Splitting Field

若多項式 f (x) $\in$ K[x], 在 L 中可以完全分解成一次式的乘積, 即 f (x) 的根全部落在 L 中, 則我們稱 f (x) 在 L 中 splits. 當然若 L $\subseteq$ L' 則 f (x) 也在 L' 中 splits, 所以為了符合「經濟效益」我們只考慮讓 f (x) splits 最小的 field, 稱之為 f (x) 的 splitting field.

Definition 3.1.1   假設 L/K 是一個 field extension, f (x) $\in$ K[x]. 如果 f (x) 在 L[x] 中可完全分解成一次式的乘積, 即:

f (x) = c(x - $$\alpha_{1}^{}$$) ^... (x - $$\alpha_{n}^{}$$),

其中 c,$\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$ $\in$ L, 則稱 f (x) splits over L.

如果 f (x) splits over L 且對任意 L/K 的 proper intermediate field F (即 F $\subsetneq$ L), f (x) 都不 splits over F, 則稱 L 是 f (x) over K 的 splitting field.

從以上定義我們可以看出若 L 是 f (x) over K 的 splitting field 且 $\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$ $\in$ L 是 f (x) 所有的根, 則因為 K($\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$) 是包含 K 和 $\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$ 最小的 field, 我們得 L = K($\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$). 要注意雖然是同一個多項式 f (x), 不過若 over 不同的 field 可能會有不同的 splitting field. 當然了若 K $\subseteq$ F $\subseteq$ L, 則 L = K($\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$) = F($\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$), 所以此時 L 仍為 f (x) over F 的 splitting field. 不過若 K $\subseteq$ F 但 F $\nsubseteq$ L, 則 F($\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$) 是 f (x) $\in$ F[x] over F 的 splitting field, 但明顯的 L = K($\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$)$\ne$F($\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$). 事實上這時候 K($\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$) 甚至不 isomorphic to F($\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$). 所以一般來說要談 splitting field 必須說明是 over 哪一個 field 的 splitting field.

其實即使 over 同樣的 field K, f (x) 的 splitting field 並不唯一. 這是由於找 f (x) 的根的方法並不唯一. 也就是說當初我們在某一個 field L 中將 f (x) 的所有的根 $\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$ 找出時, 有可能在另一個 field L' 找到另一組根 $\beta_{1}^{}$,...,$\beta_{n}^{}$. 如果 L 和 L' 都包含於某個更大的 field M, 那麼我們可得 {$\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$} = {$\beta_{1}^{}$,...,$\beta_{n}^{}$} (否則會得到 在 M 中 f (x) 根的的個數大於 deg(f (x)) 的矛盾). 因此知 K($\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$) = K($\beta_{1}^{}$,...,$\beta_{n}^{}$). 不過在一般的情形就不見得這麼幸運了. 假設 f (x) 是 irreducible over K, 若找到 $\alpha$ 是 f (x) 的一個根, 現若在另一個 field 找到 $\beta$ 也是 f (x) 的一個根, 我們僅知 F₁ = K($\alpha$) 和 F₂ = K($\beta$) 是 isomorphic. 若要得到 f (x) over K 的 splitting field, 必須找到 f (x) 其他的根. 由於 $\alpha$ $\in$ F₁ 是 f (x) 的根, 知存在 h(x) $\in$ F₁[x] 使得 f (x) = (x - $\alpha$)h(x), 同理知存在 l (x) $\in$ F₂[x] 使得 f (x) = (x - $\beta$)l (x). 現在問題發生了 h(x) 和 l (x) 不只是不同的多項式, 它們的係數所在的 fields, F₁ 和 F₂ 也可能不同, 這樣一直找根下去所得的根差別也可能越來越大, 那麼這樣得到的 splitting field 會不會也差別很大呢? 要回答這個問題, 我們必須先了解這裡的 h(x) 和 l (x) 之間的關係. 首先我們要提醒的是在剛才 f (x) 的分解中, 絕不能直接將 f (x) 分解成 (x - $\alpha$)(x - $\beta$) 乘上另一個多項式的形式. 這是因為 $\alpha$ 和 $\beta$ 可能無法落在同一個 field 之中, 它們之間就不能運算, 在這時候 (x - $\alpha$)(x - $\beta$) 是沒有意義的. 不管怎樣 F₁ 和 F₂ 之間是 K-isomorphic 的, 亦即存在 $\phi$ : F₁$\to$F₂, 是 K-isomorphism, 且滿足 $\phi$($\alpha$) = $\beta$. 現若 h(x) = a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + ^... + a₁x + a₀, 其中 a_i $\in$ F₁, 即

$$\alpha$$ (3.1)

由於 $\phi$ 將 K 中元素固定, 若將 $\phi$ 作用在 f (x) 的所有係數, 則所得的多項式仍為 f (x). 另一方面將 $\phi$ 作用在等式 (3.1) 右邊的多項式的係數, 所得的多項式為

(x - $$\phi$$($$\alpha$$))($$\phi$$(a_{n - 1})x^{n - 1} + $$\phi$$(a_{n - 2})x^{n - 2} + ^... + $$\phi$$(a₁)x + $$\phi$$(a₀)).

由於 $\phi$($\alpha$) = $\beta$, 因此我們得

f (x) = (x - $$\beta$$)($$\phi$$(a_{n - 1})x^{n - 1} + $$\phi$$(a_{n - 2})x^{n - 2} + ^... + $$\phi$$(a₁)x + $$\phi$$(a₀)).

又因為 $\phi$ 是 F₁ 到 F₂ 的函數, 可知 $\phi$(a_{n - 1})x^{n - 1} + $\phi$(a_{n - 2})x^{n - 2} + ^... + $\phi$(a₁)x + $\phi$(a₀) $\in$ F₂[x]. 因此利用 F₂[x] 的分解唯一性質知 l (x) = $\phi$(a_{n - 1})x^{n - 1} + $\phi$(a_{n - 2})x^{n - 2} + ^... + $\phi$(a₁)x + $\phi$(a₀). 所以我們很自然的有以下的定義.

Definition 3.1.2   假設 $\phi$ : F₁$\to$F₂, 是 ring isomorphism, 對任意

f (x) = a_nxⁿ + ^... + a₁x + a₀ $$\in$$ F₁[x],

我們令

f^$\phi$(x) = $$\phi$$(a_n)xⁿ + ^... + $$\phi$$(a₁)x + $$\phi$$(a₀) $$\in$$ F₂[x].

簡單來說 f^$\phi$(x) 就是將 f (x) 這個多項式的係數用 $\phi$ 作用後所得的多項式. 由於 f (x) 的係數落在 F₁, 所以 f^$\phi$(x) 的係數會落在 F₂. 我們很自然的得到一個從 F₁[x] 到 F₂[x] 的函數.

Lemma 3.1.3   假設 F₁ 和 F₂ 是 isomorphic fields, $\phi$ : F₁$\to$F₂ 是一 isomorphism. 定義 $\Phi$ : F₁[x]$\to$F₂[x], 使得對任意 f (x) $\in$ F₁[x] 皆有 $\Phi$(f (x)) = f^$\phi$(x), 則 $\Phi$ 是一個 ring isomorphism.

証 明. 首先檢驗 $\Phi$ 是一個 ring isomorphism. 若 f (x), g(x) $\in$ F₁[x], 依定義, 很容易驗證 f^$\phi$(x) + g^$\phi$(x) = (f + g)^$\phi$(x), 所以知 $\Phi$(f (x) + g(x)) = $\Phi$(f (x)) + $\Phi$(g(x)). 至於乘法, 我們可以用 induction 來證明. 首先若 f (x) = a₀ $\in$ L₁, g(x) = b_mx^m + ^... + b₁x + b₀ $\in$ L₁[x], 則 f (x) ^. g(x) = a₀b_mx^m + ^... + a₀b₁x + a₀b₀. 故知

$$\Phi \phi \phi \phi$$ =

$$\phi \phi \phi \phi \phi \phi$$ =

另一方面 $\Phi$(f (x)) ^. $\Phi$(g(x)) = $\phi$(a₀) ^. ($\phi$(b_m)x^m + ^... + $\phi$(b₁)x + $\phi$(b₀)), 故知當 deg(f (x)) = 0 時 $\Phi$(f (x)) ^. $\Phi$(g(x)) = $\Phi$(f (x) ^. g(x)). 現假設當 deg(f (x)) < n 時對任意 g(x) = b_mx^m + ^... + b₁x + b₀ $\in$ L₁[x] 皆有 $\Phi$(f (x)) ^. $\Phi$(g(x)) = $\Phi$(f (x) ^. g(x)). 現若 f (x) = a_nxⁿ + ^... + a₁x + a₀, 可將 f (x) 寫成 f (x) = a_nxⁿ + f₁(x), 其中 deg(f₁(x)) < n. 因此

f (x) ^. g(x) = a_nb_mx^{n + m} + ^... + a_nb₁x^{n + 1} + a_nb₀xⁿ + f₁(x) ^. g(x).

因此利用 $\Phi$ 保持加法的性質以及 induction 的假設知

$$\Phi$$

$$\Phi \Phi$$ =

$$\phi \phi \phi \phi \phi \phi \Phi$$ =

$$\Phi \Phi \Phi \Phi$$ =

$$\Phi \Phi \Phi \Phi$$ =

故由 induction 得知 $\Phi$(f (x)) ^. $\Phi$(g(x)) = $\Phi$(f (x) ^. g(x)).

由於 $\phi$ : F₁$\to$F₂ 是 isomorphism, 我們知 $\phi$ 的 inverse, $\phi^{-1}_{}$ : F₂$\to$F₁ 存在且為 ring isomorphism. 現考慮 $\Psi$ : F₂[x]$\to$F₁[x], 定義為對任意 g(x) = b_mx^m + ^... + b₁x + b₀ $\in$ F₂[x], 皆有 $\Psi$(g(x)) = $\phi^{-1}_{}$(b_m)x^m + ^... + $\phi^{-1}_{}$(b₁)x + $\phi^{-1}_{}$(b₀). 很容易驗證對任意 f (x) $\in$ F₁[x], g(x) $\in$ F₂[x] 皆有 $\Psi$($\Phi$(f (x))) = f (x) 且 $\Phi$($\Psi$(g(x))) = g(x), 故知 $\Phi$ 是 1-1 and onto, 得證 $\Phi$ 是一個 ring isomorphism. $\qedsymbol$

在一般 ring 的理論中我們知若 R₁ 和 R₂ 是 rings, $\Phi$ : R₁$\to$R₂ 是 ring homomorphism 且 I 是 R₁ 的 ideal, 則 R₁/I 和 R₂/$\Phi$(I) 看成 rings 仍為 isomorphic. 所以我們有以下之結果.

Corollary 3.1.4   假設 F₁ 和 F₂ 是 isomorphic fields, $\phi$ : F₁$\to$F₂ 是一 isomorphism 且 p(x) $\in$ F₁[x]. 則存在一 ring isomorphism $\tau$ : F₁[x]/(p(x))$\to$F₂[x]/(p^$\phi$(x)) 滿足 $\tau$($\overline{x}$) = $\overline{x}$ 且對任意 $\lambda$ $\in$ F₁, $\tau$($\overline{\lambda}$) = $\overline{\phi(\lambda)}$.

証 明. 由 Lemma 3.1.3 我們知 $\Phi$ : F₁[x]$\to$F₂[x] 是一個 ring isomorphism. 現考慮 $\pi$ : F₂[x]$\to$F₂[x]/(p^$\phi$(x)) 使得對任意 g(x) $\in$ F₂[x], 皆有 $\pi$(g(x)) = $\overline{g(x)}$ (modulo (p^$\phi$(x))). 我們知 $\pi$ 是 onto 的 ring homomorphism, 故 $\pi$o$\Phi$ : F₁[x]$\to$F₂[x]/(p^$\phi$(x)) 是一個 onto 的 ring homomorphism. 現若 f (x) $\in$ ker($\pi$o$\Phi$), 即 $\Phi$(f (x)) = f^$\phi$(x) $\in$ (p^$\phi$(x)), 則存在 h(x) $\in$ F₂[x] 使得 f^$\phi$(x) = p^$\phi$(x) ^. h(x). 兩邊多項式的係數用 $\phi^{-1}_{}$ 作用可得 f (x) = p(x) ^. h^{$\phi^{-1}$}(x). 由於 h^{$\phi^{-1}$}(x) $\in$ F₁[x], 故知 f (x) $\in$ (p(x)), 得證 ker($\pi$o$\Phi$) = (p(x)). 因此利用 ring 的 first isomorphism 定理知 $\pi$o$\Phi$ induces 一個 ring isomorphism $\tau$ : F₁[x]/(p(x))$\to$F₂[x]/(p^$\phi$(x)), 其中對任意 f (x) $\in$ F₁[x], $\tau$($\overline{f(x)}$) = $\pi$o$\Phi$(f (x)). 又因為依定義 $\pi$o$\Phi$(x) = $\pi$(x) = $\overline{x}$ 且對任意 $\lambda$ $\in$ F₁, $\pi$o$\Phi$($\lambda$) = $\pi$($\phi$($\lambda$)) = $\overline{\phi(\lambda)}$, 故得 $\tau$($\overline{x}$) = $\overline{x}$ 且對任意 $\lambda$ $\in$ F₁, $\tau$($\overline{\lambda}$) = $\overline{\phi(\lambda)}$. $\qedsymbol$

這裡要特別強調: 既然 $\Phi$ : F₁[x]$\to$F₂[x] 是 ring isomorphism, 我們知若 p(x) $\in$ F₁[x] 是 irreducible polynomial, 則 $\Phi$(p(x)) = p^$\phi$(x) 在 F₂[x] 中亦為 irreducible polynomial. 因此我們有以下之性質.

Corollary 3.1.5   假設 F₁ 和 F₂ 是 isomorphic fields, $\phi$ : F₁$\to$F₂ 是一 isomorphism 且 p(x) $\in$ F₁[x] 是 F₁[x] 中的 irreducible polynomial. 若 $\alpha$ 是 p(x) 的一個根, 而 $\beta$ 是 p^$\phi$(x) 的一個根, 則存在一 isomorphism $\rho$ : F₁($\alpha$)$\to$F₂($\beta$) 滿足 $\rho$($\alpha$) = $\beta$ 且對任意 $\lambda$ $\in$ F₁, $\rho$($\lambda$) = $\phi$($\lambda$).

証 明. 由於 p(x) 是 F₁[x] 中的 irreducible polynomials, 我們知存在 ring isomorphism $\eta$ : F₁($\alpha$)$\to$F₁[x]/(p(x)) 滿足 $\eta$($\alpha$) = $\overline{x}$ 以及對任意 $\lambda$ $\in$ F₁, $\eta$($\lambda$) = $\overline{\lambda}$. 又由於 p^$\phi$(x) 是 F₂[x] 中的 irreducible polynomials, 我們知存在 ring isomorphism $\theta$ : F₂($\beta$)$\to$F₂[x]/(p^$\phi$(x)) 滿足 $\theta$($\beta$) = $\overline{x}$ 以及對任意 $\zeta$ $\in$ F₂, $\theta$($\zeta$) = $\overline{\zeta}$. 故利用 Corollary 3.1.4, 考慮 $\rho$ = $\theta^{-1}_{}$o$\tau$o$\eta$ : F₁($\alpha$)$\to$F₂($\beta$). 則 $\rho$ 是一個 ring isomorphism, 且

$$\rho$$($$\alpha$$) = $$\theta^{-1}_{}$$o$$\tau$$o$$\eta$$($$\alpha$$) = $$\theta^{-1}_{}$$($$\tau$$($$\overline{x}$$)) = $$\theta^{-1}_{}$$($$\overline{x}$$) = $$\beta$$

以及對任意 $\lambda$ $\in$ F₁,

$$\rho$$($$\lambda$$) = $$\theta^{-1}_{}$$o$$\tau$$o$$\eta$$($$\lambda$$) = $$\theta^{-1}_{}$$($$\tau$$($$\overline{\lambda}$$)) = $$\theta^{-1}_{}$$($$\overline{\phi(\lambda)}$$) = $$\phi$$($$\lambda$$).

$\qedsymbol$

在 Corollary 3.1.5 中, 由於 $\rho$ 若定義域限制在 F₁ 則和 $\phi$ 為同一函數 (即 $\rho$|_F1 = $\phi$). 通常我們就稱 $\phi$ : F₁$\to$F₂ 是 extendible to $\rho$ : F₁($\alpha$)$\to$F₂($\beta$).

現在我們在回到當初要探討有關 splitting field 的唯一性. Corollary 3.1.5 大致上是說: 若找好相對應的根, 這樣一直 extend 上去的 fields 都會 isomorphic. 下一個定理就是要說明這件事. 這個定理是有關 splitting field 最重要的觀念, 以後我們要探討有關 splitting field 的理論都要用上這個定理. 為了強調它的重要性, 在這裡我們特別稱之為 splitting field 的 fundamental theorem (一般書並未如此稱呼).

Theorem 3.1.6 (The Fundamental Theorem for Splitting Fields)   假設 F₁ 和 F₂ 是 isomorphic fields, $\phi$ : F₁$\to$F₂ 是一 isomorphism 且 f (x) $\in$ F₁[x]. 若 L 是 f (x) over F₁ 的 splitting field, 且 L'/F₂ 是一個 field extension 使得 f^$\phi$(x) splits over L', 則存在一個一對一的 ring homomorphism (即 monomorphism) $\sigma$ : L$\to$L' 滿足 $\sigma$|_F1 = $\phi$.

証 明. 利用 Corollary 3.1.5 我們當然可以每次都用 simple extension 將 $\phi$ extends 到 L$\to$L' 的 monomorphism. 不過這樣的 argument 總是不容易說清楚, 最好的方法還是用 induction. 由於 L 是 f (x) over F₁ 的 splitting field, 所以 L/F₁ 是 finite extension. 我們就針對 [L : F₁] = n 作 induction.

假設 [L : F₁] = 1, 此時表示 L = F₁, 所以令 $\sigma$ = $\phi$ 即可. 若 [L : F₁] = n > 1, 則由於此時 L$\ne$F₁, 必存在 f (x) 的一個根 $\alpha$ 滿足 $\alpha$ $\not\in$F₁. 現若 p(x) $\in$ F₁[x] 是 $\alpha$ over F₁ 的 minimal polynomial, 由 minimal polynomial 的性質知 p(x) | f (x) in F₁[x] (參見大學基礎代數講義Lemma 10.1.1). 故將 $\phi$ 作用在多項式的係數得 p^$\phi$(x) | f^$\phi$(x) in F₂[x]. 現因 f^$\phi$(x) splits over L', 故可找到 $\beta$ $\in$ L' 為 p^$\phi$(x) 的一個根. 現利用 Corollary 3.1.5 知存在 $\rho$ : F₁($\alpha$)$\to$F₂($\beta$) 是 isomorphism 且滿足 $\rho$|_F1 = $\phi$. 現在我們檢查一下 induction 的假設條件. 首先我們有一 field isomorphism $\rho$ : F₁($\alpha$)$\to$F₂($\alpha$). 再來由於 F₁ $\subseteq$ F₁($\alpha$) $\subseteq$ L, 故知 L 仍為 f (x) over F₁($\alpha$) 的 splitting field. 再加上 $\phi$ extends to $\rho$ 且 f (x) $\in$ F₁[x], 我們有 f^$\rho$(x) = f^$\phi$(x) $\in$ F₂[x] $\subseteq$ F₂($\beta$)[x] 且 L'/F₂($\beta$) 為 field extension 滿足 f^$\rho$(x) splits over L'. 最後因 [F₁($\alpha$) : F₁] > 1, 故得 [L : F₁($\alpha$)] = [L : F₁]/[F₁($\alpha$) : F₁] < n. 所以可套用 induction 的假設知存在一 monomorphism $\sigma$ : L$\to$L' 滿足 $\sigma$|_F1($\alpha$) = $\rho$. 但由於 F₁ $\subseteq$ F₁($\alpha$), 知

$$\sigma$$|_F1 = ($$\sigma$$|_F1($\alpha$))|_F1 = $$\rho$$|_F1 = $$\phi$$.

故得證本定理. $\qedsymbol$

這個定理主要是講如何可以把一個 isomorphism 的定義域 extends 到大一點的 field. 千萬要注意, 這個定理必需要求 L 是 f (x) over F₁ 的 splitting field. 不能僅假設 f (x) splits over F₁ (因為若僅假設 f (x) splits over F₁, 符合這樣的條件的 L 可能太大以致於無法將 $\phi$ extends to L). 另外要注意的是, 並不需要求 f (x) $\in$ F₁[x] 是 irreducible. 還有僅需要求 f^$\phi$(x) splits over L', 而不需要求 L' 是 f^$\phi$(x) over F₂ 的 splitting field. 不過若 L' 剛好是 f^$\phi$(x) over F₂ 的 splitting field, 那麼 $\sigma$ 就會是一個 isomorphism.

Corollary 3.1.7   假設 F₁ 和 F₂ 是 isomorphic fields, $\phi$ : F₁$\to$F₂ 是一 isomorphism 且 f (x) $\in$ F₁[x]. 若 L₁ 和 L₂ 分別是 f (x) over F₁ 和 f^$\phi$(x) over F₂ 的 splitting fields, 則存在一個 isomorphism $\sigma$ : L₁$\to$L₂ 滿足 $\sigma$|_F1 = $\phi$.

証 明. 因 L₂ 是 f^$\phi$(x) over F₂ 的 splitting field, 所以 f^$\phi$(x) splits over L₂, 故套用 Theorem 3.1.6 得 $\sigma$ : L₁$\to$L₂ 是一個 monomorphism 且滿足 $\sigma$|_F1 = $\phi$. 令 im($\sigma$) 為 $\sigma$ 的 image, 則得 [L₁ : F₁] = [im($\sigma$) : F₂]$\le$[L₂ : F₂]. 另一方面將 Theorem 3.1.6 套用於 $\phi^{-1}_{}$ : F₂$\to$F₁, 可得 [L₂ : F₂]$\le$[L₁ : F₁]. 故得 [L₁ : F₁] = [im($\sigma$) : F₂] = [L₂ : F₂], 也就是說 im($\sigma$) = L₂, 得證 $\sigma$ 是一個 isomorphism. $\qedsymbol$

特別當 F₁ = F₂ = K 且 $\phi$ 是 K 的 identity map (即對任意 a $\in$ K 皆有 $\phi$(a) = a). 則對任意 f (x) $\in$ K[x], 由於 f^$\phi$(x) = f (x) 故套用 Corollary 3.1.7 知: 若 L₁ 和 L₂ 都是 f (x) over K 的 splitting field, 則存在一個 isomorphism $\sigma$ : L₁$\to$L₂ 滿足對任意 a $\in$ K 皆有 $\sigma$(a) = $\phi$(a) = a. 也就是說 $\sigma$ : L₁$\to$L₂ 是一個 K-isomorphism, 亦即 L₁ 和 L₂ 是 isomorphic over K. 我們將這個結果寫下.

Proposition 3.1.8   假設 K 是一個 field 且 f (x) $\in$ K[x]. 則所有 f (x) over K 的 splitting fields 皆 isomorphic over K.

一般來說, 若 $\sigma$ : L₁$\to$L₂ 是一個 K-isomorphism, 則 $\sigma$ 會將 L₁/K 中任意的 intermediate field F 送到 L₂/K 的 intermediate field, $\sigma$(F). 反之 $\sigma^{-1}_{}$ : F₂$\to$F₁ 會將 L₂/K 的 intermediate field 送到 L₁/K 的 intermediate field. 另一方面若 $\tau$ $\in$ Gal(L₁/K), 則很容易驗證 $\sigma$o$\tau$o$\sigma^{-1}_{}$ $\in$ Gal(L₂/K). 因此我們可利用 $\sigma$ 定出一個 Gal(L₁/K) 到 Gal(L₂/K) 的 group isomorphism. 總而言之, 當 L₁ 和 L₂ 是 isomorphic over K 時, L₁/K 和 L₂/K 的 intermediate fields 之間有一個一對一的對應關係, 而且它們的 Galois groups, Gal(L₁/K) 和 Gal(L₂/K) 是 isomorphic. 因此當我們要探討 f (x) $\in$ K[x] over K 的 splitting field 其 Galois group 和 intermediate fields 的關係時, Proposition 3.1.8 告訴我們其實不必擔心是否會因所選的 splitting filed 不同而造成不同的結論.