The alternating group

在 S_n 中的 even permutations 所成的集合形成一個 group 稱之為 alternating group.

Theorem 3.4.18   令 A_n 是 S_n 中所有的 even permutation 所成的集合.

1. A_n 是 S_n 的一個 normal subgroup.

2. | A_n| = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$n ^. (n - 1) ^... 2 ^. 1 = $${\frac{n!}{2}}$$.

証 明. 考慮 sgn : S_n$\to${1, - 1} 這個函數其中

sgn($$\sigma$$) = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ll} 1, & \hbox{若 $\sigma$ 是 even;} \\ -1, & \hbox{若 $\sigma$ 是 odd.} \\ \end{array}%% }\right.$$$$\begin{array}{ll} 1, & \hbox{若 $\sigma$ 是 even;} \\ -1, & \hbox{若 $\sigma$ 是 odd.} \\ \end{array}$$

若將 {1, - 1} 看成是一個乘法群, 則 1 是其 identity, 且 Lemma 3.4.17 告訴我們 sgn 是一個 group homomorphism. 由定義知 ker(sgn) = A_n, 故由 Lemma 2.5.4 知 A_n 是 S_n 的一個 normal subgroup. 又任意的 2-cycle 是 odd, 故知 sgn 是 onto, 所以由 First Isomorphism 定理 (Corollary 2.6.2) 知 S_n/A_n $\simeq$ {1, - 1}. 也就是說 | A_n| = | S_n|/2. $\qedsymbol$

Definition 3.4.19   我們將 S_n 中所有的 even permutation 所成的集合定為 A_n 稱之為 the alternating group of degree n.

Remark 3.4.20   由於 A_n 的個數是 S_n 的一半, 那麼令一半當然是 S_n 中的 odd permutations 了, 所以在 S_n 中 odd permutation 和 even permutation 的個數一樣多.

每一個 S_n 的元素可以寫成一些 2-cycle 的乘積 (Lemma 3.4.14). 那麼 A_n 的元素都可以有甚麼特殊的表示法嗎?

Lemma 3.4.21   若 $\sigma$ $\in$ A_n, 則存在 S_n 的 3-cycles, $\gamma_{1}^{}$,...,$\gamma_{s}^{}$ 使得

$$\sigma$$ = $$\gamma_{1}^{}$$ ^... $$\gamma_{s}^{}$$.

証 明. 因 $\sigma$ $\in$ A_n 故存在 2r 個 2-cycles $\tau_{1}^{}$,...,$\tau_{2r}^{}$ 使得 $\sigma$ = $\tau_{1}^{}$ ^. $\tau_{2}^{}$ ^... $\tau_{2r-1}^{}$ ^. $\tau_{2r}^{}$. 我們將這些 $\tau_{i}^{}$ 兩個兩個先擺一起, 也就是考慮 $\sigma$ = ($\tau_{1}^{}$ ^. $\tau_{2}^{}$) ^... ($\tau_{2r-1}^{}$ ^. $\tau_{2r}^{}$). 若能證明任兩個 2-cycle 相乘都能寫成一些 3-cycles 的乘積, 那麼證明就完成了.

考慮 $\tau$ = (a  b), $\tau{^\prime}$ = (c  d ) 是 S_n 中兩個 2-cycle. 有三種可能情況:

(1) {a, b} = {c, d}, 此時 $\tau$ ^. $\tau{^\prime}$ 是 identity, 所以我們可以將 $\tau$ ^. $\tau{^\prime}$ 寫成

(1  2  3)(3  2  1)

(2) {a, b} 和 {c, d} 中恰有一數相同, 不失一般性我們假設 a = c 但 b$\ne$d. 此時由式子 (3.7) 知

$$\tau$$ ^. $$\tau{^\prime}$$ = (a  b)(a  d )= (a  d  b)

(3) {a, b} 和 {c, d} 皆相異, 此時我們有

$$\tau$$ ^. $$\tau{^\prime}$$ = (a  b)(c  d )= (a  d  b)(a  d  c)

$\qedsymbol$

因為 3-cycle 是 even permutation, 所以所有的 3-cycles 都在 A_n 中. 下一個定理告訴我們反過來也是對的.

Proposition 3.4.22   若 H 是 S_n 的一個 nontrivial proper subgroup, 假如 H 中含有所有的 3-cycles, 則 H = A_n.

証 明. 若 $\sigma$ $\in$ A_n, 則由 Lemma 3.4.21 知存在 3-cycles, $\gamma_{1}^{}$,...,$\gamma_{s}^{}$ 使得 $\sigma$ = $\gamma_{1}^{}$ ^... $\gamma_{s}^{}$. 由假設, 這些 $\gamma_{i}^{}$ 都在 H 中. 又因 H 是 group, 由封閉性知 $\gamma_{1}^{}$ ^... $\gamma_{s}^{}$ $\in$ H. 也就是說 $\sigma$ $\in$ H. 故得 A_n $\subseteq$ H. 然而 H$\ne$S_n 故 | H| < n! = 2| A_n| 再由 Lagrange 定理 (Theorem 2.2.2) 知 | H| 是 | A_n| 的倍數. 唯一的可能就是 | H| = | A_n|. 故得 H = A_n $\qedsymbol$