Normal Extension

在這一節中我們要介紹 normal extension. 我們會了解 normal extension 和 splitting field 的關係, 進而幫助我們探討其 Galois group.

在 Proposition 2.1.3 中我們知道若 L = K($\alpha$) 是一個 finite simple extension, 要達到 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$ = [L : K] 就必須要求 $\alpha$ 的 over K minimal polynomial 的所有的根都落在 L 中. 所以我們有以下之定義:

Definition 3.2.1   假設 L/K 是一個 finite extension. 若所有在 L 中的元素其 over K 的 minimal polynomial 皆 splits over L, 則稱 L/K 是一個 normal extension.

要注意, 一般的書中大都定義: L/K 是 normal extension, 表示若 p(x) 是 K[x] 中的 irreducible polynomial 且 p(x) 在 L 中有根, 則 p(x) 在 L 中可完全分解. 其實這樣的定義和我們這裡的定義是一樣的. 因為不難看出 K[x] 中的 irreducible polynomial p(x) 若在 L 中有一根 a, 則 a over K 的 minimal polynomial 和 p(x) 祇差個常數倍而已 (因為 minimal polynomial 需要求是 monic polynomial), 因此只要有一個可完全分解, 另一個也可完全分解. 我們不用這種定義是因為常常有同學忘了 irreducible 的條件誤以為 L/K 是 normal extension 表示若 f (x) $\in$ K[x] 在 L 有根, 則 f (x) splits over L. 也有的同學忘了要先在 L 中有根的先決條件, 而誤以為 L/K 是 normal extension 表示所有 K[x] 的 irreducible polynomial 皆 splits over K. 而我們的定義就不會有這種困擾.

要檢查一個 field extension L/K 是否為 normal extension, 依定義需要檢查所有 L 的元素, 不過以下的結果告訴我們只要檢查有限多個就可以了.

Theorem 3.2.2   假設 L/K 是一個 field extension. 下列敘述是等價的.

1. L/K 是一個 finite normal extension.

2. L = K(a₁,..., a_n) 其中這些 a_i over K 的 minimal polynomial 皆 splits over L.

3. 存在 f (x) $\in$ K[x] 使得 L 是 f (x) over K 的 splitting field.

証 明. (1) $\Rightarrow$ (2): 利用 Proposition 1.3.4, 由 L/K 是 finite extension 的假設知存在 a₁,..., a_n $\in$ L 且 a_i 皆 algebraic over K 使得 L = K(a₁,..., a_n). 假設 p_i(x) $\in$ K[x] 是 a_i over K 的 minimal polynomial, 由 L/K 是 normal extension 的假設知 p_i(x) splits over L.

(2) $\Rightarrow$ (3): 假設 L = K(a₁,..., a_n) 其中這些 a_i over K 的 minimal polynomial p_i(x) 皆 splits over L. 現令 f (x) = p₁(x) ^... p_n(x), 我們知 f (x) splits over L. 我們要說明 L 事實上是 f (x) over K 的 splitting field. 假設 K $\subseteq$ F $\subseteq$ L, 且 F 是 f (x) over K 的 splitting field. 由於對所有 i $\in$ {1,..., n}, a_i 皆為 f (x) 的根, 故有 a_i $\in$ F. 因此 L = K(a₁,..., a_n) $\subseteq$ F, 故得 L = F.

(3) $\Rightarrow$ (1): 若 f (x) $\in$ K[x] 且 L 是 f (x) over K 的 splitting field, 則我們可以直接假設 L = K(a₁,..., a_n), 其中 a₁,..., a_n $\in$ L 是 f (x) 所有的根. 由 Proposition 1.3.4, 知 L/K 是 finite extension. 接著我們要證 L/K 是 normal extension. 若 $\alpha$ $\in$ L 且其 over K 的 minimal polynomial 為 p(x), 我們要證明 p(x) 所有的根皆在 L 中. 任取 $\beta$ 為 p(x) 的另一個根. 由於 p(x) 是 K[x] 中的 irreducible polynomial 且 $\alpha$,$\beta$ 為其根, 我們知存在一個 K-isomorphism $\phi$ : K($\alpha$)$\to$K($\beta$). 由於 f (x) $\in$ K[x], 故有 f (x) $\in$ K($\alpha$)[x]. 再加上 $\phi$ 固定 K 中元素, 我們得 f^$\phi$(x) = f (x). 現在將 f (x) 考慮成 K($\alpha$)[x] 中的多項式, 我們知 K($\alpha$)(a₁,..., a_m) 是 f (x) over K($\alpha$) 的 splitting field. 另一方面將 f^$\phi$(x) = f (x) 考慮成 K($\beta$)[x] 中的多項式, 我們知 K($\beta$)(a₁,..., a_m) 是 f^$\phi$(x) over K($\beta$) 的 splitting field. 由於 K($\alpha$)(a₁,..., a_m) = K(a₁,..., a_m)($\alpha$) = L($\alpha$) 以及 $\alpha$ $\in$ L, 可知 K($\alpha$)(a₁,..., a_m) = L. 另一方面我們有 K($\beta$)(a₁,..., a_m) = K(a₁,..., a_m)($\beta$) = L($\beta$). 重新整理後的結果是: 我們有一個 isomorphism, $\phi$ : K($\alpha$)$\to$K($\beta$) 以及一個 polynomial f (x) $\in$ K($\alpha$)[x], 另外 L 和 L($\beta$) 分別是 f (x) 和 f^$\phi$(x) over K($\alpha$) 和 K($\beta$) 的 splitting fields. 所以直接套用 Corollary 3.1.7 知存在一個 isomorphism $\sigma$ : L$\to$L($\beta$) 滿足 $\sigma$|_K($\alpha$) = $\phi$. 由於 $\phi$ 將 K 的元素固定, 所以 $\sigma$ 也將 K 的元素固定. 也就是說 $\sigma$ 是 K-isomorphism, 亦即 L 和 L($\beta$) 是 isomorphic over K. 利用 Lemma 1.2.2 知 [L : K] = [L($\beta$) : K], 故由 [L($\beta$) : K] = [L($\beta$) : L][L : K] 得 [L($\beta$) : L] = 1. 也就是說 L($\beta$) = L, 亦即 $\beta$ $\in$ L. 我們證得所有 p(x) 的根必都在 L 中, 也就是說 p(x) splits over L, 故由定義知 L/K 是一個 normal extension. $\qedsymbol$

談 extension 最常關心的是: 假設 L/K 是一個 filed extension 且 F 是 L/K 的 intermediate field. 那麼 L/K 的某些性質是否 L/F 或 F/K 會保持. 例如若 L/K 是 algebraic extension, 那麼 L/F 和 F/K 也是 algebraic extension. 另外在 Lemma 1.2.3 中我們也知 finite extension 的性質也會保持. 那麼 normal extension 的性質呢? 我們有以下的答案.

Corollary 3.2.3   假設 L/K 是一個 finite extension 且 F 是 L/K 的 intermediate field. 若 L/K 是一個 normal extension, 則 L/F 也是一個 normal extension.

証 明. 由 Theorem 3.2.2 ( (1) $\Rightarrow$ (3)) 我們知存在 f (x) $\in$ K[x] 使得 L 是 f (x) over K 的 splitting field. 又因為 K $\subseteq$ F $\subseteq$ L, 將 f (x) 看成是 over F 的 polynomial, 知 L 仍為 f (x) over F 的 splitting field. 故再利用 Theorem 3.2.2 ( (3) $\Rightarrow$ (1)) 我們得 L/F 仍為一個 normal extension. $\qedsymbol$

要注意由 Corollary 3.2.3 的條件我們並不保證 F/K 是 normal extension. 另一方面 Corollary 3.2.3 反過來也未必正確, 也就是說若已知 L/F 是 normal extension, 也無法保證 L/K 是 normal extension. 甚至即使已知 L/F 和 F/K 是 normal extension, 也無法保證 L/K 是 normal extension. 以下就是一些例子.

Example 3.2.4 (1)   我們考慮 x³ - 2 over $\mathbb {Q}$ 的 splitting field. 令 $\omega$ = (- 1 + $\sqrt{3}$ i)/2 為 1 的 3 次方根. 則 x³ - 2 在 $\mathbb {C}$ 上的 3 個根分別為 $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{2}$ $\omega$ 以及 $\sqrt[3]{2}$ $\omega^{2}_{}$. 因此 L = $\mathbb {Q}$($\sqrt[3]{2}$,$\sqrt[3]{2}$ $\omega$,$\sqrt[3]{2}$ $\omega^{2}_{}$) = $\mathbb {Q}$($\sqrt[3]{2}$,$\omega$) 為 x³ - 2 over $\mathbb {Q}$ 的 splitting field. 當然得 L/$\mathbb {Q}$ 是 normal extension. 若令 F = $\mathbb {Q}$($\sqrt[3]{2}$), 由於 L = F($\omega$) 仍是 x³ - 2 over F 的 splitting field, 所以 L/F 也是 normal extension. 然而 $\sqrt[3]{2}$ $\in$ F over $\mathbb {Q}$ 的 minimal polynomial 為 x³ - 2, 但是 x³ - 2 在 F 中並未完全分解, 故知 F/$\mathbb {Q}$ 並不是 normal extension.

(2) 若令 F = $\mathbb {Q}$($\sqrt{2}$), 則 F 是 x² - 2 over $\mathbb {Q}$ 的 splitting field, 所以 F/$\mathbb {Q}$ 是 normal extension. 若又令 L = F($\sqrt[4]{2}$), 則 L 是 x² - $\sqrt{2}$ over F = $\mathbb {Q}$($\sqrt{2}$) 的 splitting field, 所以 L/F 是 normal extension. 雖然 L/F 和 F/$\mathbb {Q}$ 都是 normal extensions, 不過 L/$\mathbb {Q}$ 並不是 normal extension. 這是因為 $\sqrt[4]{2}$ $\in$ L 且 x⁴ - 2 是 $\sqrt[4]{2}$ over $\mathbb {Q}$ 的 minimal polynomial, 但是 L = $\mathbb {Q}$($\sqrt[4]{2}$) 的元素皆為實數, 明顯的 x⁴ - 2 其他的虛根 ±$\sqrt[4]{2}$ i 並不在 L 中. 也就是說 x⁴ - 2 並不 splits over L, 所以 L/$\mathbb {Q}$ 不是 normal extension.

當 L/K 是一個 finite extension 時 Gal(L/K) 只探討 L 到 L 的 K-isomorphisms. 其實為了考慮更一般的狀況我們也關心 L 到更大的 fields 的情況. 當然了從一個 field 到另一個 field 的 ring homomorphism, 除了是 0 mapping 的狀況外其他皆為 1-1 (參見大學基礎代數講義 Proposition 9.1.5), 所以我們只要考慮 1-1 的 homomorphism.

Definition 3.2.5   假設 L, M, 和 K 皆為 fields 其中 K $\subseteq$ L 且 K $\subseteq$ M. 若 $\phi$ : L$\to$M 是 1-1 ring homomorphism 且對所有 k $\in$ K 皆有 $\phi$(k) = k, 則稱 $\phi$ 是一個 L 到 M 的 K-monomorphism. 為了方便起見, 我們將所有從 L 到 M 的 K-monomorphisms 所成的集合用 $\mathfrak{M}_K(L, M)$ 來表示.

我們要說明一下, 在這裡我們談論的 L 到 M 的 K-monomorphism, 都會只考慮 L $\subseteq$ M 的情況. 主要原因是我們希望 K-monomorphism 的像 (image) 和 L 仍有關係. 這裡有關係指的是元素之間仍可互相運算. 要達到這目的當然就需要 K-monomorphism 的像和 L 都落在某一個更大的 field 中. 由於擴大一個函數的對應域並沒有改變原來的函數, 所以 為了方便起見就直接假設對應域包含 L.

當 L/K 是 finite normal extension 時, 下一個定理告訴我們一個從 L 到一個比 L 大的 field 的 K-monomorphism 它的 image 一定在 L 中. 也就是說在這情況下只考慮 Gal(L/K) 就足夠了.

Lemma 3.2.6   假設 L/K 是一個 finite normal extension, 且 M 是一個 field 滿足 L $\subseteq$ M. 若 $\phi$ : L$\to$M 是一個 K-monomorphism, 則 $\phi$ 是 L 的 K-automorphism. 亦即 $\mathfrak{M}_K(L,M)=\mathrm{Gal}(L/K)$.

証 明. 首先我們證明對任意 $\alpha$ $\in$ L 皆有 $\phi$($\alpha$) $\in$ L. 假設 $\alpha$ $\in$ L 且 p(x) $\in$ K[x] 是其 over K 的 minimal polynomial. 由於 L/K 是 normal extension 知 p(x) 在 L 中完全分解. 假設 p(x) = (x - $\alpha$)(x - $\alpha_{2}^{}$) ^... (x - $\alpha_{n}^{}$), 其中 $\alpha_{i}^{}$ $\in$ L, 由於 L $\subseteq$ M, 這也是 p(x) 在 M[x] 中的分解. 另一方面 $\phi$ 是 K-monomorphism, 故 $\phi$($\alpha$) 必為 p(x) 在 M 中的一個根. 也就是說 x - $\phi$($\alpha$) 在 M[x] 中必整除 p(x). 由於 M[x] 是一個 unique factorization domain (利用 M 是一個 field 以及大學基礎代數講義Theorem 7.2.14), 我們知 $\phi$($\alpha$) $\in$ {$\alpha$,$\alpha_{2}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$}. 因此得證 $\phi$($\alpha$) $\in$ L. 故知 $\phi$ 是 L 的 K-automorphism.

前面是證得若 $\phi$ $\in$ $\mathfrak{M}_K(L, M)$, 則 $\phi$ $\in$ Gal(L/K), 也就是說 $\mathfrak{M}_K(L,M)\subseteq\mathrm{Gal}(L/K)$. 但由於 L $\subseteq$ M, 若 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 表示 $\sigma$ 是 L 到 L 的 K-monomorphism 當然也就是 L 到 M 的 K-monomorphism. 因此有 Gal(L/K) $\subseteq$ $\mathfrak{M}_K(L, M)$, 故得 $\mathfrak{M}_K(L,M)=\mathrm{Gal}(L/K)$. $\qedsymbol$

既然一個 finite normal extension 是一個 polynomial 的 splitting field, 我們可以利用 The Fundamental Theorem for Splitting Field (Theorem 3.1.6) 得到以下有關 normal extension 重要的結果.

Theorem 3.2.7   假設 L/K 是一個 finite normal extension, F 是 L/K 的一個 intermediate field 且 M 是一個 field 滿足 L $\subseteq$ M. 若 $\tau$ : F$\to$M 是一個 K-monomorphism, 則存在 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 滿足 $\sigma$|_F = $\tau$.

証 明. 因 L/K 是一個 finite normal extension, 故存在 f (x) $\in$ K[x] 使得 L 是 f (x) over K 的 splitting field. 因 K $\subseteq$ F $\subseteq$ L, 故若考慮 f (x) $\in$ F[x], 則 L 仍為 f (x) over F 的 splitting field. 又因為 $\tau$ 將 K 的元素固定, 所以 f^$\tau$(x) = f (x) 且 f^$\tau$(x) splits over M (因 L $\subseteq$ M). 因此將 $\tau$ : F$\to$$\tau$(F) 這一個 isomorphism 套用到 Theorem 3.1.6, 我們知存在 $\sigma$ : L$\to$M 是一個 monomorphism 使得 $\sigma$|_F = $\tau$. 又因為 $\tau$ 固定 K 的元素, 所以 $\sigma$ 是一個 K-monomorphism, 因此由 Lemma 3.2.6 知 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K). 得證本定理. $\qedsymbol$

當 L/K 不是 normal extension 時, 有可能一個 K-monomorphism 會將 L 的元素送到 L 以外的元素. 不過我們仍能控制其 image 的範圍. 首先介紹以下之定義.

Definition 3.2.8   假設 L/K 是一個 field extension 且 N 是一個 field 滿足:

1. L $\subseteq$ N 且 N/K 是一個 normal extension.
2. 若 M 是一個 intermediate field of N/L 且 M/K 是一個 normal extension, 則 M = N.

則稱 N 是 L/K 的一個 normal closure.

簡單來說 N 是 L/K 的 normal closure 表示 N 是包含 L 的 field 中使得 N/K 是 normal extension 的最小的 field. 當然了, 如果 L/K 已是 normal extension, 那麼 L 本身自然是 L/K 的 normal closure.

我們自然會問 normal closure 的存在性及唯一性.

Proposition 3.2.9   若 L/K 是一個 finite extension, 則 L/K 的 normal closure 必存在, 而且也是一個 finite extension over K. 若 N 和 N' 皆為 L/K 的 normal closure, 則 N 和 N' 是 isomorphic over K.

証 明. 因 L/K 是 finite extension 由 Proposition 1.3.4 知存在 a₁,..., a_n $\in$ L 且 a_i 皆 algebraic over K 使得 L = K(a₁,..., a_n). 令 p_i(x) $\in$ K[x] 為 a_i over K 的 minimal polynomial 且令 f (x) = p₁(x) ^... p_n(x). 若令 N 為 f (x) over L 的 splitting field, 則 N/K 是 finite normal extension. 現在只需驗證 N/K 是包含 L 最小的 normal extension. 若 L $\subseteq$ M $\subseteq$ N 且 M/K 是 normal extension. 由於 a_i $\in$ M, 故由 M/K 是 normal extension 得 p_i(x) splits over M, 也因此 f (x) splits over M. 但由於 N 已是 f (x) over K 的 splitting field 且 M $\subseteq$ N, 故得 M = N.

前面已證明若 N 是 f (x) over K 的 splitting field, 則 N 是 L/K 的 normal closure. 事實上反過來也是對的, 也就是說: 若 N 是 L/K 的 normal closure, 則 N 是 f (x) over K 的 splitting field. 這是因為若 N 是 L/K 的 normal closure, 由於 a_i $\in$ L $\subseteq$ N 且 N/K 是 normal extension 得 p_i(x) splits over N, 因此 f (x) splits over N, 所以若 L $\subseteq$ M $\subseteq$ N, 且 M 是 f (x) over K 的 splitting field, 則由 Theorem 3.2.2 知 M/K 是一個 normal extension, 故由 N 是 L/K 的 normal closure 之假設得 N = M.

現假設 N 和 N' 都是 L/K 的 normal closure. 由於 N 和 N' 都是 f (x) over K 的 splitting field, 故利用 Proposition 3.1.8 知 N 和 N' 是 isomorphic over K. $\qedsymbol$

再次強調 L/K 的 normal closure 並不唯一. 當然了如果 N 和 N' 都是 L/K 的 normal closure 且都包含於同一個 field, 那麼和 splitting field 的情形一樣, 可得 N = N' (否則會有一個多項式在一個 field 中其根的個數大於其次數的矛盾發生).

接下來我們回到探討 K-monomorphism 的 image. 假設 L/K 是一個 finite extension, $\phi$ : L$\to$M 是一個 K-monomorphism, 其中 L $\subseteq$ M. 由於 M 只是 $\phi$ 的對應域, 我們可以將 M 儘量擴大以方便討論 (這樣並沒有改變原來 $\phi$ 的 image). 由於假設 L $\subseteq$ M, 不失一般性我們可以將 M 擴大到是 M/K 的一個 normal closure M', 擴大後的 M' 因為仍包含 L 且 M'/K 是 normal extension, 由 normal closure 的定義知 M' 會包含 L/K 的某個 normal closure (因為 L/K 的 normal closure 是包含 L 最小的 normal extension). 因此不失一般性我們可假設 $\phi$ 的對應域包含某個 L/K 的 normal closure.

Proposition 3.2.10   假設 L/K 是一個 finite extension 且 $\phi$ : L$\to$M 是一個 K-monomorphism. 如果 M 包含 L/K 的某個 normal closure N, 則 $\phi$ 的 image 包含於 N, 亦即 $\phi$ : L$\to$N.

証 明. 由於 L $\subseteq$ N $\subseteq$ M, 且 N/K 是一個 finite normal extension. 將 L 視為是 N/K 的一個 intermediate field, 套用 Theorem 3.2.7, 知存在 $\sigma$ $\in$ Gal(N/K) 滿足 $\sigma$|_L = $\phi$. 由於 $\sigma$ 是 N 到 N 的函數, 所以 $\phi$ = $\sigma$|_L 是一個 L 到 N 的函數. 故得證本定理. $\qedsymbol$

前面提到過不會有兩個不同的 L/K 的 normal closures 同時包含於一個 field. 因此在 Proposition 3.2.10 中的 N 會是唯一包含於 M 的 L/K 的 normal closure. 因此我們有以下之結果.

Corollary 3.2.11   假設 L/K 是一個 finite extension 且 M 是一個包含 L 的 field. 如果 M 包含 L/K 的某個 normal closure N, 則 $\mathfrak{M}_K(L,M)=\mathfrak{M}_K(L,N)$.

証 明. 若 $\psi$ $\in$ $\mathfrak{M}_K(L,N)$, 表示 $\psi$ 是一個 L 到 N 的 K-monomorphism, 由於 N $\subseteq$ M, 故得 $\psi$ 也是一個 L 到 M 的 K-monomorphism, 也就是說 $\psi$ $\in$ $\mathfrak{M}_K(L, M)$. 另一方面若 $\phi$ $\in$ $\mathfrak{M}_K(L, M)$, 則 Proposition 3.2.10 告訴我們 $\phi$ $\in$ $\mathfrak{M}_K(L,N)$. 故得 $\mathfrak{M}_K(L,M)=\mathfrak{M}_K(L,N)$. $\qedsymbol$

Corollary 3.2.11 告訴我們當擴大對應域 M 到包含 L/K 的某個 normal closure 後, 所有 L 到 M 的 K-monomorphisms 所成的集合 $\mathfrak{M}_K(L, M)$ 就不會再增加了. 因此我們只要考慮適當大的對應域就可以涵蓋所有情況了. 當然了最經濟的取法就是選定對應域是 L/K 的 normal closure. 不過由於以後我們要討論的 K-monomorphism 的定義域會在 L/K 的 intermediate fields 之間換來換去, 為了不必因為定義域的不同將對應域換來換去, 我們會將對應域固定為 N, 其中 L $\subseteq$ N 且 N/K 是 finite normal extension. 這樣一來不但有其方便性而且由 Corollary 3.2.11 知並沒有改變這些 K-monomorphisms 所成的集合.

從 Proposition 2.3.3 我們知道當 L/K 是 finite extension 時, 所有 L 到 L 的 K-monomorphisms (即 Gal(L/K)) 的個數小於或等於 [L : K]. 現若 M 是一個包含 L 的 field, 那麼所有 L 到 M 的 K-monomorphism 的個數和 [L : K] 會有什麼關係呢? 很明顯的由於對應域較大, L 到 M 的 K-monomorphisms 的個數有可能多於 L 到 L 的 K-monomorphisms 的個數, 所以我們無法直接知道其個數是否仍會小於或等於 [L : K].

當初要探討 Gal(L/K) 和 [L : K] 的關係時我們曾提過可以用 induction 來處理. 不過那時因為是討論 L 到 L 的 automorphism, 用歸納法比較不容易討論. 現在我們把對應域擴大了討論起來就方便多了, 我們主要是需要以下之 Lemma.

Lemma 3.2.12   假設 L/K 是一個 finite extension, F 是一個 L/K 的 intermediate field 且 N 是一個 L 的 extension 滿足 N/K 是 finite normal extension. 則 $\mathfrak{M}_K(L,N)$, $\mathfrak{M}_F(L,N)$ 和 $\mathfrak{M}_K(F,N)$ 都是 finite sets 且

$$\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right.$$$$\mathfrak{M}_K(L,N)$$$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right\vert$$ = $$\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right.$$$$\mathfrak{M}_F(L,N)$$$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right\vert$$$$\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right.$$$$\mathfrak{M}_K(F,N)$$$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right\vert$$.

証 明. 首先注意我們有 K $\subseteq$ F $\subseteq$ L $\subseteq$ N 這樣的關係. 由於 N/K 是一個 finite normal extension 且 L 是 N/K 的一個 intermediate field, 利用 Theorem 3.2.7 知每一個 L 到 N 的 K-monomorphism (即 $\mathfrak{M}_K(L,N)$ 的元素) 都可 extends 成為 Gal(N/K) 的元素, 因此得 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right.$$\mathfrak{M}_K(L,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right\vert$$\le$$\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(N/K)}\right.$Gal(N/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(N/K)}\right\vert$$\le$[N : K]. 故知 $\mathfrak{M}_K(L,N)$ 是一個 finite set. 同理可得 $\mathfrak{M}_K(F,N)$ 也是 finite set. 另外由於 K $\subseteq$ F 所以一個 L 到 N 的 F-monomorphism 也是一個 L 到 N 的 K-monomorphism, 故知 $\mathfrak{M}_F(L,N)$ 是 $\mathfrak{M}_K(L,N)$ 的 subset, 因此 $\mathfrak{M}_F(L,N)$ 也是一個 finite set.

假設 $\mathfrak{M}_F(L,N)=\{\rho_1,\dots,\rho_s\}$ 而 $\mathfrak{M}_K(F,N)=\{\psi_1,\dots,\psi_t\}$, 亦即 $\rho_{i}^{}$ : L$\to$N 是 F-monomorphism 且 $\psi_{j}^{}$ : F$\to$N 是 K-monomorphism. 由於 N/K 是一個 finite normal extension 且 F 是 N/K 的一個 intermediate field, 利用 Theorem 3.2.7 每一個 K-monomorphism $\psi_{j}^{}$ : F$\to$N 都可以 extends 成一個 K-monomorphism $\phi_{j}^{}$ : N$\to$N (即 $\phi_{j}^{}$|_F = $\psi_{j}^{}$). 考慮 $\phi_{j}^{}$o$\rho_{i}^{}$ : L$\to$N, 我們要驗證它是一個 K-monomorphism. 事實上由於 K $\subseteq$ F 且 $\rho_{i}^{}$ 是 F-monomorphism, 所以 $\rho_{i}^{}$ 當然也是 K-monomorphism, 再加上 $\phi_{j}^{}$ 是 K-monomorphism, 因此對任意的 k $\in$ K 皆有 $\phi_{j}^{}$o$\rho_{i}^{}$(k) = $\phi_{j}^{}$($\rho_{i}^{}$(k)) = $\phi_{j}^{}$(k) = k. 故知對任意 i $\in$ {1,..., s} 以及 j $\in$ {1,..., t}, $\phi_{j}^{}$o$\rho_{i}^{}$ 都是 L 到 N 的 K-monomorphism.

接著我們要說明對任意 K-monomorphism $\sigma$ : L$\to$N, 皆可以找到 i $\in$ {1,..., s} 以及 j $\in$ {1,..., t} 使得 $\sigma$ = $\phi_{j}^{}$o$\rho_{i}^{}$. 由於 $\sigma$|_F : F$\to$N 是一個 K-monomorphism, 故利用 $\mathfrak{M}_K(F,N)$ 是所有 F 到 N 的 K-monomorphism 所成的集合知存在 j $\in$ {1,..., t} 使得 $\psi_{j}^{}$ = $\sigma$|_F. 現考慮 $\phi_{j}^{-1}$o$\sigma$ : L$\to$N, 由於對任意 $\lambda$ $\in$ F, 皆有 $\sigma$($\lambda$) = $\psi_{j}^{}$($\lambda$) = $\phi_{j}^{}$($\lambda$) (別忘了 $\phi_{j}^{}$|_F = $\psi_{j}^{}$). 故知 $\phi_{j}^{-1}$o$\sigma$($\lambda$) = $\lambda$, 因此 $\phi_{j}^{-1}$o$\sigma$ 是一個 L 到 N 的 F-monomorphism. 故利用 $\mathfrak{M}_F(L,N)$ 是所有 L 到 N 的 F-monomorphism 所成的集合知存在 i $\in$ {1,..., s} 使得 $\rho_{i}^{}$ = $\phi_{j}^{-1}$o$\sigma$. 換言之 $\sigma$ = $\phi_{j}^{}$o$\rho_{i}^{}$.

我們已證得 $\mathfrak{M}_K(L,N)=\{\phi_j\circ\rho_i\,\vert\,i=1,\dots,s\,\mbox{ 且 } j=1,\dots,t\}.$ 要說明 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right.$$\mathfrak{M}_K(L,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right\vert$ = st = $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right.$$\mathfrak{M}_F(L,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right\vert$$\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right.$$\mathfrak{M}_K(F,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right\vert$, 我們還需驗證這些 $\phi_{j}^{}$o$\rho_{i}^{}$ 皆相異. 也就是說還要驗證: 若 i, i' $\in$ {1,..., s}, j, j' $\in$ {1,..., t} 且 $\phi_{j}^{}$o$\rho_{i}^{}$ = $\phi_{j'}^{}$o$\rho_{i'}^{}$, 則 i = i' 且 j = j'. 對任意 $\lambda$ $\in$ F, 由於 $\rho_{i}^{}$,$\rho_{i'}^{}$ 是 F-monomorphisms, 我們得

$$\phi_{j}^{}$$o$$\rho_{i}^{}$$($$\lambda$$) = $$\phi_{j}^{}$$($$\lambda$$)    and    $$\phi_{j'}^{}$$o$$\rho_{i'}^{}$$($$\lambda$$) = $$\phi_{j'}^{}$$($$\lambda$$).

故由 $\phi_{j}^{}$o$\rho_{i}^{}$ = $\phi_{j'}^{}$o$\rho_{i'}^{}$ 的假設知對任意 $\lambda$ $\in$ F 皆有 $\phi_{j}^{}$($\lambda$) = $\phi_{j'}^{}$($\lambda$). 換言之

$$\psi_{j}^{}$$ = $$\phi_{j}^{}$$|_F = $$\phi_{j'}^{}$$|_F = $$\psi_{j'}^{}$$,

故得 j = j', 也因此知 $\phi_{j}^{}$ = $\phi_{j'}^{}$. 再由 $\phi_{j}^{}$ = $\phi_{j'}^{}$ 以及 $\phi_{j}^{}$o$\rho_{i}^{}$ = $\phi_{j'}^{}$o$\rho_{i'}^{}$ 知

$$\rho_{i}^{}$$ = $$\phi_{j}^{-1}$$o($$\phi_{j}^{}$$o$$\rho_{i}^{}$$) = $$\phi_{j'}^{-1}$$o($$\phi_{j'}^{}$$o$$\rho_{i'}^{}$$) = $$\rho_{i'}^{}$$,

故得證 i = i'. $\qedsymbol$

接下來我們可以用 induction 來處理 monomorphism 的個數和 extension degree 的關係.

Proposition 3.2.13   假設 L/K 是一個 finite extension 且 N 是一個 L 的 extension 滿足 N/K 是 finite normal extension. 則 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right.$$\mathfrak{M}_K(L,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right\vert$$\le$[L : K].

証 明. 我們對 [L : K] 作 induction 證明: 假設 [L : K] = 1, 即 L = K, 此時所有 L 到 N 的 K-monomorphism 事實上就是 L 到 L 的 identity, 所以只有一個. 假設對所有 extension degree 小於 n 的 field extension 都成立. 現考慮 [L : K] = n > 1 的情形. 任取 $\alpha$ $\in$ L 但 $\alpha$ $\not\in$K. 令 F = K($\alpha$), 此時我們有 [F : K] > 1 故知 [L : F] < n. 假設 p(x) $\in$ K[x] 是 $\alpha$ over K 的 minimal polynomial. 由於 F = K($\alpha$) 是一個 simple extension over K, 每一個 K-monomorphism $\psi$ : F$\to$N 可由 $\psi$($\alpha$) 的取值唯一確定. 不過 $\psi$($\alpha$) $\in$ N 必為 p(x) 在 N 的一個根, 故由 p(x) 在 N 的根的個數小於等於 deg(p(x)) = [F : K] 知 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right.$$\mathfrak{M}_K(F,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right\vert$$\le$[F : K]. 另一方面由於 K $\subseteq$ F $\subseteq$ L $\subseteq$ N 且 N/K 是一個 normal extension, 所以利用 Corollary 3.2.3 知 N/F 仍為 finite normal extension. 因此我們現在有一個 finite extension L/F 且 N 是一個 L 的 extension 滿足 N/F 是 finite normal extension. 又因為 [L : F] < n 故套用 induction 的假設知 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right.$$\mathfrak{M}_F(L,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right\vert$$\le$[L : F]. 因此由 Lemma 3.2.12 知

$$\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right.$$$$\mathfrak{M}_K(L,N)$$$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right\vert$$ = $$\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right.$$$$\mathfrak{M}_F(L,N)$$$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right\vert$$$$\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right.$$$$\mathfrak{M}_K(F,N)$$$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right\vert$$$$\le$$[L : F][F : K] = [L : K].

$\qedsymbol$

最後我們強調 Proposition 3.2.13 我們無法得到所有 L 到 N 的 K-monomorphisms 的個數等於 [L : K] 的主要原因是我們在考慮 F = K($\alpha$) 到 N 的 K-monomorphism 時, 雖然 $\alpha$ over K 的 minimal polynomial p(x) 在 N 中可以完全分解 (因 N/K 是 normal extension), 不過由於 p(x) 可能有重根, 所以 p(x) 在 N 中根的個數仍有可能少於 deg(p(x)) = [F : K]. 因此所有 F 到 N 的 K-monomorphisms 其個數仍有可能少於 [F : K], 導致無法利用 induction 證得所有 L 到 N 的 K-monomorphisms 個數等於 [L : K]. 底下我們就是要探討 separable extension 的概念以幫助我們處理這個情況.