我們將證事實上當 n5 時 An 確實沒有 nontrivial normal
subgroup. 我們將利用類似在 Sn 的方法處理,
唯一要克服的是我們只能考慮 An 裡的元素.
假設
(a b c) N, 在 Lemma 3.4.23
的証明中我們是證明: 對任意的 3-cycle,
(a' b' c') 皆可找到
Sn 使得
當然了, 如果當初找的 已在 An 中那麼令
=
即可.
如果
不在 An 呢? 這表示
是 odd permutation,
所以只要找到一個 2-cycle 乘上
就會成為 even permutation,
也就落入 An 了. 別忘了和 Lemma 3.4.23 不同,
這裡我們還多假設了 n
5. 所以我們可選
i, j
{1,..., n} 但
i 和 j 都不屬於 {a, b, c}, 而令
=
. (i j).
如此一來不但
An 且
![]() ![]() |
= | (![]() ![]() |
|
= | ![]() ![]() |
||
= | ![]() ![]() ![]() |
||
= | (a' b' c'). |
這裡要說明一下: 雖然 Lemma 3.4.25 我們用到了 n5
這個假設, 不過當 n = 3, 4 時, 我們可以直接證明 Lemma 3.4.25
也是對的.
最後我們依然要用類似證明 Theorem 3.4.24 的方法來證明以下的 Theorem.
回顧一下在 Theorem 3.4.24 的証明中, 我們是利用 N 中一個非
identity 的元素 , 找到一個 2-cycle
使得
.
.
. 如此就可以得到另一個在
N 中但不等於 identity 的元素,
. (
.
.
). 這個元素當初會在
N 中完全是由於當時 N 假設是 Sn 的 normal subgroup, 所以利用
也在 N 中可得
.
.
N. 如今 N 是在 An normal, 而
是 2-cycle 並不在 An
中, 我們不再有
.
.
N.
因此我們不能再用原來的
, 而是要找一個 An 中的元素.
事實上我們要找的是一個 3-cycle 就可. 也就是說我們希望找到一個
3-cycle
使得
.
.
.
由於假設
N 且不是 identity, 故存在
a
{1,..., n}
使得
(a) = b
a. 由於我們要找的是 3-cycle, 我們要把
細分成以下三種狀況:
當 是 case 1 時, 我們可找
= (a b i), 其中
i
{1..., n} 但
i
{a, b}. 此時由 Lemma 3.4.10
得
當 是 case 2 時, 我們可找
= (a b i), 其中
i
{1..., n} 但
i
{a, b, c} (別忘了 n
5
所以一定可以找到這樣的 i). 此時由 Lemma 3.4.10 得
當 是 case 3 時, 我們令
= (a b c) 就可.
因為此時
綜合以上的結果我們知: 在 N 中任取一個不是 identity 的元素
, 存在一個 3-cycle
符合
.
.
. 由於
An, 而 N
在 An 中 normal, 故由
N 得
.
.
N. 因此若令
= (
.
.
) .
則
不是 identity, 且
=
. (
.
.
)
N.
更重要的是由於
是一個 3-cycle, Lemma 3.4.10 告訴我們
.
.
也是一個 3-cycle. 所以
= (
.
.
) .
是由兩個
3-cycle 相乘所得的 permutation. 簡言之: 我們在 N 中找到一個非
identity 的元素
, 而且
是由兩個 3-cycle
相乘而得.
現在我們將 的這兩個 3-cycles 可能的形式列出:
若是 case 甲, 可寫成
(i j k)(i j k) (不可能是
(i j k)(i k j) 因若如此則為 identity). 在此情形我們得
若是 case 乙, 可寫成
(i j k)(j i r) 或
(i j k)(i j r). 在第一種情形,
若是 case 丙, 可寫成
(i j k)(i s t).
在此情形我們得
最後若是 case 丁, 可寫成
(i j k)(r s t).
此時令
= (i j r)
An, 則
.
.
= (j r k)(i s t)
N.
故得
由以上之結果知, 在任何情況下 N 中都有一個 3-cycle. 所以由 Lemma
3.4.25 知 N = An.
當一個 group 它沒有 nontrivial proper normal subgroup 時, 我們稱這種
group 是 simple group. 若 G 是 abelian, 它所有的 subgroup
都是 normal subgroup, 所以此時若 G 又是 simple, 表示 G 沒有
nontrivial proper subgroup. 之前已知在這種情形 G 一定是 cyclic
且其個數一定是一質數. 不過在一般情況下, simple group 並不如其名那麼
``simple''. Theorem 3.4.26 告訴我們當 n5 時 An 是 simple
group, 不過事實上 An 是蠻複雜的.