《師父中的師父》這本書的每一篇文章都由一段〈數學經文〉作為開頭，經文很短，放置在打坐圖的右手邊。接下來是這篇文章所要論述的題目，之後就是用白話文來描寫與題目相關的歷史､相關概念､延伸與解答。
看了這本書的文章之後，如果覺得很無厘頭，那就開懷大笑好了；如果有所領悟，那就帶著愉快的心情過生活。總之兩者都是作者寫這本書的目的…開懷大笑或愉快過生活。
你知道嗎？每個自認為走捷徑的人，其實他都在繞圓圈或走圓弧，即便是地球上的直線也不過是半徑大一點的圓圈而已。當你讀一本書，從首頁讀到末頁，之後你還是會翻到第一頁來回憶一下，這就是走圓圈。事實上，走直線需要努力與勇氣，我不鼓勵讀者以走直線的方式來讀這裡的文章。倒是希望以走圓圈的方式來讀書裡的文章，最好從最後一節讀起，再繞從頭往下讀，最後再回到開頭的〈數學經文〉。
一位已經圓寂，小時候很不喜歡上數學課的高僧，在一本書裡寫道“夢中夢”是不可能的事，意思是說「一個人不可能在夢中夢到，夢裡的人物也同時在作夢」，至少我不曾做過這樣的夢。但是“書中書”是常有的事，一本書裡寫著另外一個人也在寫書；或者一本書裡隱藏了好幾本書。究竟你是在讀哪一本書，完全取決於你是從哪一個面向來讀這本書。
記得我在大學教書的前兩次中學演講，是一位高中老師邀請我到她的學校演說。那時候很嫩，沒有經驗，講得並不好，也沒有自己的數學講稿。現在回想起來，應該要感謝那位老師與王老師的全程作陪，學生的耐心聆聽與她們“度時如度日”的煎熬。兩次演講之後，由於在師大教書的緣故，中學演講的邀約陸續不斷，並養成每次都會事先寫好講稿的習慣。雖然與這位老師久未聯繫，但是當年她種下的善因，讓《師父中的師父》這好果誕生了。書裡的文章是歷經十年來，在我腦海中醞量，翻滾與連結而成的作品，希望她能有機會品嚐這來自我腦海中自然浮現的念珠。也希望我時時注意而不刻意，耐心等待而不期待的這些異於傳統的作品，能替中學老師開啟不同的視野，為中學數學引入不同的思維與新血。如果這書 能帶給讀者有任何的迴響，那這福報肯定是要迴向給當時的那位老師，因為這是我與那位老師結緣之下，所產生的一扇無形之窗。這不是一本追憶的書，而是一本分享的書，更是一本感謝的書，或者說是一個人已經站在另一個超越起點的書。
最後，這是一本凡是具有科學頭腦的人，所能想像與期待之外的書，一本處處是滑稽，或者處處有密意的書。但願滑稽也好，密意也罷，它都讓你留下沒辦法形容的好笑。
（許志農 2005.2.5）
不要墜入情境的囚牢之中
☆★☆ 《師父中的師父》每章導讀 ★☆★
是與非，對與錯，黑與白，輸與贏，愛與恨，情與仇是存在理性頭腦裡的兩端，就像銅板的正面與反面一樣。人的頭腦就在這樣的兩極擺盪，很難止於中間。當停止於中間的時刻發生時，一種清涼的瞥見就顯現了，但它依然只是一種可有可無的瞥見。
數學符號 ○與 ㄨ，+1 與 -1，數字的奇數與偶數，跟黑與白一樣，都是文明的語言，也是頭腦的語言，所有受過邏輯訓練的人，都用這些符號來思考。當我們把心情與頭腦放鬆，超然､不做判斷的站在中線，且無時無刻的觀察這兩端所呈現的變化，就是進入數學遊戲的第一堂課。
每一種活動都有學習它的第一堂課，如理財有《理財的第一堂課》，修行有《修行的第一堂課》，上學有《開學的第一堂課》，跳舞有《跳舞的第一堂課》。“入門”跟“第一堂課”是有相當差別的，入門是指基礎的訓練，從零開始的學習；而第一堂課則是告訴你這整個歷程的精髓在哪兒。所以第一堂課常常也是最後一堂課，因為重點都已經隱含在第一堂課的內容裡了，剩下的只是領悟與不斷的練習。一位好的老師或優秀的同學應該秉持著“入門” 就是“第一堂課”，“第一堂課”就是“最後一堂課”的學習與教學的精神，這樣才能帶領你到那清涼的境界。一道好的數學遊戲就是把嚴肅的數學思想､概念或公式，藏在誘人又容易掌握的外在形式的技巧。這個技巧就是以遊戲的形式來呈現，透過遊戲的過程，達到永生難忘的高度。
「旁觀者清､當局者迷」是棋藝遊戲的至理名言。在數學遊戲裡，當旁觀者，也就是中立的第三者，是至為重要的。當你想成為那個玩的人，你就跟先玩者或後玩者有了認同，就容易陷入當局者迷的囚牢裡。所以跳脫出玩的人，而當超然､不做判斷的旁觀者，且無時無刻的觀察先玩者與後玩者出手後所呈現的變化，就是進入數學遊戲的第一堂課。
直線是什麼呢？它就像“時間”這問題一樣，時間讓人感覺很平凡，但“時間是什麼？”卻讓人難以回答。養成對直線具有穿透力的洞見是需要的。走直線需要努力與勇氣，現在就讓我們開始！
音樂是由聲音與寧靜所組成的，它不只是聲音，它還包含了寧靜；而直線卻被需要的點與空隙（不需要的點）填滿。抓住需要的點與掌握空隙是探索直線的初步。但唯有領悟出“需要的點其實是不需要的點，不需要的點（空隙）才是需要的點”時，直線才能與你共舞，直線的平凡性才會像種子般深植你的腦海裡，時時開花，處處結果。
代數學鼻祖丟番圖的年齡問題「他的生活中，童年佔去六分之一，又過了十二分之一長出鬍鬚，再過了七分之一他結了婚，五年之後生下兒子，但是兒子的壽命只有他的一半，在兒子死後四年，他也過世了。求丟番圖的年齡。」是中學生耳熟能詳的算術問題。
據說聖奧古斯丁曾經說過：“每一個人都知道時間是什麼，我也知道時間是什麼，但是當有人問我：「時間是什麼？請你解釋給我聽。」那麼我就不知所措了。” 對學數學的人來說，數線是用來描述時間再好不過的工具了。例如：正方向的數線就好像人的年齡成長一樣，凡是走過，必在數線上的某個點留下痕跡。所以數線是用來刻畫與紀錄人生最好不過的線了！現在就讓我們來描繪丟番圖的年齡數線圖：
格子點，井然有序地座落在平面上的孤立點，他們沒有輕重之分，也無好壞之別。穿過格子點的直線與有理數是相同東西的兩面…一面是幾何､而另一面是代數，斜率是串連這兩面的媒介。
欲瞭解幾何與代數的融合，需時常唸誦華羅庚的名言「數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬是非，切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯繫，切莫分離。」
正確的知識、錯誤的知識、想像、睡覺、和記憶是頭腦的五種能力。頭腦本身既非敵人，亦非朋友，你可以使它成為朋友，你也可以使它成為敵人，它依你而定，依那個隱藏在頭腦背後的你而定。
記憶就是過去經驗的喚起，對過去的事情，採取真實而正確的記憶是避免重複犯錯的不二法門。
唯有讓頭腦處在正確知識裡，潛意識的直覺（第六感）才會是正確的；意識的推論才會是合乎邏輯的。得到這兩個福報就好像隨身攜帶了火把，無論思緒移動到哪裡，那個黑暗就立刻消失，所到之處都是明亮的，所有的事情都不證自明了。
“立即的、直接的認知”是正確知識的第一個來源，而“合乎邏輯的推論”是正確知識的第二個來源。這兩個來源（立即的、直接的認知與合乎邏輯的推論）構成了數學證明的詩篇。想要讓直接的感應產生，合乎邏輯的推論出現，必須讓頭腦變成「證明」的朋友，也就是讓頭腦處於正確知識裡。唯有讓頭腦處在正確知識中，立即的、直接的認知才會像井水般源源不斷的流出，合乎邏輯的推論才會像泉水般一波接著一波的湧現。讓頭腦儲存或擁有越多數學知識的記憶，使頭腦處在正確知識裡：充足的數學知識，立即的、直接的認知加上合乎邏輯的推論讓我們對數學證明充滿信心。
眼睛是靈魂之窗，兩眉之間的第三眼是心靈之窗，唯有藉由眼睛的向外縝密觀察，才能取得養分，透過第三眼的內送滋養心靈。
左眼看到的代數式子與映入右眼的幾何圖形，把這兩眼所看的事物，想像成透過兩眉之間的第三眼，讓它們融合且柔和的在腦海中浮現，就如同 DNA 的雙螺旋般，親密的對應､穩穩的纏繞在一塊，這就是無字勝有字的神奇。
無字證明就是將欲證的式子（可能是等式，也可能是不等式）透過維妙維肖的幾何模型來闡釋。不需要透過太多的文字說明，就能清楚洞見欲證式子的正確性。精確的講，當你左眼聚焦於式子，而右眼縝密的觀照幾何模型，會有一種如 DNA 的雙螺旋般的對應與纏繞，透過兩眉之間的第三眼傳入腦海中。這種能力是需要練習的，讓我們進入練習！
人人都有的六根…眼､耳､鼻､舌､身､意，透過人體的六根，我們得以和外界溝通､接觸，產生感受､經驗…等。
造物者必須創造出，在任何惡劣環境之下，仍然靈敏可用､不會嚴重受損的六根。然而，指數與對數卻是讓人體六根進化完美的影武者，也是不二人選。
唯有對指､對數深刻的瞭解及抱以崇高的敬意，才能掌握人體六根的最後一塊拼圖，達到六根清淨的境界，也才能充分享受六根帶給人類的便利與幸福。
呼吸與思想是深深的關連，就好像它們是同一件事的兩極。每當頭腦改變，呼吸也會跟著改變，同樣的，呼吸改變了，頭腦的思考品質也跟著變。比方說，理不出頭緒，亂了分寸時，呼吸會立刻改變，那個會思考的韻律消失了。那個呼吸變成另外一個品質，它變成不規則的。
抽絲剝繭有他的呼吸型態，亂了章法也有他的呼吸方式。調整呼吸是改變思考品質的一帖良方，而且效果就像電腦的熱插拔一樣立即見效。
不要為“情”所困（陷入情境試題中無法自拔）是老師與學生所面對的一大挑戰。老師的困擾在於找不到更多合身的情境試題，用在教學與測驗上，甚至題目過於冗長，不知如何在黑板上呈現，也是一大挑戰；學生的難處在於語文的瞭解，如何從冗長的敘述裡，抽絲撥繭取出真正有用的數學元素，順利解題，是出題者給學生的挑戰，也是考驗學生應用數學的能力。
一個人的身體，隨年紀增加的變化情形，稱為老化；日常生活中，善用頭腦使應對進退圓融，叫做世故；而心靈的真正成長，才叫成熟。老化､世故與成熟都是一種隨著時間變化而改變的函數。
將年紀用水平長度表示，成熟度用垂直高度刻畫，那麼成熟就是老化的函數，老化與年齡成正比，但成熟度不一定與年齡成正比。每個人的成熟曲線高､低､遠､近各不同，有人很快成熟，有人活到老還是像小孩子，天真無邪。俄國有句諺語說“時間是最好的醫生”，因為時間是讓你成熟的必經之路。但是，時間也是讓你想到死亡的可怕之路，所以我們要珍惜時間，不要輕易的用時間換取金錢或虛擲光陰。
阿基米得重視的是頭腦裡科學曲線的增長，而楊貴妃看重的是身體老化曲線的減緩。你想當現代的阿基米得或是現代的楊貴妃呢？或者兩者都想當呢？魚與熊掌可以兼得嗎？
與奇人相遇的故事發生在它發生的時候：你無法安排它，你無法使它發生。它是經由時時注意，耐心等待下，在一個不可預料的時､地忽然發生的；它不可能是在透過刻意培養或者經由頭腦強烈期待下誕生。
與奇人相遇會讓你有如拈花微笑的迦葉一樣，瞬間開悟，找到那問題的最後一塊拼圖；與奇人相遇也會讓你看到現代阿基米得，光溜溜的跳出浴缸大喊「我發現了」的神情。
奇人就是隨身帶著火把，如影隨形，走到哪，亮到哪，摸索開關對他來說是多餘的。
葛吉夫為了追尋一套他們堅信過去存在、但如今所有的線索都渺無蹤影的知識，他與友人一起探索了中東及中亞一帶諸國。他將所遇見的奇人､奇事寫成一本回憶錄《與奇人相遇》。這是他對人生中遇到的那些奇人充滿敬意的回憶。為了緬懷一代催眠大師､靈性導師，就借用葛吉夫的書名《與奇人相遇》來作為這一章的標題“與奇人相遇的故事”。
為了避開車潮與人潮，今年（民國九十四年）提早回南部家裡過年，隨手將《與奇人相遇》的電子書載入我的 PDA 裡，打算趁著這趟返家之旅，好好拜讀一番。在高速公路上一路想著，葛吉夫書裡談到的八位奇人，肯定個個來頭不小，來個飛簷走壁，凌空取物，隔空治病，露一手什麼神通､分身之類的，應該不算什麼稀奇。即使沒這麼神，也該個個具有低眉菩薩那種善心，或人人面帶睜眼金剛的威風。於是迫不及待的點著電子書閱讀，第一位奇人就是葛吉夫的爸爸“一位中亞細亞一帶頗有名氣的吟遊詩人”，讀完這一章好像沒有想像中那麼神奇，於是乎在車上睡著了。回家後，繼續閱讀第二位，第三位奇人，…，還是沒有讀到具有特殊超能力的人。經過兩天的辛苦閱讀，已經讀到第八位，也是最後一位奇人了，這位奇人叫皮歐特•卡本科，是一位採礦工程師，心裡想著，難道最後這位會有驚人的通天本領嗎？讀完之後，發現也沒有，讓我大失所望。書已讀完了，夜深人靜的晚上，只好練習著瑜珈消磨時間，當然也深思著《與奇人相遇》是一本探索內在旅程的書嗎？
怎樣的人才配叫奇人呢？《與奇人相遇》是葛吉夫寫的第二本書，他的第一本書叫《魔鬼說給孫子的故事》。這本書的目的只有一個，就是
「無情地摧毀許多世紀以來深植人心的信仰和觀念。」
如果我事先有讀葛吉夫的第一本書，我想我對奇人的定義也許會跟前面所期待的截然不同。
閒話講多了，回到這章的主題吧！“與奇人相遇的故事”是在描述或追憶過去十年來，在我的教學或演講現場，與我有過深深互動的幾位老師或同學。由於當時他對討論問題的瞥見，讓我得到了那個問題的最後一塊拼圖或者讓我看到一位現代阿基米得，光溜溜的跳出浴缸大喊「我發現了」的神情。我把這與他交流的時刻稱做“與奇人相遇”，因為在這個特殊的問題與特殊的時間點上，他的確像是一位奇人，他有很出神入化的看法跟解讀。為了不讓這些瞥見消失，每次我都會在事後細心的回顧與整理當時的數學資料，讓我對這個數學問題的瞭解更上層樓。所以這些“奇人”是讓我數學進入另一個高度的最後一塊拼圖，他們就是師父中的師父。每當我在中學演講，講到那個數學問題，我都會想到他們那不可思議的瞥見，也會儘所有可能，將他們的瞥見傳遞給在場聆聽的每個人。
我之所以稱他們為奇人，就是因為在那些問題上，他們的表現與凡人大相逕庭。所謂凡人就是當他處在一間黑暗的房間時，他只能借助摸索跟推理去尋找燈的開關位置；而奇人就是隨身帶著火把，走到哪，亮到哪，摸索開關對他來說是多餘的。凡人總是喜歡隨身攜帶一長串的鑰匙，逐一嘗試哪把才能打開門鎖；而奇人就是隨身帶把萬能鑰匙而已，每個門鎖都難不倒他。
閒聊機率與統計…與其請問上帝是否擲骰子，不如研究上帝怎麼擲骰子
頭腦是一切不真實的集合，它總是思考著讓所有的事情都完美。但人生幾時完美呢？是故，每當頭腦被大量使用，想做完美的事時，它總是站在選擇錯誤的那一面，因為它選擇了完美的替代品…世故或是沒稜沒角，像球一樣的圓滑。只有你相信人生只能美麗，沒辦法完美，那頭腦的選擇才會是正確的選擇。當你達到“不用選擇是唯一，且最好的選擇”時，你就進入人生這粒骰子的最高境界了。
十賭九輸，十墓九空，雖然是兩句成語，但它們反映了人們貪婪的天性。所以很多遊戲，它們發生的機率並不如想像中那樣簡單。如何巧妙的發現它們，又科學的計算它們，確實是對人類的一大挑戰。
丟一枚公正的銅板，不是正面就是反面朝上，而且其機率都一樣是 1/2；投擲一粒均勻的骰子（正立方體），也只會出現六種情況，點數 1,2,3,4,5,6 朝上的機率都一樣是 1/6。這兩個結果可以從多次的實驗得到驗證，不需要求神問卜，請問上帝。日常生活中，類似這樣的機率活動有許多，如何得到各種情況發生的機率分佈是人們很感興趣的一件事。與其求見上帝，問他這機率分佈是多少，不如善用手邊的數學知識，親手研究這機率分佈來得實際。
師父中的師父，就是時時刻刻把“起點當作前個高度的終點，終點想成後個高度的起點”銘記於心的人。讓「起點就是終點，終點就是起點」常駐你心。
我不屬於任何宗教，但希望任何宗教的意識品質都屬於我，意識形態都不屬於我。《師父中的師父》將數學真理連結到你科學的頭腦，延申達你的喉嚨，甚至聯繫至你的內心，帶給你頭腦清析，喉嚨清涼，內心感動。理性頭腦知識的增長與感性意識品質的提昇是這本書的主要目的。當你與數學真理相遇，體會到“數”境的殊聖時，你所要做的唯一，也是最後一件事，也就是狠狠的把這本書一腳踢開，把我告訴你的文字全部忘記，因為它已成為你與數學真理的拌腳石跟阻礙。真理本來就與你同在，垂手可得，沒有必要透過第三者，也無需感謝第三者，唯一要感謝的是數學真理本身。願讀完這本書的人“面對它，處理它，接受它，放下它，超越它”。
“悲欣交集”四字是弘一大師李叔同臨終前的絕筆，“君子之交，其淡如水，執像而求，咫尺千里”是他送給夏丏尊的一個偈。好朋友的交往，應該如水一樣的平淡；太過執著的追求，既使是近在咫尺的東西，也會離你如千里那麼遠。將這“佛境”的領悟運用在“數境”的學習上就是「數學的學習，應與觀念、公式保持等距，時時注意，耐心等待，才能生出智慧，運用自如，不可以刻意記誦公式，冷落觀念，期待公式可以讓你數學進步；對公式的執著，表像上，數學離你只有咫尺，事實上，它離你還有千里之遙。」
富商之後，也是一代高僧、藝術泰斗的李叔同，選擇三十九歲時在杭州虎跑寺剃度為僧，他的學生豐子愷提出了一個很有名的見解。豐子愷認為人的生活，可以分作三層：一是物質生活；二是精神生活；三是靈魂生活。物質生活就是衣食（外表），精神生活就是學術文藝（頭腦），而靈魂生活就是宗教（內在）。人生就是這樣的一個三層樓，懶得走樓梯的，就住在第一層，錦衣玉食，尊榮富貴就滿足了。這也是一種人生觀，抱這種人生觀的人就是追求外表的漂亮。其次，高興走樓梯的，就爬上第二層樓去玩玩。這就是專心學術文藝的人，他們把全力貢獻於學問的研究，把全心寄託於文藝的創作與欣賞。這類的人就是「知識份子」，抱這種人生觀的人就是追求頭腦的完美。還有一種人，人生欲很強，腳力很大，對第二層樓還不滿足，就再走樓梯，爬上第三層樓去。這一層樓的人在探求人生的究竟，他們認為財產子孫都是身外之物，學術文藝都是暫時的美景，連自己的身體都是虛幻的存在，他們在追求靈魂的來源。這類人在做「內在旅程」，抱這種人生觀的人就是追求內在的美麗。豐子愷認為李叔同就是從一層樓爬上二層樓，再遁入三層樓的高僧。人生雖然沒辦法永保外表層面的漂亮，沒辦法達到頭腦層面的完美，但可以追求內在層面的美麗。
《師父中的師父》唱著弘一大師的歌「長亭外，古道邊，芳草碧連天，晚風拂柳笛聲殘，夕陽山外山。天之涯，地之角，知交半零落，一觚濁酒盡餘歡，今宵別夢寒。韶光逝，留無計，今日卻分袂，驪歌一曲送別離，相顧卻依依。聚雖好，別雖悲，世事堪玩味，來日後會相予期，去去莫遲疑。」向妳〈送別〉。願讀完這本書的人“面對它，處理它，接受它，放下它，超越它”。