Separable Polynomial

簡單來說一個 separable polynomial 是一個沒有重根的多項式. 由於要談一個多項式有沒有重根牽涉到一個多項式的分解, 所以在這一節中我們先簡單的複習一些多項式分解的相關性質, 再探討有關 separable polynomial 的性質.

假設 K 是一個 field, 則 K[x] 這一個 polynomial ring 是一個 principle ideal domain (參見大學基礎代數講義Theorem 7.2.6), 因此也是一個 unique factorization domain (參見大學基礎代數講義Theorem 7.2.14). 簡單來說就是每一個 K[x] 中的非常數多項式都可以寫成一些 irreducible polynomials 的乘積. 在 unique factorization domain 中任兩個元素的 gcd (greatest common divisor) 是存在的. 事實上假設 f (x), g(x) $\in$ K[x] 且 f (x) 和 g(x) 的質因式分解分別為

f (x) = cp₁(x)^{m₁ ...} p_r(x)^m_r    and    g(x) = c'p₁(x)^{n₁ ...} p_r(x)^n_r,

其中 c, c' $\in$ K 且 p_i(x) 是 K[x] 中的 irreducible polynomial. 若令 d_i = min{m_i, n_i} 則 p₁(x)^{d₁ ...} p_r(x)^d_r 就是 f (x) 和 g(x) 的 gcd. 另一個大家熟悉求 gcd 的方法就是用輾轉相除法. 事實上 K[x] 是一個 principle ideal domain, 輾轉相除法可以幫助我們找到 ideal 的 generator. 也就是說 f (x) 和 g(x) 的 gcd 就是 (f (x), g(x)) 這個 ideal (即由 f (x) 和 g(x) 產生的 ideal) 的 generator. 因此 d (x) 是 f (x) 和 g(x) 的 gcd 若且唯若 (d (x)) = (f (x), g(x)). 故知存在 m(x), n(x) $\in$ K[x] 使得 d (x) = m(x)f (x) + n(x)g(x). 由於兩個多項式的 gcd 並不是唯一的, 會差個常數倍 (參見大學基礎代數講義Lemma 8.1.6), 因此為了方便起見, 在這裡我們要求取的 gcd 一定要 monic (即最高次項係數為1), 如此一來就唯一了. 我們將 f (x) 和 g(x) 之 gcd 用 gcd(f (x), g(x)) 表示. 特別當 gcd(f (x), g(x)) = 1 時, 我們稱 f (x) 和 g(x) 是互質 (relatively prime).

假設 L/K 是一個 field extension 且 f (x), g(x) $\in$ K[x]. 此時我們可以將 f (x) 和 g(x) 看成是 L[x] 中的元素. 從多項式的分解的角度來看在 K[x] 中分解和在 L[x] 中分解是不一樣的. 比方說 f (x) 在 K[x] 中有可能是 irreducible polynomial 但在 L[x] 中就不是. 因此我們會問是否 f (x) 和 g(x) 在 K[x] 中的 gcd 和在 L[x] 中的 gcd 會不一樣? 其實它們是一樣的, 理由如下: 假設 f (x) 和 g(x) 在 K[x] 和在 L[x] 的 gcd 分別為 d_K(x) 和 d_L(x). 由於 K[x] $\subseteq$ L[x], 所以 d_K(x) $\in$ L[x] 且在 L[x] 中整除 f (x) 以及 g(x). 因此依 d_L(x) 是 f (x) 和 g(x) 在 L[x] 的 gcd 知 d_K(x) 在 L[x] 中整除 d_L(x). 另一方面由於存在 m(x), n(x) $\in$ K[x] 滿足 m(x)f (x) + n(x)g(x) = d_K(x), 又 d_L(x) 在 L[x] 中整除 f (x) 以及 g(x), 因此知 d_L(x) 在 L[x] 中整除 d_K(x). 也就是說在 L[x] 中 d_L(x) | d_K(x) 且 d_K(x) | d_L(x), 所以利用 d_K(x) 和 d_L(x) 都是 monic polynomials 的假設知 d_K(x) = d_L(x). 因此以後我們用 gcd (f (x), g(x)) 這個符號時不必擔心是 f (x) 和 g(x) 在 K[x] 中或是在 L[x] 中的 gcd.

由上面討論得知, 要探討 f (x) 和 g(x) 在 K[x] 中是否互質和在 L[x] 中探討其實是一樣的. 因此當要驗證 f (x) 和 g(x) 是否互質時, 我們可以考慮夠大的 extension L/K, 使得 f (x) 和 g(x) 在 L 中可以完全分解. 這樣就很容易判斷 f (x) 和 g(x) 是否互質了.

Lemma 3.3.1   假設 L/K 是一個 field extension, f (x), g(x) $\in$ K[x] 且 f (x) 和 g(x) split over L. 則 gcd(f (x), g(x)) = 1 若且唯若 f (x) 和 g(x) 在 L 中沒有相同的根.

証 明. 從上面的討論中我們知到可以將 f (x) 和 g(x) 考慮成 L[x] 中的 polynomials.

假設 gcd(f (x), g(x)) = 1, 表示存在 m(x), n(x) $\in$ L[x] 使得 m(x)f (x) + n(x)g(x) = 1. 若 $\alpha$ $\in$ L 是 f (x) 和 g(x) 在 L 中相同的根, 則將 $\alpha$ 代入得 1 = m($\alpha$)f ($\alpha$) + n($\alpha$)g($\alpha$) = 0. 造成矛盾故知 f (x) 和 g(x) 在 L 中沒有相同的根.

另一方面, 假設f (x) 和 g(x) 在 L 中沒有相同的根. 首先將 f (x) 和 g(x) 在 L 中分別完全分解成

f (x) = a(x - a₁) ^... (x - a_m)    and    g(x) = b(x - b₁) ^... (x - b_n).

由於一次多項式一定是 irreducible, 所以利用唯一分解性質以及 {a₁,..., a_m} $\cap$ {b₁,..., b_n} = $\emptyset$ 的假設, 得知 f (x) 和 g(x) 是互質的. $\qedsymbol$

接下來我們要探討 separable polynomial 的性質.

Definition 3.3.2   假設 K 是一個 field, f (x) $\in$ K[x] 且 L 是 f (x) over K 的 splitting field. 如果 f (x) 在 L 中無重根, 則稱 f (x) 是一個 separable polynomial.

要注意雖然 f (x) over K 的 splitting field 並不唯一, 不過由於 splitting fields 之間是 K-isomorphic (Proposition 3.1.8) 所以 f (x) 是否有重根和 splitting field 的選取無關. 這是因為若 L₁ 和 L₂ 皆為 f (x) over K 的 splitting field, 則存在一個 K-isomorphism $\phi$ : L₁$\to$L₂. 假設 f (x) 在 L₁[x] 中完全分解成 f (x) = a(x - a₁) ^... (x - a_n), 則 f (x) 在 L₂[x] 可分解成 f (x) = f^$\phi$(x) = $\phi$(a)(x - $\phi$(a₁)) ^... (x - $\phi$(a_n)). 由於 $\phi$ 是 1-1, 可得 f (x) 在 L₁ 中無重根若且唯若在 L₂ 中無重根.

要判斷一個多項式有沒有重根, 大家都知道可以用微分來處理. 也就是如果 f (x) 和 f'(x) 沒有相同的根, 則 f (x) 不會有重根. 可惜的是當初微分的定義是用極限的概念, 在這裡我們談的是一般的 field, 元素間沒有距離的概念, 所以無法談極限. 因此我們要用純代數的方法處理. 這裡所用的處理方法其實和以後理論的推廣無關, 所以大家若能接受原本判別重根的方法在一般的 field 都對的話, 可以直接跳過這一段, 而從 Lemma 3.3.5 繼續研讀下去.

Definition 3.3.3   假設 K 是一個 field 且 f (x) = a_nxⁿ + ^... + a₂x² + a₁x + a₀ $\in$ K[x]. 我們定義 f (x) 的微分為 f'(x) = na_nx^{n - 1} + ^... + 2a₂x + a₁.

要注意這裡和微積分學的不同的是, 在微積分中我們是用極限定義微分, 再依定義推得 f'(x) 為何. 在這裡我們直接定義 f'(x) 為何, 所以大家熟悉(用極限推得)的微分性質並不一定成立. 我們必須驗證多項式在此定義之下微分的加法原理 (addition rule) 和乘法原理 (product rule) 是否成立.

Lemma 3.3.4   假設 K 是一個 field 且 f (x), g(x) $\in$ K[x]. 則

(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)    and    (f ^. g)'(x) = f'(x) ^. g(x) + f (x) ^. g'(x).

証 明. 假設 f (x) = a_nxⁿ + ^... + a₁x + a₀ 且 g(x) = b_nxⁿ + ^... + a₁x + a₀ (f (x) 和 g(x) 不一定次數相同, 不過我們不妨將它們寫成同次的形式, 只要將多餘項係數以 0 表示即可). 則 (f + g)(x) = (a_n + b_n)xⁿ + ^... + (a₁ + b₁)x + (a₀ + b₀). 故依定義知

(f + g)'(x) = n(a_n + b_n)x^{n - 1} + ^... + (a₁ + b₁)

= (na_nx^{n - 1} + ^... + a₁) + (nb_nx^{n - 1} + ^... + b₁)

= f'(x) + g'(x).

至於 product rule 我們可以用 induction 處理. 給定 g(x) = b_mx^m + ^... + b₁x + b₀, 我們對 deg(f (x)) = n 作 induction, 證明對任意 f (x) $\in$ K[x], (f ^. g)'(x) = f'(x) ^. g(x) + f (x) ^. g'(x). 若 deg(f (x)) = 0, 此時 f (x) = a $\in$ K, 故 (f ^. g)(x) = ab_mx^m + ^... + ab₁x + ab₀. 由於 f'(x) = 0, 因此得

(f ^. g)'(x) = mab_mx^{m - 1} + ^... + ab₁ = a(mb_mx^{m - 1} + ^... + b₁) = f'(x) ^. g(x) + f (x) ^. g'(x).

假設當 deg(f (x)) < n 時, (f ^. g)'(x) = f'(x) ^. g(x) + f (x) ^. g'(x). 現若 deg(f (x)) = n, 則將 f (x) 寫成 f (x) = a_nxⁿ + f₁(x), 其中 deg(f₁(x)) < n. 故有 (f ^. g)(x) = (a_nx^{n .} g(x)) + (f₁ ^. g)(x). 將 a_nx^{n .} g(x) 乘開取微分可得

(a_nx^{n .} g(x))' = na_nx^{n - 1 .} g(x) + a_nx^{n .} g'(x).

又因為 deg(f₁(x)) < n 利用 induction 的假設知

(f₁ ^. g)'(x) = f₁'(x) ^. g(x) + f₁(x) ^. g'(x).

因此套用前面已證得的 addition rule, 我們有

(f ^. g)'(x) = (a_nx^{n .} g(x))' + (f₁ ^. g)'(x)

= na_nx^{n - 1 .} g(x) + a_nx^{n .} g'(x) + f₁'(x) ^. g(x) + f₁(x) ^. g'(x)

= (na_nx^{n - 1} + f₁'(x)) ^. g(x) + (a_nxⁿ + f₁(x)) ^. g'(x)

= f'(x) ^. g(x) + f (x) ^. g'(x).

$\qedsymbol$

既然 product rule 成立我們就可以利用 product rule 得到我們熟悉的判斷一個多項式是否有重根的方法. 這裡我們仍選用比較代數的說法.

Lemma 3.3.5   假設 K 是一個 field 且 f (x) $\in$ K[x]. 則 f (x) 是一個 separable polynomial 若且唯若 gcd(f (x), f'(x)) = 1.

証 明. 假設 L/K 是一個 extension 使得 f (x) 和 f'(x) 皆 split over L. 利用 Lemma 3.3.1 我們只要探討 f (x) 和 f'(x) 在 L 中有沒有相同的根.

假設 f (x) 和 f'(x) 在 L 中有相同的根 $\alpha$ (即 gcd(f (x), f'(x))$\ne$1), 表示在 L[x] 中 f (x) = (x - $\alpha$) ^. g(x) 其中 g(x) $\in$ L[x]. 因此利用 product rule (Lemma 3.3.4) 得 f'(x) = g(x) + (x - $\alpha$) ^. g'(x). 但由於 f'($\alpha$) = 0, 代入得 g($\alpha$) = 0, 也就是 x - $\alpha$ 在 L[x] 中也整除 g(x). 故得 $\alpha$ 是 f (x) 的一個重根. 因此 f (x) 不是 separable polynomial.

反之, 如果 f (x) 不是 separable polynomial, 表示存在 $\alpha$ $\in$ L 以及 h(x) $\in$ L[x] 使得 f (x) = (x - $\alpha$)^{2 .} h(x). 因為 (x - $\alpha$)² = x² - 2$\alpha$x + $\alpha^{2}_{}$, 再次利用 product rule 得 f'(x) = 2(x - $\alpha$) ^. h(x) + (x - $\alpha$)^{2 .} h'(x). 因此知 $\alpha$ 也為 f'(x) 在 L 的一個根. 因此由 Lemma 3.3.1 知 gcd(f (x), f'(x))$\ne$1. $\qedsymbol$

前面提過, 以前大家熟悉的微分性質在一般的 field 並不一定是對的. 例如 f'(x) = 0 若且唯若 f (x) 是一個常數就不一定對. 事實上我們有以下之結果.

Lemma 3.3.6   假設 K 是一個 field 且 f (x) $\in$ K[x].

1. 假設 K 是一個 characteristic 為 0 的 field. 則 f'(x) = 0 若且唯若 f (x) = c 是一個常數.
2. 假設 K 是一個 characteristic 為 p 的 field. 則 f'(x) = 0 若且唯若存在一個 g(x) $\in$ K[x] 使得 f (x) = g(x^p).

証 明. 首先回顧一下一個 field K 的 characteristic 只有兩種情形: 當 characteristic 為 0 時表示, 若 a $\in$ K 且 a$\ne$ 0, 則對任意正整數 n, na 皆不為 0; 而 characteristic 為 p 時表示, 對任意 a $\in$ K, pa 皆為 0.

(1) 假設 K 的 characteristic 為 0 且 f (x) = a_nxⁿ + ^... + a₁x + a₀. 則 f'(x) = na_nx^{n - 1} + ^... + a₁. 如果 f'(x) = 0 表示 na_n,(n - 1)a_{n - 1},..., a₁ 皆為 0. 由 K 的 characteristic 為 0 的假設知 a_n,..., a₁ 皆為 0. 故 f (x) = a₀ 是一個常數. 反之, 如果 f (x) = c 是一個常數, 自然由定義知 f'(x) = 0.

(2) 假設 K 的 characteristic 為 p 且 f (x) = a_nxⁿ + ^... + a₁x + a₀, 其中 a_n$\ne$ 0. 則對於 i $\in$ {1,..., n}, f'(x) 的每一個 x^{i - 1} 項的係數為 ia_i. 因此若 f'(x) = 0 且 a_i$\ne$ 0, 則由 ia_i = 0 知 p | i. 也就是說只有在 i = pt, 其中 t 為非負整數時, f (x) 的 xⁱ 項的係數才可能不為 0. 特別因假設 a_n$\ne$ 0, 所以知 n = pm. 因此若令 b_t = a_pt 且 g(x) = b_mx^m + ^... + b₁x + b₀, 則

f (x) = $$\sum_{t=0}^{m}$$a_ptx^pt = $$\sum_{t=0}^{m}$$b_t(x^p)^t = g(x^p).

反之, 若 g(x) = b_mx^m + ^... + b₁x + b₀ $\in$ K[x] 且 f (x) = g(x^p), 則 f (x) = $\sum_{t=0}^{m}$b_t(x^p)^t = $\sum_{t=0}^{m}$b_tx^pt, 故得

f'(x) = $$\sum_{t=1}^{m}$$(pt)b_tx^{pt - 1} = $$\sum_{t=1}^{m}$$p(tb_t)x^{pt - 1} = 0.

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在下一節中我們要關心的是一個 irreducible polynomial 是否為 separable polynomial. 所以我們特別看一下 Lemma 3.3.5 特別在 f (x) 是 irreducible 時的情形.

Proposition 3.3.7   假設 K 是一個 field 且 f (x) $\in$ K[x] 是 K[x] 中的 irreducible polynomial.

1. 假設 K 是一個 characteristic 為 0 的 field. 則 f (x) 一定是一個 separable polynomial.
2. 假設 K 是一個 characteristic 為 p 的 field. 則 f (x) 不是 separable polynomial 若且唯若存在一個 g(x) $\in$ K[x] 使得 f (x) = g(x^p).

証 明. 由於一個 polynomial 乘上一個非 0 的常數並不影響這裡所述的性質, 所以我們直接假設 f (x) $\in$ K[x] 是一個 monic irreducible polynomial. 若 d (x) = gcd(f (x), f'(x)), 由於 d (x) 是 f (x) 的一個 monic 的因式, 而 f (x) 是 irreducible 其 monic 的因式只有 1 和 f (x) 本身, 故得 d (x) = 1 或 d (x) = f (x). 特別要注意, 如果 f'(x)$\ne$ 0, 則由於 deg(f'(x)) < deg(f (x)), 此時 f (x) 不可能整除 f'(x). 因此若 f'(x)$\ne$ 0, 則 gcd(f (x), f'(x)) 不可能為 f (x), 故得 gcd(f (x), f'(x)) = 1.

(1) 假設 K 是一個 characteristic 為 0 的 field. 因為 f (x) 是 irreducible, 故 deg(f (x)) > 1, 因此由 Lemma 3.3.6 知 f'(x) 不可能為 0. 由上面的討論知 gcd(f (x), f'(x)) = 1, 因此由 Lemma 3.3.5 得知 f (x) 是一個 separable polynomial.

(2) 假設 K 是一個 characteristic 為 p 的 field. 若 f (x) 不是 separable polynomial, 則由 Lemma 3.3.5 知 gcd(f (x), f'(x))$\ne$1. 故由前面討論得知 f'(x) = 0 也就是說存在一個 g(x) $\in$ K[x] 使得 f (x) = g(x^p) (Lemma 3.3.6). 反之若存在一個 g(x) $\in$ K[x] 使得 f (x) = g(x^p), 則 f'(x) = 0. 故得 gcd(f (x), f'(x)) = f (x)$\ne$1. 因此再由 Lemma 3.3.5 得知 f (x) 不是 separable polynomial. $\qedsymbol$