

要注意如果 f_i(x) 在 L 中有 s_i 個根, 並不能像 simple extension 的情況得到 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$ = s₁ ^... s_n. 這是因為任意給定 $\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$ $\in$ L 分別為 f₁(x) = 0,..., f_n(x) 在 L 的根, 並不能保證存在 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 會同時滿足 $\sigma$(a₁) = $\alpha_{1}^{}$,...,$\sigma$(a_n) = $\alpha_{n}^{}$.

利用 Corollary 2.1.4 以及 induction 我們可以推導出, 若 L/K 是 finite extension, 則 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$$\le$[L : K]. 例如若 L = K(a₁, a₂), 我們令 F = K(a₁), 則知 L = F(a₂). 因此由 L/F 和 F/K 都是 finite simple extensions, 利用 Corollary 2.1.4 可得

$$\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F)}\right.$$Gal(L/F)$$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F)}\right\vert$$$$\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(F/K)}\right.$$Gal(F/K)$$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(F/K)}\right\vert$$$$\le$$[L : F][F : K] = [L : K].

接著我們只要再探討 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$ 和 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F)}\right.$Gal(L/F)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F)}\right\vert$$\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(F/K)}\right.$Gal(F/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(F/K)}\right\vert$ 的關係就可得所要的結論. 要得到 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$ 和 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F)}\right.$Gal(L/F)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F)}\right\vert$$\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(F/K)}\right.$Gal(F/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(F/K)}\right\vert$ 的關係其實並不直接, 不過由於我們想更精準的得到 Galois groups 和 fixed fields 之間的關係, 在此我們就不去探討而選擇另外的方法來處理.

既然 [L : K] 是用 vector space 的 dimension 來定義, 要找到 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$ 和 [L : K] 的關係, 我們也要想辦法將 Gal(L/K) 和 vector space 扯上關係. 我們考慮的 vector space 是所有從 L 到 L 的函數所成的集合, 即考慮 V = {f : L$\to$L}. 雖然 Gal(L/K) 中的元素不只是 L 到 L 的函數, 還必須是 ring homomorphism 且是 1-1 and onto, 不過兩個 ring homomorphisms 相加有可能不再是 ring homomorphism, 而兩個 1-1 and onto 的函數相加也可能不再是 1-1 and onto. 所以我們不能考慮所有 ring homomorphisms 所成的集合, 也不能考慮所有 1-1 and onto 的函數所成的集合. 它們都無法保持加法封閉, 當然無法形成 vector space. 因此我們必須把條件放寬到考慮所有 L 到 L 的函數. 這時候對於 f, g $\in$ V 和 c $\in$ L, 若我們定義 f + g 和 c ^. f 這兩個函數為: 對任意 $\lambda$ $\in$ L, f + g 這個函數在 $\lambda$ 的取值為 f ($\lambda$) + g($\lambda$) (即 (f + g)($\lambda$) = f ($\lambda$) + g($\lambda$)); 而 c ^. f 這個函數在 $\lambda$ 的取值為 c ^. f ($\lambda$) (即 (c ^. f )($\lambda$) = c ^. f ($\lambda$)), 則很容易看出 f + g 和 c ^. f 仍為 L 到 L 的函數 (即 f + g, c ^. f $\in$ V), 且 V 確實為一個 over L 的 vector space.

Lemma 2.3.2   假設 L 為一個 field 且 $\sigma_{1}^{}$,...,$\sigma_{n}^{}$ $\in$ Aut(L) 為一組兩兩相異的 L 的 automorphisms. 若考慮 $\sigma_{1}^{}$,...,$\sigma_{n}^{}$ 是 V = {f : L$\to$L} 這個 vector space over L 的元素, 則 $\sigma_{1}^{}$,...,$\sigma_{n}^{}$ 是 linearly independent over L.

証 明. 考慮 W = $\langle$$\sigma_{1}^{}$,...,$\sigma_{n}^{}$$\rangle$ 為以 $\sigma_{1}^{}$,...,$\sigma_{n}^{}$ over L span 而成的 subspace of V. 既然 $\sigma_{1}^{}$,...,$\sigma_{n}^{}$ 可展成 W, 要證明 $\sigma_{1}^{}$,...,$\sigma_{n}^{}$ 是 linearly independent over L, 只要證明 dim_L(W) = n 即可.

我們用反證法. 假設 dim_L(W) = l < n, 由線性代數的性質知可在 $\sigma_{1}^{}$,...,$\sigma_{n}^{}$ 中找到 l 個元素成為 W over L 的一組 basis. 經過重排, 我們假設 $\sigma_{1}^{}$,...,$\sigma_{l}^{}$ 就是 W over L 的一組 basis. 因為 $\sigma_{n}^{}$ $\in$ W, 利用 basis 的性質, 我們知道存在唯一的一組 c₁,..., c_l $\in$ L 使得

$$\sigma_{n}^{} \sigma_{1}^{} \sigma_{l}^{}$$ (2.2)

因為 $\sigma_{n}^{}$ 不為 0 函數, 一定存在一 c_i $\in$ {c₁,..., c_l} 滿足 c_i$\ne$ 0, 為了方便記, 我們就假設 c₁$\ne$ 0. 由於 $\sigma_{1}^{}$$\ne$$\sigma_{n}^{}$, 必存在 $\lambda$ $\in$ L 使得 $\sigma_{1}^{}$($\lambda$)$\ne$$\sigma_{n}^{}$($\lambda$). 注意因為 $\sigma_{1}^{}$ 和 $\sigma_{n}^{}$ 是 ring homomorphism, 所以 $\lambda$$\ne$ 0 (否則會造成 $\sigma_{1}^{}$($\lambda$) = 0 = $\sigma_{n}^{}$($\lambda$)). 現在對任意 $\beta$ $\in$ L, 我們將 $\lambda$$\beta$ 代入 $\sigma_{n}^{}$ 以及 c₁ ^. $\sigma_{1}^{}$ + ^... + c_l ^. $\sigma_{l}^{}$ 中, 由於它們是相等的函數, 我們得

$$\sigma_{n}^{} \lambda \sigma_{n}^{} \beta \sigma_{n}^{} \lambda \beta$$ =

$$\sigma_{1}^{} \lambda \beta \sigma_{l}^{} \lambda \beta$$ =

$$\sigma_{1}^{} \lambda \sigma_{1}^{} \beta \sigma_{l}^{} \lambda \sigma_{l}^{} \beta$$ =

因為 $\sigma_{n}^{}$ 是 ring isomorphism 且 $\lambda$$\ne$ 0, 我們知 $\sigma_{n}^{}$($\lambda$)$\ne$ 0. 上式兩邊同除 $\sigma_{n}^{}$($\lambda$), 得

$$\sigma_{n}^{}$$($$\beta$$) = $${\frac{c_1\cdot\sigma_1(\lambda)}{\sigma_n(\lambda)}}$$$$\sigma_{1}^{}$$($$\beta$$) + ^... + $${\frac{c_l\cdot\sigma_l(\lambda)}{\sigma_n(\lambda)}}$$$$\sigma_{l}^{}$$($$\beta$$).

由於這個等式是對所有 $\beta$ $\in$ L 都成立, 所以看成 L 到 L 的函數, 我們有

$$\sigma_{n}^{} {\frac{c_1\cdot\sigma_1(\lambda)}{\sigma_n(\lambda)}} \sigma_{1}^{} {\frac{c_l\cdot\sigma_l(\lambda)}{\sigma_n(\lambda)}} \sigma_{l}^{}$$ (2.3)

由於 $\sigma_{1}^{}$($\lambda$)$\ne$$\sigma_{n}^{}$($\lambda$) 且 c₁$\ne$ 0, 故知

$${\frac{c_1\cdot\sigma_1(\lambda)}{\sigma_n(\lambda)}}$$$$\ne$$c₁.

比較 (2.2) 和 (2.3) 兩式, 我們得到 $\sigma_{n}^{}$ $\in$ W 有兩種不同用 $\sigma_{1}^{}$,...,$\sigma_{l}^{}$ 的線性組合的表示法. 這和 $\sigma_{1}^{}$,...,$\sigma_{l}^{}$ 是 W 的一組 basis 相違背, 故知 dim_L(W) = l = n. $\qedsymbol$

當 L/K 是一個 finite extension, 由 Lemma 2.3.1 我們知 Gal(L/K) 是 Aut(L) 中的一個 finite subgroup, 再利用 Lemma 2.3.2 知 Gal(L/K) 的元素是 linearly independent over L. 由此我們可推得以下重要的性質.

Proposition 2.3.3   假設 L/K 是一個 finite extension, 則

$$\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$$Gal(L/K)$$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$$$$\le$$[L : K].

証 明. 假設 Gal(L/K) = {$\sigma_{1}^{}$,...,$\sigma_{n}^{}$} 以及 a₁,..., a_m $\in$ L 是 L/K 的一組 basis. 我們利用反證法: 即假設 n > m 而推得矛盾. 對於任意的 i $\in$ {1,..., n}, j $\in$ {1,..., m}, 由於 $\sigma_{i}^{}$ $\in$ Aut(L) 且 a_j $\in$ L, 我們有 $\sigma_{i}^{}$(a_j) $\in$ L. 因此可以考慮以下係數在 L 的 n 個變數, m 個線性方程式的聯立方程式:

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ccl} \sigma_1(a_1)x_1+\sigma_2(a_... ...\cdots+\sigma_n(a_m)x_n & =&0 \\ \end{array}<tex2html_comment_mark>32 }\right. \begin{array}{ccl} \sigma_1(a_1)x_1+\sigma_2(a_1)x_2+\cdots+\sigm... ...\sigma_1(a_m)x_1+\sigma_2(a_m)x_2+\cdots+\sigma_n(a_m)x_n & =&0 \\ \end{array}$$ (2.4)

因為變數的個數 n 大於方程式的個數 m, 由線性代數知在 L 中必存在一組不全為 0 的解 c₁,..., c_n $\in$ L 使得 x₁ = c₁,..., x_n = c_n 滿足聯立方程式 (2.4). 也就是說

$$\sigma_{1}^{} \sigma_{2}^{} \sigma_{n}^{} \forall \in$$ (2.5)

現因為 a₁,..., a_m 是 L/K 的一組 basis, 對任意 $\lambda$ $\in$ L 都存在一組 r₁,..., r_m $\in$ K 使得 $\lambda$ = r₁a₁ + ... + r_ma_m. 若將 $\lambda$ 代入 c₁ ^. $\sigma_{1}^{}$ + ^... + c_n ^. $\sigma_{n}^{}$ 這個函數中可得:

$$\sigma_{1}^{} \sigma_{n}^{} \lambda \sigma_{1}^{} \lambda \sigma_{n}^{} \lambda$$ =

$$\sigma_{1}^{} \sum_{j=1}^{m} \sigma_{n}^{} \sum_{j=1}^{m}$$ =

$$\sum_{j=1}^{m} \sigma_{1}^{} \sigma_{n}^{}$$ =

由於 $\sigma_{i}^{}$ $\in$ Gal(L/K) 將 K 中的元素都固定以及式子 (2.5), 我們得

$$\sum_{j=1}^{m} \sigma_{1}^{} \sigma_{n}^{} \sum_{j=1}^{m} \sigma_{1}^{} \sigma_{n}^{}$$ =

$$\sum_{j=1}^{m} \sigma_{1}^{} \sigma_{n}^{}$$ =

= 0.

也就是說對任意 $\lambda$ $\in$ L 代入 c₁ ^. $\sigma_{1}^{}$ + ^... + c_n ^. $\sigma_{n}^{}$ 這個函數後都得到 0, 故得 c₁ ^. $\sigma_{1}^{}$ + ^... + c_n ^. $\sigma_{n}^{}$ 是一個零函數 (即 c₁ ^. $\sigma_{1}^{}$ + ^... + c_n ^. $\sigma_{n}^{}$ = 0). 由於 c₁,..., c_n $\in$ L 是 L 中一組不全為 0 的數, c₁ ^. $\sigma_{1}^{}$ + ^... + c_n ^. $\sigma_{n}^{}$ = 0 和 Lemma 2.3.2 所知 $\sigma_{1}^{}$,...,$\sigma_{n}^{}$ 是 linearly independent over L 相矛盾, 故得證 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$ = n$\le$m = [L : K]. $\qedsymbol$

利用類似的方法, 我們可以得到以下更好的結果, 讓我們更清楚 Galois group 和 fixed field 之間的關係.

Theorem 2.3.4   假設 L/K 是一個 finite extension 且 H 是 Gal(L/K) 的 subgroup. 則

$$\left\vert\vphantom{ H}\right.$$H$$\left.\vphantom{ H}\right\vert$$ = [L : $$\mathcal {F}$$(H)].

証 明. 回顧一下 $\mathcal {F}$(H) = L^H 是 H 的 fixed field 而且是 L/K 的 intermediate field. 若考慮 L/$\mathcal {F}$(H) 這一個 extension, 當然也是 finite extension, 故套用 Proposition 2.3.3, 得 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathcal{F}(H))}\right.$Gal(L/$\mathcal {F}$(H))$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathcal{F}(H))}\right\vert$$\le$[L : $\mathcal {F}$(H)]. 依定義 Gal(L/$\mathcal {F}$(H)) = $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)), 故由 Proposition 2.2.3 知 H $\subseteq$ Gal(L/$\mathcal {F}$(H)), 而得

$$\left\vert\vphantom{ H}\right.$$H$$\left.\vphantom{ H}\right\vert$$$$\le$$$$\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathcal{F}(H))}\right.$$Gal(L/$$\mathcal {F}$$(H))$$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathcal{F}(H))}\right\vert$$$$\le$$[L : $$\mathcal {F}$$(H)].

假設 $\left\vert\vphantom{ H}\right.$H$\left.\vphantom{ H}\right\vert$ = n, 若我們能證明任取 L 中 n + 1 個元素必定 linearly dependent over $\mathcal {F}$(H), 則知 [L : $\mathcal {F}$(H)]$\le$n = $\left\vert\vphantom{ H}\right.$H$\left.\vphantom{ H}\right\vert$. 故得證 $\left\vert\vphantom{ H}\right.$H$\left.\vphantom{ H}\right\vert$ = [L : $\mathcal {F}$(H)].

假設 H = {$\tau_{1}^{}$,...,$\tau_{n}^{}$}, 其中 $\tau_{1}^{}$ = I 是 identity. 任取 a₁,..., a_{n + 1} $\in$ L, 我們欲證明 a₁,..., a_{n + 1} 是 linearly dependent over $\mathcal {F}$(H). 首先我們考慮以下係數在 L 的 n + 1 個變數, n 個線性方程式的聯立方程式:

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ccl} \tau_1(a_1)x_1+\tau_1(a_2)x_... ...+\tau_n(a_{n+1})x_{n+1} & =&0 \\ \end{array}<tex2html_comment_mark>34 }\right. \begin{array}{ccl} \tau_1(a_1)x_1+\tau_1(a_2)x_2+\cdots+\tau_1(a_... ...au_n(a_1)x_1+\tau_n(a_2)x_2+\cdots+\tau_n(a_{n+1})x_{n+1} & =&0 \\ \end{array}$$ (2.6)

注意因 $\tau_{1}^{}$ = I 所以聯立方程式 (2.6) 中的第一個式子其實是

a₁x₁ + a₂x₂ + ^... + a_{n + 1}x_{n + 1} = 0.

若我們能證明聯立方程式 (2.6) 在 $\mathcal {F}$(H) 中存在一組不全為 0 的解 c₁,..., c_{n + 1} $\in$ $\mathcal {F}$(H), 則得

c₁a₁ + c₂a₂ + ^... + c_{n + 1}a_{n + 1} = 0,

故知 a₁,..., a_{n + 1} 是 linearly dependent over $\mathcal {F}$(H).

現由於聯立方程式 (2.6) 變數的個數 n + 1 大於方程式的個數 n, 由線性代數知在 L 中必存在一組不全為 0 的解. 我們考慮所有聯立方程式 (2.6) 的解中不等於 0 的項數最少的一組解. 經過重排我們假設 x₁ = b₁,..., x_{n + 1} = b_{n + 1} 是聯立方程式 (2.6) 的一組解, 其中這些 b_i $\in$ L 且 b₁,..., b_m$\ne$ 0 以及 b_{m + 1},..., b_{n + 1} = 0. 依我們的找法知若在 L 中找到一組解且其不等於 0 的項數少於 m, 則這一組解必全等於 0. 又因為 b₁$\ne$ 0, 且聯立方程式 (2.6) 是線性的, 同除以 b₁ 我們知

x₁ = 1, x₂ = b₂/b₁,..., x_m = b_m/b₁, x_{m + 1} = 0,..., x_{n + 1} = 0

仍然是聯立方程式 (2.6) 的一組不全為 0 的解. 為了方便我們將 b_i/b₁ 記為 c_i, 也就是說我們有以下的等式:

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ccl} \tau_1(a_1)+\tau_1(a_2)c_2+\... ...dots+\tau_n(a_{m})c_{m} & =&0 \\ \end{array}<tex2html_comment_mark>36 }\right. \begin{array}{ccl} \tau_1(a_1)+\tau_1(a_2)c_2+\cdots+\tau_1(a_{m}... ... \\ \tau_n(a_1)+\tau_n(a_2)c_2+\cdots+\tau_n(a_{m})c_{m} & =&0 \\ \end{array}$$ (2.7)

這些 c₂,..., c_m 是在 L 中皆不為 0 的數, 我們要證明這些 c₂,..., c_m 事實上是在 $\mathcal {F}$(H) 中. 依定義 $\mathcal {F}$(H) 是被所有 H 的元素固定的 L 中的元素所成的集合, 因此要證明 c_i $\in$ $\mathcal {F}$(H), 我們只要證明對任意 $\tau$ $\in$ H 皆有 $\tau$(c_i) = c_i. 所以對任意 $\tau$ $\in$ H 我們將之作用於式子 (2.7) 中的每一個式子得到對任意 j $\in$ {1,..., n}, 皆有

$$\tau \tau_{j}^{} \tau_{j}^{} \tau_{j}^{}$$ 0 =

$$\tau \tau_{j}^{} \tau \tau_{j}^{} \tau \tau \tau_{j}^{} \tau$$ =

$$\tau \tau_{j}^{} \tau \tau_{j}^{} \tau \tau \tau_{j}^{} \tau$$ =

由於 H 是一個 group 且 $\tau$ $\in$ H, 故對任意 j = {1,..., n} 皆存在唯一的 j' $\in$ {1,..., n} 滿足 $\tau$o$\tau_{j}^{}$ = $\tau_{j'}^{}$. 因此我們可以將上式改寫成

$$\tau_{j'}^{}$$(a₁) + $$\tau_{j'}^{}$$(a₂)$$\tau$$(c₂) + ^... + $$\tau_{j'}^{}$$(a_m)$$\tau$$(c_m) = 0.

再加上若 j$\ne$k, 則 $\tau$o$\tau_{j}^{}$$\ne$$\tau$o$\tau_{k}^{}$, 因此當 j 跑遍所有的 1,..., n 時, 所對應的 j' 也跑遍所有的 1,..., n. 因此上式的是對任意的 j' $\in$ {1,..., n} 都成立的, 也就是說我們有以下的等式:

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ccl} \tau_1(a_1)+\tau_1(a_2)\tau(... ...tau_n(a_{m})\tau(c_{m}) & =&0 \\ \end{array}<tex2html_comment_mark>38 }\right. \begin{array}{ccl} \tau_1(a_1)+\tau_1(a_2)\tau(c_2)+\cdots+\tau_1... ...a_1)+\tau_n(a_2)\tau(c_2)+\cdots+\tau_n(a_{m})\tau(c_{m}) & =&0 \\ \end{array}$$

換言之對任意 $\tau$ $\in$ H,

x₁ = 1, x₂ = $$\tau$$(c₂),..., x_m = $$\tau$$(c_m), x_{m + 1} = 0,..., x_{n + 1} = 0

是聯立方程式 (2.6) 的一組解. 由於

x₁ = 1, x₂ = c₂,..., x_m = c_m, x_{m + 1} = 0,..., x_{n + 1} = 0

已是聯立方程式 (2.6) 的一組解且聯立方程式 (2.6) 是線性的, 所以知

x₁ = 1 - 1 = 0, x₂ = c₂ - $$\tau$$(c₂),..., x_m = c_m - $$\tau$$(c_m), x_{m + 1} = 0,..., x_{n + 1} = 0

也是聯立方程式 (2.6) 的一組解. 很顯然的這一組解不等於 0 的項數少於 m, 但當初我們假設 m 是所有不全為 0 的解中不為 0 的項數最少的. 因此知這組解應全為 0, 也就是說 $\tau$(c₂) = c₂,...,$\tau$(c_m) = c_m. 又這是對任意 $\tau$ $\in$ H 都成立的, 故得 c₂,..., c_m $\in$ $\mathcal {F}$(H). 故再由 c₂,..., c_m$\ne$ 0 以及 a₁ + c₂a₂ + ^... + c_ma_m = 0, 知 a₁,..., a_m 是 linearly dependent over $\mathcal {F}$(H). 所以當然 a₁,..., a_m,..., a_{n + 1} 是 linearly dependent over $\mathcal {F}$(H), 得證本定理. $\qedsymbol$

利用 Theorem 2.3.4 我們馬上可推導出一些有用的性質.

Corollary 2.3.5   假設 L/K 是一個 finite extension 且 H 是 Gal(L/K) 的 subgroup, 則

[$$\mathcal {F}$$(H) : K] = [L : K]/$$\left\vert\vphantom{ H}\right.$$H$$\left.\vphantom{ H}\right\vert$$.

証 明. 由於 K $\subseteq$ $\mathcal {F}$(H) $\subseteq$ L, 利用 Lemma 1.2.3 我們知 [L : K] = [L : $\mathcal {F}$(H)][$\mathcal {F}$(H) : K]. 再利用 Theorem 2.3.4 我們知 [L : $\mathcal {F}$(H)] = $\left\vert\vphantom{ H}\right.$H$\left.\vphantom{ H}\right\vert$, 故得證. $\qedsymbol$

Corollary 2.3.6   假設 L/K 是一個 finite extension 且 H 是 Gal(L/K) 的 subgroup, 則

$$\mathcal {G}$$($$\mathcal {F}$$(H)) = H.

証 明. 由 Proposition 2.2.3 我們知 H $\subseteq$ $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)), 因此若要證得 H = $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)) 只要檢查是否 $\left\vert\vphantom{ H}\right.$H$\left.\vphantom{ H}\right\vert$ = $\left\vert\vphantom{\mathcal{G}(\mathcal{F}(H))}\right.$$\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H))$\left.\vphantom{\mathcal{G}(\mathcal{F}(H))}\right\vert$. 由於 $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)) 仍為 Gal(L/K) 的 subgroup, 故由 Theorem 2.3.4 知 $\left\vert\vphantom{\mathcal{G}(\mathcal{F}(H))}\right.$$\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H))$\left.\vphantom{\mathcal{G}(\mathcal{F}(H))}\right\vert$ = [L : $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)))]. 又由於 $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H))) = $\mathcal {F}$(H) (Proposition 2.2.3) 故知 $\left\vert\vphantom{\mathcal{G}(\mathcal{F}(H))}\right.$$\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H))$\left.\vphantom{\mathcal{G}(\mathcal{F}(H))}\right\vert$ = [L : $\mathcal {F}$(H)] = $\left\vert\vphantom{ H}\right.$H$\left.\vphantom{ H}\right\vert$. 得證 $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)) = H. $\qedsymbol$

回顧一下, 當 L/K 是一個 finite extension, 我們令 $\mathfrak{F}$ 是 L/K 的 intermediate fields 所成的集合且令 $\mathfrak{G}$ 是 Gal(L/K) 的 subgroups 所成的集合, 而 $\mathcal {G}$ : $\mathfrak{F}\to\mathfrak{G}$ 是一個從 $\mathfrak{F}$ 到 $\mathfrak{G}$ 的函數, 且 $\mathcal {F}$ : $\mathfrak{G}\to\mathfrak{F}$ 是一個從 $\mathfrak{G}$ 到 $\mathfrak{F}$ 的函數. Corollary 2.3.6 告訴我們當 H $\in$ $\mathfrak{G}$ 時 $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)) = H, 也就是說 $\mathcal {G}$o$\mathcal {F}$ : $\mathfrak{G}\to\mathfrak{G}$ 是一個從 $\mathfrak{G}$ 送到 $\mathfrak{G}$ 的 identity map. 因此我們知 $\mathcal {F}$ 這個函數是 1-1 (因為若 $\mathcal {F}$(H₁) = $\mathcal {F}$(H₂), 將之代入 $\mathcal {G}$ 得 H₁ = H₂) 而 $\mathcal {G}$ 是 onto (對任意 H $\in$ $\mathfrak{G}$, 取 F = $\mathcal {F}$(H) $\in$ $\mathfrak{F}$, 可得 $\mathcal {G}$(F) = H). 在 Example 2.1.5 中我們知一般來說 $\mathcal {G}$ 不一定是 1-1, 以後我們將探討何時 $\mathcal {G}$ 會是 1-1.