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Splitting Field

若多項式 f (x) $ \in$ K[x], 在 L 中可以完全分解成一次式的乘積, 即 f (x) 的根全部落在 L 中, 則我們稱 f (x) 在 L 中 splits. 當然若 L $ \subseteq$ L'f (x) 也在 L' 中 splits, 所以為了符合「經濟效益」我們只考慮讓 f (x) splits 最小的 field, 稱之為 f (x) 的 splitting field.

Definition 3.1.1   假設 L/K 是一個 field extension, f (x) $ \in$ K[x]. 如果 f (x) 在 L[x] 中可完全分解成一次式的乘積, 即:

f (x) = c(x - $\displaystyle \alpha_{1}^{}$) ... (x - $\displaystyle \alpha_{n}^{}$),

其中 c,$ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$ $ \in$ L, 則稱 f (x) splits over L.

如果 f (x) splits over L 且對任意 L/K 的 proper intermediate field F (即 F $ \subsetneq$ L), f (x) 都不 splits over F, 則稱 Lf (x) over Ksplitting field.

從以上定義我們可以看出若 Lf (x) over K 的 splitting field 且 $ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$ $ \in$ Lf (x) 所有的根, 則因為 K($ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$) 是包含 K $ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$ 最小的 field, 我們得 L = K($ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$). 要注意雖然是同一個多項式 f (x), 不過若 over 不同的 field 可能會有不同的 splitting field. 當然了若 K $ \subseteq$ F $ \subseteq$ L, 則 L = K($ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$) = F($ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$), 所以此時 L 仍為 f (x) over F 的 splitting field. 不過若 K $ \subseteq$ F F $ \nsubseteq$ L, 則 F($ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$) 是 f (x) $ \in$ F[x] over F 的 splitting field, 但明顯的 L = K($ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$)$ \ne$F($ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$). 事實上這時候 K($ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$) 甚至不 isomorphic to F($ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$). 所以一般來說要談 splitting field 必須說明是 over 哪一個 field 的 splitting field.

其實即使 over 同樣的 field K, f (x) 的 splitting field 並不唯一. 這是由於找 f (x) 的根的方法並不唯一. 也就是說當初我們在某一個 field L 中將 f (x) 的所有的根 $ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$ 找出時, 有可能在另一個 field L' 找到另一組根 $ \beta_{1}^{}$,...,$ \beta_{n}^{}$. 如果 LL' 都包含於某個更大的 field M, 那麼我們可得 {$ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$} = {$ \beta_{1}^{}$,...,$ \beta_{n}^{}$} (否則會得到 在 Mf (x) 根的的個數大於 deg(f (x)) 的矛盾). 因此知 K($ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$) = K($ \beta_{1}^{}$,...,$ \beta_{n}^{}$). 不過在一般的情形就不見得這麼幸運了. 假設 f (x) 是 irreducible over K, 若找到 $ \alpha$f (x) 的一個根, 現若在另一個 field 找到 $ \beta$ 也是 f (x) 的一個根, 我們僅知 F1 = K($ \alpha$) 和 F2 = K($ \beta$) 是 isomorphic. 若要得到 f (x) over K 的 splitting field, 必須找到 f (x) 其他的根. 由於 $ \alpha$ $ \in$ F1f (x) 的根, 知存在 h(x) $ \in$ F1[x] 使得 f (x) = (x - $ \alpha$)h(x), 同理知存在 l (x) $ \in$ F2[x] 使得 f (x) = (x - $ \beta$)l (x). 現在問題發生了 h(x) 和 l (x) 不只是不同的多項式, 它們的係數所在的 fields, F1F2 也可能不同, 這樣一直找根下去所得的根差別也可能越來越大, 那麼這樣得到的 splitting field 會不會也差別很大呢? 要回答這個問題, 我們必須先了解這裡的 h(x) 和 l (x) 之間的關係. 首先我們要提醒的是在剛才 f (x) 的分解中, 絕不能直接將 f (x) 分解成 (x - $ \alpha$)(x - $ \beta$) 乘上另一個多項式的形式. 這是因為 $ \alpha$$ \beta$ 可能無法落在同一個 field 之中, 它們之間就不能運算, 在這時候 (x - $ \alpha$)(x - $ \beta$) 是沒有意義的. 不管怎樣 F1F2 之間是 K-isomorphic 的, 亦即存在 $ \phi$ : F1$ \to$F2, 是 K-isomorphism, 且滿足 $ \phi$($ \alpha$) = $ \beta$. 現若 h(x) = an - 1xn - 1 + an - 2xn - 2 + ... + a1x + a0, 其中 ai $ \in$ F1, 即

f (x) = (x - $\displaystyle \alpha$)(an - 1xn - 1 + an - 2xn - 2 + ... + a1x + a0). (3.1)

由於 $ \phi$K 中元素固定, 若將 $ \phi$ 作用在 f (x) 的所有係數, 則所得的多項式仍為 f (x). 另一方面將 $ \phi$ 作用在等式 (3.1) 右邊的多項式的係數, 所得的多項式為

(x - $\displaystyle \phi$($\displaystyle \alpha$))($\displaystyle \phi$(an - 1)xn - 1 + $\displaystyle \phi$(an - 2)xn - 2 + ... + $\displaystyle \phi$(a1)x + $\displaystyle \phi$(a0)).

由於 $ \phi$($ \alpha$) = $ \beta$, 因此我們得

f (x) = (x - $\displaystyle \beta$)($\displaystyle \phi$(an - 1)xn - 1 + $\displaystyle \phi$(an - 2)xn - 2 + ... + $\displaystyle \phi$(a1)x + $\displaystyle \phi$(a0)).

又因為 $ \phi$F1F2 的函數, 可知 $ \phi$(an - 1)xn - 1 + $ \phi$(an - 2)xn - 2 + ... + $ \phi$(a1)x + $ \phi$(a0) $ \in$ F2[x]. 因此利用 F2[x] 的分解唯一性質知 l (x) = $ \phi$(an - 1)xn - 1 + $ \phi$(an - 2)xn - 2 + ... + $ \phi$(a1)x + $ \phi$(a0). 所以我們很自然的有以下的定義.

Definition 3.1.2   假設 $ \phi$ : F1$ \to$F2, 是 ring isomorphism, 對任意

f (x) = anxn + ... + a1x + a0 $\displaystyle \in$ F1[x],

我們令

f$\scriptstyle \phi$(x) = $\displaystyle \phi$(an)xn + ... + $\displaystyle \phi$(a1)x + $\displaystyle \phi$(a0) $\displaystyle \in$ F2[x].

簡單來說 f$\scriptstyle \phi$(x) 就是將 f (x) 這個多項式的係數用 $ \phi$ 作用後所得的多項式. 由於 f (x) 的係數落在 F1, 所以 f$\scriptstyle \phi$(x) 的係數會落在 F2. 我們很自然的得到一個從 F1[x] 到 F2[x] 的函數.

Lemma 3.1.3   假設 F1F2 是 isomorphic fields, $ \phi$ : F1$ \to$F2 是一 isomorphism. 定義 $ \Phi$ : F1[x]$ \to$F2[x], 使得對任意 f (x) $ \in$ F1[x] 皆有 $ \Phi$(f (x)) = f$\scriptstyle \phi$(x), 則 $ \Phi$ 是一個 ring isomorphism.

証 明. 首先檢驗 $ \Phi$ 是一個 ring isomorphism. 若 f (x), g(x) $ \in$ F1[x], 依定義, 很容易驗證 f$\scriptstyle \phi$(x) + g$\scriptstyle \phi$(x) = (f + g)$\scriptstyle \phi$(x), 所以知 $ \Phi$(f (x) + g(x)) = $ \Phi$(f (x)) + $ \Phi$(g(x)). 至於乘法, 我們可以用 induction 來證明. 首先若 f (x) = a0 $ \in$ L1, g(x) = bmxm + ... + b1x + b0 $ \in$ L1[x], 則 f (x) . g(x) = a0bmxm + ... + a0b1x + a0b0. 故知
$\displaystyle \Phi$(f (x) . g(x)) = $\displaystyle \phi$(a0bm)xm + ... + $\displaystyle \phi$(a0b1)x + $\displaystyle \phi$(a0b0)  
  = $\displaystyle \phi$(a0)$\displaystyle \phi$(bm)xm + ... + $\displaystyle \phi$(a0)$\displaystyle \phi$(b1)x + $\displaystyle \phi$(a0)$\displaystyle \phi$(b0).  

另一方面 $ \Phi$(f (x)) . $ \Phi$(g(x)) = $ \phi$(a0) . ($ \phi$(bm)xm + ... + $ \phi$(b1)x + $ \phi$(b0)), 故知當 deg(f (x)) = 0 時 $ \Phi$(f (x)) . $ \Phi$(g(x)) = $ \Phi$(f (x) . g(x)). 現假設當 deg(f (x)) < n 時對任意 g(x) = bmxm + ... + b1x + b0 $ \in$ L1[x] 皆有 $ \Phi$(f (x)) . $ \Phi$(g(x)) = $ \Phi$(f (x) . g(x)). 現若 f (x) = anxn + ... + a1x + a0, 可將 f (x) 寫成 f (x) = anxn + f1(x), 其中 deg(f1(x)) < n. 因此

f (x) . g(x) = anbmxn + m + ... + anb1xn + 1 + anb0xn + f1(x) . g(x).

因此利用 $ \Phi$ 保持加法的性質以及 induction 的假設知
$\displaystyle \Phi$(f (x) . g(x))
  = $\displaystyle \Phi$(anbmxn + m + ... + anb1xn + 1 + anb0xn) + $\displaystyle \Phi$(f1(x) . g(x))  
  = $\displaystyle \phi$(an)$\displaystyle \phi$(bm)xn + m + ... + $\displaystyle \phi$(an)$\displaystyle \phi$(b1)xn + 1 + $\displaystyle \phi$(an)$\displaystyle \phi$(b0)xn + $\displaystyle \Phi$(f1(x) . g(x))  
  = $\displaystyle \Phi$(anxn) . $\displaystyle \Phi$(g(x)) + $\displaystyle \Phi$(f1(x)) . $\displaystyle \Phi$(g(x))  
  = $\displaystyle \Phi$(anxn + f1(x)) . $\displaystyle \Phi$(g(x)) = $\displaystyle \Phi$(f (x)) . $\displaystyle \Phi$(g(x)).  

故由 induction 得知 $ \Phi$(f (x)) . $ \Phi$(g(x)) = $ \Phi$(f (x) . g(x)).

由於 $ \phi$ : F1$ \to$F2 是 isomorphism, 我們知 $ \phi$ 的 inverse, $ \phi^{-1}_{}$ : F2$ \to$F1 存在且為 ring isomorphism. 現考慮 $ \Psi$ : F2[x]$ \to$F1[x], 定義為對任意 g(x) = bmxm + ... + b1x + b0 $ \in$ F2[x], 皆有 $ \Psi$(g(x)) = $ \phi^{-1}_{}$(bm)xm + ... + $ \phi^{-1}_{}$(b1)x + $ \phi^{-1}_{}$(b0). 很容易驗證對任意 f (x) $ \in$ F1[x], g(x) $ \in$ F2[x] 皆有 $ \Psi$($ \Phi$(f (x))) = f (x) 且 $ \Phi$($ \Psi$(g(x))) = g(x), 故知 $ \Phi$ 是 1-1 and onto, 得證 $ \Phi$ 是一個 ring isomorphism. $ \qedsymbol$

在一般 ring 的理論中我們知若 R1R2 是 rings, $ \Phi$ : R1$ \to$R2 是 ring homomorphism 且 IR1 的 ideal, 則 R1/I R2/$ \Phi$(I) 看成 rings 仍為 isomorphic. 所以我們有以下之結果.

Corollary 3.1.4   假設 F1F2 是 isomorphic fields, $ \phi$ : F1$ \to$F2 是一 isomorphism 且 p(x) $ \in$ F1[x]. 則存在一 ring isomorphism $ \tau$ : F1[x]/(p(x))$ \to$F2[x]/(p$\scriptstyle \phi$(x)) 滿足 $ \tau$($ \overline{x}$) = $ \overline{x}$ 且對任意 $ \lambda$ $ \in$ F1, $ \tau$($ \overline{\lambda}$) = $ \overline{\phi(\lambda)}$.

証 明. 由 Lemma 3.1.3 我們知 $ \Phi$ : F1[x]$ \to$F2[x] 是一個 ring isomorphism. 現考慮 $ \pi$ : F2[x]$ \to$F2[x]/(p$\scriptstyle \phi$(x)) 使得對任意 g(x) $ \in$ F2[x], 皆有 $ \pi$(g(x)) = $ \overline{g(x)}$ (modulo (p$\scriptstyle \phi$(x))). 我們知 $ \pi$ 是 onto 的 ring homomorphism, 故 $ \pi$o$ \Phi$ : F1[x]$ \to$F2[x]/(p$\scriptstyle \phi$(x)) 是一個 onto 的 ring homomorphism. 現若 f (x) $ \in$ ker($ \pi$o$ \Phi$), 即 $ \Phi$(f (x)) = f$\scriptstyle \phi$(x) $ \in$ (p$\scriptstyle \phi$(x)), 則存在 h(x) $ \in$ F2[x] 使得 f$\scriptstyle \phi$(x) = p$\scriptstyle \phi$(x) . h(x). 兩邊多項式的係數用 $ \phi^{-1}_{}$ 作用可得 f (x) = p(x) . h$\scriptstyle \phi^{-1}$(x). 由於 h$\scriptstyle \phi^{-1}$(x) $ \in$ F1[x], 故知 f (x) $ \in$ (p(x)), 得證 ker($ \pi$o$ \Phi$) = (p(x)). 因此利用 ring 的 first isomorphism 定理知 $ \pi$o$ \Phi$ induces 一個 ring isomorphism $ \tau$ : F1[x]/(p(x))$ \to$F2[x]/(p$\scriptstyle \phi$(x)), 其中對任意 f (x) $ \in$ F1[x], $ \tau$($ \overline{f(x)}$) = $ \pi$o$ \Phi$(f (x)). 又因為依定義 $ \pi$o$ \Phi$(x) = $ \pi$(x) = $ \overline{x}$ 且對任意 $ \lambda$ $ \in$ F1, $ \pi$o$ \Phi$($ \lambda$) = $ \pi$($ \phi$($ \lambda$)) = $ \overline{\phi(\lambda)}$, 故得 $ \tau$($ \overline{x}$) = $ \overline{x}$ 且對任意 $ \lambda$ $ \in$ F1, $ \tau$($ \overline{\lambda}$) = $ \overline{\phi(\lambda)}$. $ \qedsymbol$

這裡要特別強調: 既然 $ \Phi$ : F1[x]$ \to$F2[x] 是 ring isomorphism, 我們知若 p(x) $ \in$ F1[x] 是 irreducible polynomial, 則 $ \Phi$(p(x)) = p$\scriptstyle \phi$(x) 在 F2[x] 中亦為 irreducible polynomial. 因此我們有以下之性質.

Corollary 3.1.5   假設 F1F2 是 isomorphic fields, $ \phi$ : F1$ \to$F2 是一 isomorphism 且 p(x) $ \in$ F1[x] 是 F1[x] 中的 irreducible polynomial. 若 $ \alpha$p(x) 的一個根, 而 $ \beta$p$\scriptstyle \phi$(x) 的一個根, 則存在一 isomorphism $ \rho$ : F1($ \alpha$)$ \to$F2($ \beta$) 滿足 $ \rho$($ \alpha$) = $ \beta$ 且對任意 $ \lambda$ $ \in$ F1, $ \rho$($ \lambda$) = $ \phi$($ \lambda$).

証 明. 由於 p(x) 是 F1[x] 中的 irreducible polynomials, 我們知存在 ring isomorphism $ \eta$ : F1($ \alpha$)$ \to$F1[x]/(p(x)) 滿足 $ \eta$($ \alpha$) = $ \overline{x}$ 以及對任意 $ \lambda$ $ \in$ F1, $ \eta$($ \lambda$) = $ \overline{\lambda}$. 又由於 p$\scriptstyle \phi$(x) 是 F2[x] 中的 irreducible polynomials, 我們知存在 ring isomorphism $ \theta$ : F2($ \beta$)$ \to$F2[x]/(p$\scriptstyle \phi$(x)) 滿足 $ \theta$($ \beta$) = $ \overline{x}$ 以及對任意 $ \zeta$ $ \in$ F2, $ \theta$($ \zeta$) = $ \overline{\zeta}$. 故利用 Corollary 3.1.4, 考慮 $ \rho$ = $ \theta^{-1}_{}$o$ \tau$o$ \eta$ : F1($ \alpha$)$ \to$F2($ \beta$). 則 $ \rho$ 是一個 ring isomorphism, 且

$\displaystyle \rho$($\displaystyle \alpha$) = $\displaystyle \theta^{-1}_{}$o$\displaystyle \tau$o$\displaystyle \eta$($\displaystyle \alpha$) = $\displaystyle \theta^{-1}_{}$($\displaystyle \tau$($\displaystyle \overline{x}$)) = $\displaystyle \theta^{-1}_{}$($\displaystyle \overline{x}$) = $\displaystyle \beta$

以及對任意 $ \lambda$ $ \in$ F1,

$\displaystyle \rho$($\displaystyle \lambda$) = $\displaystyle \theta^{-1}_{}$o$\displaystyle \tau$o$\displaystyle \eta$($\displaystyle \lambda$) = $\displaystyle \theta^{-1}_{}$($\displaystyle \tau$($\displaystyle \overline{\lambda}$)) = $\displaystyle \theta^{-1}_{}$($\displaystyle \overline{\phi(\lambda)}$) = $\displaystyle \phi$($\displaystyle \lambda$).

$ \qedsymbol$

在 Corollary 3.1.5 中, 由於 $ \rho$ 若定義域限制在 F1 則和 $ \phi$ 為同一函數 (即 $ \rho$|F1 = $ \phi$). 通常我們就稱 $ \phi$ : F1$ \to$F2extendible to $ \rho$ : F1($ \alpha$)$ \to$F2($ \beta$).

現在我們在回到當初要探討有關 splitting field 的唯一性. Corollary 3.1.5 大致上是說: 若找好相對應的根, 這樣一直 extend 上去的 fields 都會 isomorphic. 下一個定理就是要說明這件事. 這個定理是有關 splitting field 最重要的觀念, 以後我們要探討有關 splitting field 的理論都要用上這個定理. 為了強調它的重要性, 在這裡我們特別稱之為 splitting field 的 fundamental theorem (一般書並未如此稱呼).

Theorem 3.1.6 (The Fundamental Theorem for Splitting Fields)   假設 F1F2 是 isomorphic fields, $ \phi$ : F1$ \to$F2 是一 isomorphism 且 f (x) $ \in$ F1[x]. 若 Lf (x) over F1 的 splitting field, 且 L'/F2 是一個 field extension 使得 f$\scriptstyle \phi$(x) splits over L', 則存在一個一對一的 ring homomorphism (即 monomorphism) $ \sigma$ : L$ \to$L' 滿足 $ \sigma$|F1 = $ \phi$.

証 明. 利用 Corollary 3.1.5 我們當然可以每次都用 simple extension 將 $ \phi$ extends 到 L$ \to$L' 的 monomorphism. 不過這樣的 argument 總是不容易說清楚, 最好的方法還是用 induction. 由於 Lf (x) over F1 的 splitting field, 所以 L/F1 是 finite extension. 我們就針對 [L : F1] = n 作 induction.

假設 [L : F1] = 1, 此時表示 L = F1, 所以令 $ \sigma$ = $ \phi$ 即可. 若 [L : F1] = n > 1, 則由於此時 L$ \ne$F1, 必存在 f (x) 的一個根 $ \alpha$ 滿足 $ \alpha$ $ \not\in$F1. 現若 p(x) $ \in$ F1[x] 是 $ \alpha$ over F1 的 minimal polynomial, 由 minimal polynomial 的性質知 p(x) | f (x) in F1[x] (參見大學基礎代數講義Lemma 10.1.1). 故將 $ \phi$ 作用在多項式的係數得 p$\scriptstyle \phi$(x) | f$\scriptstyle \phi$(x) in F2[x]. 現因 f$\scriptstyle \phi$(x) splits over L', 故可找到 $ \beta$ $ \in$ L'p$\scriptstyle \phi$(x) 的一個根. 現利用 Corollary 3.1.5 知存在 $ \rho$ : F1($ \alpha$)$ \to$F2($ \beta$) 是 isomorphism 且滿足 $ \rho$|F1 = $ \phi$. 現在我們檢查一下 induction 的假設條件. 首先我們有一 field isomorphism $ \rho$ : F1($ \alpha$)$ \to$F2($ \alpha$). 再來由於 F1 $ \subseteq$ F1($ \alpha$) $ \subseteq$ L, 故知 L 仍為 f (x) over F1($ \alpha$) 的 splitting field. 再加上 $ \phi$ extends to $ \rho$ f (x) $ \in$ F1[x], 我們有 f$\scriptstyle \rho$(x) = f$\scriptstyle \phi$(x) $ \in$ F2[x] $ \subseteq$ F2($ \beta$)[x] 且 L'/F2($ \beta$) 為 field extension 滿足 f$\scriptstyle \rho$(x) splits over L'. 最後因 [F1($ \alpha$) : F1] > 1, 故得 [L : F1($ \alpha$)] = [L : F1]/[F1($ \alpha$) : F1] < n. 所以可套用 induction 的假設知存在一 monomorphism $ \sigma$ : L$ \to$L' 滿足 $ \sigma$|F1($\scriptstyle \alpha$) = $ \rho$. 但由於 F1 $ \subseteq$ F1($ \alpha$), 知

$\displaystyle \sigma$|F1 = ($\displaystyle \sigma$|F1($\scriptstyle \alpha$))|F1 = $\displaystyle \rho$|F1 = $\displaystyle \phi$.

故得證本定理. $ \qedsymbol$

這個定理主要是講如何可以把一個 isomorphism 的定義域 extends 到大一點的 field. 千萬要注意, 這個定理必需要求 Lf (x) over F1 的 splitting field. 不能僅假設 f (x) splits over F1 (因為若僅假設 f (x) splits over F1, 符合這樣的條件的 L 可能太大以致於無法將 $ \phi$ extends to L). 另外要注意的是, 並不需要求 f (x) $ \in$ F1[x] 是 irreducible. 還有僅需要求 f$\scriptstyle \phi$(x) splits over L', 而不需要求 L'f$\scriptstyle \phi$(x) over F2 的 splitting field. 不過若 L' 剛好是 f$\scriptstyle \phi$(x) over F2 的 splitting field, 那麼 $ \sigma$ 就會是一個 isomorphism.

Corollary 3.1.7   假設 F1F2 是 isomorphic fields, $ \phi$ : F1$ \to$F2 是一 isomorphism 且 f (x) $ \in$ F1[x]. 若 L1L2 分別是 f (x) over F1f$\scriptstyle \phi$(x) over F2 的 splitting fields, 則存在一個 isomorphism $ \sigma$ : L1$ \to$L2 滿足 $ \sigma$|F1 = $ \phi$.

証 明. 因 L2f$\scriptstyle \phi$(x) over F2 的 splitting field, 所以 f$\scriptstyle \phi$(x) splits over L2, 故套用 Theorem 3.1.6 $ \sigma$ : L1$ \to$L2 是一個 monomorphism 且滿足 $ \sigma$|F1 = $ \phi$. 令 im($ \sigma$) 為 $ \sigma$ 的 image, 則得 [L1 : F1] = [im($ \sigma$) : F2]$ \le$[L2 : F2]. 另一方面將 Theorem 3.1.6 套用於 $ \phi^{-1}_{}$ : F2$ \to$F1, 可得 [L2 : F2]$ \le$[L1 : F1]. 故得 [L1 : F1] = [im($ \sigma$) : F2] = [L2 : F2], 也就是說 im($ \sigma$) = L2, 得證 $ \sigma$ 是一個 isomorphism. $ \qedsymbol$

特別當 F1 = F2 = K$ \phi$K 的 identity map (即對任意 a $ \in$ K 皆有 $ \phi$(a) = a). 則對任意 f (x) $ \in$ K[x], 由於 f$\scriptstyle \phi$(x) = f (x) 故套用 Corollary 3.1.7 知: 若 L1L2 都是 f (x) over K 的 splitting field, 則存在一個 isomorphism $ \sigma$ : L1$ \to$L2 滿足對任意 a $ \in$ K 皆有 $ \sigma$(a) = $ \phi$(a) = a. 也就是說 $ \sigma$ : L1$ \to$L2 是一個 K-isomorphism, 亦即 L1L2 是 isomorphic over K. 我們將這個結果寫下.

Proposition 3.1.8   假設 K 是一個 field 且 f (x) $ \in$ K[x]. 則所有 f (x) over K 的 splitting fields 皆 isomorphic over K.

一般來說, 若 $ \sigma$ : L1$ \to$L2 是一個 K-isomorphism, 則 $ \sigma$ 會將 L1/K 中任意的 intermediate field F 送到 L2/K 的 intermediate field, $ \sigma$(F). 反之 $ \sigma^{-1}_{}$ : F2$ \to$F1 會將 L2/K 的 intermediate field 送到 L1/K 的 intermediate field. 另一方面若 $ \tau$ $ \in$ Gal(L1/K), 則很容易驗證 $ \sigma$o$ \tau$o$ \sigma^{-1}_{}$ $ \in$ Gal(L2/K). 因此我們可利用 $ \sigma$ 定出一個 Gal(L1/K) 到 Gal(L2/K) 的 group isomorphism. 總而言之, 當 L1L2 是 isomorphic over K 時, L1/KL2/K 的 intermediate fields 之間有一個一對一的對應關係, 而且它們的 Galois groups, Gal(L1/K) 和 Gal(L2/K) 是 isomorphic. 因此當我們要探討 f (x) $ \in$ K[x] over K 的 splitting field 其 Galois group 和 intermediate fields 的關係時, Proposition 3.1.8 告訴我們其實不必擔心是否會因所選的 splitting filed 不同而造成不同的結論.


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Li 2006-05-18