���w
m
, �����N�M m ���誺��� a, �� Proposition
3.2.5 �����i�H���@�өM m ���誺��� b �ϱo
ab
1(mod m), �ڭ̤]�������M�o�˪� b �ä��ߤ@, ���b modulo m
���������U���|�O�ߤ@��. �]�N�O���u���b���H m ���U�M b
�P�l����Ƥ~�|�ŦX. �o�ئb modulo m ���U���k�Ϥ������s�b�ߤ@�ʥ�
modulo m ���U�� reduced residue system �̮e�����F.
���ߤ@��, �ڭ̥����]
rj, rk S �Һ���
rirj
1(mod m) �H��
rirk
1(mod m). �]���o
rirj
rirk(mod m). ���ѩ�
gcd(m, ri) = 1, �Q�� Corollary 3.2.4
�o
rj
rk(mod m). �� S �O reduced residue system modulo
m ���� S ���۲��������b modulo m ���U���O���P����, �G��
rj
rk(mod m) �� rj = rk. �o�Ұߤ@��.
�Ҧp S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} �O�@�� reduced residue system modulo 11, �b modulo 11 ���U�ڭ̦�
�Ϥ�, �Y
a2 1(mod p), ���� p| a2 - 1, �]�N�O��
p|(a - 1)(a + 1), �G�] p �O���, �Q�� Lemma 1.4.2 �o p| a - 1
�� p| a + 1. �]�N�O��
a
1(mod p) ��
a
- 1(mod p).
�{�Ҽ{ p > 2 ������, �O
S = {r1,..., rp - 1} �ѩ�
gcd(p, 1) = gcd(p, - 1) = 1 �B
1 - 1(mod p) (�_�h p| 2),
�G���O�s�b
ri, rj
S �䤤
ri
rj ����
ri
1(mod p) �B
rj
- 1(mod p). �]�����������, �ڭ̥i���]
r1
1(mod p) �B
r2
- 1(mod p). �{�Ҽ{ ri
S,
�䤤
3
i
p - 1. �� Lemma 3.4.1 ���s�b�ߤ@�� rj
S
�ϱo
rirj
1(mod p). �]��
ri
±1(mod p),
�G��
rj
±1(mod p), �]�N�O��
3
j
p - 1. �S�Y
ri = rj, �|�ɭP
ri2
1(mod p), �o�P Lemma 3.4.2
�ۥ٬�, �G�� i
j. �]�N�O���b
T = {r3,..., rp - 1}
�������@���� ri ���i���ߤ@���t�@���� rj
T �ϱo
rirj
1(mod p). �]���ڭ̥i�H�� T ���o p - 3
�Ӥ������t�� (�`�N p �O�_��), �ϱo�C�@�襤�����ۭ��ᰣ�H p
�|�l 1. �]�N�O��
r3 ... rp - 1
1(mod p). �]���ڭ̱o��
�Y p �O�@��ƥB a �O�M p ���誺���, �ڭ̥i�H�Q�� Wilson's
Theorem ���b modulo p ���U, a �����k�Ϥ���. �ѩ��
a ±1(mod p) ��
a2
1(mod p), �]�N�O�� a �����b modulo
p ���U�O�ۤv�����k�Ϥ���, �ҥH�ڭ̶ȰQ��
a
±1(mod p) �����p.
�ڭ̤��n�j�դ@�U���M Lemma 3.4.1 �b�@�몺
m
������,
�� Lemma 3.4.2 �ݭ���b��Ʈɤ~����, �ҥH Wilson's Theorem �b
modulo �@�몺 m �ä��@�w����. �]�N�O���Y
{r1,..., r
(m)} �O�@�� reduced residue system modulo
m, ��@�w�i�H�o
r1 ... r
(m)
- 1(mod m). �Ҧp�b
modulo 15 ���U�ڭ̤��٦� 4 �M -4 ����
42
(- 4)2
1(mod 15), �ҥH�Q�� Theorem 3.4.3 ���ҩ���k (�Ϊ����p��)
�ڭ̥i�o, �Y
{r1,..., r8} �O�@�� reduced residue system
modulo 15, �h
r1 ... r8
1(mod 15). ���M�Q�� Theorem
3.4.3 ����k�ڭ̥i�H�N Wilson's Theorem ���s��@�� m ������,
���L���ɹ�@�� modulo m �� reduced residue system
{r1,..., r
(m)} ����
ri2
1(mod m) �� ri
�|���ܦh�ر���, �Q�װ_�Ӹ�����, �b�o�̧ڭ̴N���h���Q�F.