Extension Field

假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension field, 由 Lemma 9.1.1 知 L 是一個 integral domain, 故由前一節的討論我們知 L 是一個 vector space over F. 我們當然可以討論 L over F 的 dimension.

証明. 我們不打算用定義直接證明 R 是一個 field, 而是想套用 Theorem 9.3.7 來得到. 要套用 Theorem 9.3.7, 我們必須說明 R 是一個 integral domain 且 dim_F(R) 是有限的.

因為 L 已經是一個 integral domain (Lemma 9.1.1), 而 R 是 L 的 subring, 所以 R 當然是 integral domain. 另一方面, 我們可以把 R 看成是 L 的一個 subspace over F. 故利用 L 是 F 的一個 finite extension 的假設以及 Lemma 9.3.4 知 dim_F(R) $\le$ dim_F(L), 換句話說 R 是一個 finite dimensional vector space over F. 因此利用 Theorem 9.3.7 (2) 得證 R 是一個 field. $\qedsymbol$

若 L 是 F 的一個 finite extension, 則直接將 Theorem 9.3.7 (1) 套用在 L 上, 我們馬上知對任意的 a $\in$ L 皆存在一個 F[x] 中的 polynomial f (x) $\ne$ 0 滿足 f (a) = 0. 這樣的元素我們給它一個特殊的名字.

當一個 extensional field of F 中的元素都是 algebraic over F 時, 我們稱這個 extension 是一個 algebraic extension. Lemma 9.4.5 告訴我們任何的 finite extension of F 也都是 algebraic extension of F. 不過要注意的是一個 algebraic extension of F 不一定是 finite extension of F.

最後我們再看一個有關 finite extension 重要的性質. 如果 F 是一個 field, K 是 F 的一個 extension field, 而又 L 是 K 的一個 extension field. 也就是我們有 F $\subseteq$ K $\subseteq$ L 這一個關係. 當然了 L 也可看成是 F 的一個 extension. 痍Y假設 K over F 和 L over K 都是 finite extension, 我們自然會問那麼 L 看成是 F 的 extension 時是否也是 finite extension?

証明. 假設 [K : F] = m 以及 [L : K] = n, 我們想證明 L 是一個 finite extension of F 且其 degree 為 m^.n. 由 [K : F] = m 的假設知 dim_F(K) = m, 即存在 a₁,..., a_m $\in$ K 是 K over F 的一組 basis. 同樣的存在 b₁,..., b_n $\in$ L 是 L over K 的一組 basis. 我們想證明

{a_i^.b_j}, $\displaystyle \mbox{$i=1,\dots,m$ 且 $j=1,\dots,n$}$

是 L over F 的一組 basis. 如此自然得證本定理. 首先要注意的是因為 K $\subseteq$ L 所以由 a_i $\in$ K, b_j $\in$ L 自然可得 a_i^.b_j $\in$ L. 我們要證明這些 a_i^.b_j span L over F 且是 linearly independent over F.

首先證明 {a_i^.b_j} span L over F: 任取 $\alpha$ $\in$ L, 我們要找到 c_{i, j} $\in$ F 使得

$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sum_{j=1}^{n}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{m}$ c_{i, j}^.(a_i^.b_j).

然而因 b₁,..., b_n span L over K, 我們可以找到 d₁,..., d_n $\in$ K 使得

$\displaystyle \alpha$ = d₁^.b₁ + ^... + d_n^.b_n.

(9.4)

再利用 a₁,..., a_m span K over F, 對任一 d_j $\in$ K, 我們都可以找到 c_{1, j},..., c_{m, j} $\in$ F 使得

d_j = c_{1, j}^.a₁ + c_{2, j}^.a₂ + ^... + c_{m, j}^.a_m.

將這些 d_j 帶入式子 (9.4), 得證 {a_i^.b_j} span L over F.

接著證明 {a_i^.b_j} 是 linearly independent over F. 利用反證法, 假設存在一組不全為 0 的 c_{i, j} $\in$ F 使得 $\sum$ c_{i, j}^.(a_i^.b_j) = 0. 這表示

0	=	(c_{1, 1}^.a₁ + c_{2, 1}^.a₂ + ^... + c_{m, 1}^.a_m)^.b₁
		+ ^... + (c_{1, n}^.a₁ + c_{2, n}^.a₂ + ^... + c_{m, n}^.a_m)^.b_n

注意對任意的 j = 1,..., n, 若令

d_j = c_{1, j}^.a₁ + c_{2, j}^.a₂ + ^... + c_{m, j}^.a_m,

因為 c_{i, j} $\in$ F, a_i $\in$ K 且 F $\subseteq$ K, 我們有 d_j $\in$ K 且

0 = d₁^.b₁ + d₂^.b₂ + ^... + d_n^.b_n.

因為 b₁,..., b_n 是 linearly independent over K, 故得 d₁ = d₂ = ^... = d_n = 0. 換句話說對任意的 j = 1,..., n, 皆有

0 = d_j = c_{1, j}^.a₁ + c_{2, j}^.a₂ + ^... + c_{m, j}^.a_m.

再利用 a₁,..., a_m 是 linearly independent over F 以及這些 c_{i, j} 皆屬於 F, 我們得這些 c_{i, j} 皆等於 0. 此和當初假設 c_{i, j} 不全為 0 相矛盾, 故得證 {a_i^.b_j} 是 linearly independent over F. $\qedsymbol$

要注意 Theorem 9.4.6 中的條件是要求 K 是 F 的 finite extension 且 L 是 K 的 finite extension � 能推得 L 是 F 的 finite extension. 我們自然會問反過來對嗎? 也就是說但如果已知 L 是 F 的 finite extension, 我們是否可得 K 是 F 的 finite extension 且 L 是 K 的 finite extension 呢? 答案是肯定的, 事實上我們有以下的結果:

証明. 由 F $\subseteq$ K $\subseteq$ L 這個關係式, 我們可將 K 看成是 L over F 的 subspace, 所以由 Lemma 9.3.4 (3) 知 dim_F(L) $\ge$ dim_F(K), 換句話說若 L over F 是一個 finite extension 那麼 K over F 當然也是 finite extension. 另一方面若假設 [L : F] = dim_F(L) = n, 也就說存在 a₁,..., a_n $\in$ L 是一組 L over F 的 basis, 由於 a₁,..., a_n span L over F 再加上 F $\subseteq$ K, 我們當然知 a₁,..., a_n 也 span L over K. 所以利用 Lemma 9.3.4 (1) 知 dim_K(L) $\le$ n = dim_F(L). 因此得 L 是 K 的一個 finite extension.

上面已證若 L 是 F 的一個 finite extension, 則 K 是 F 的一個 finite extension 且 L 是 K 的一個 finite extension. 因此可套用 Theorem 9.4.6 得證

[L : F] = [L : K][K : F].

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