Separable Extension

在這一節中我們介紹另一個重要的 extension, separable extension. 首先我們會發現幾乎在大學代數中談的 extension 都是 separable extension, 然後我們會進一步討論 separable extension 重要的性質.

在前面我們提過當 L = K($\alpha$) 是 K 的 finite simple extension 時, 若 $\alpha$ 的 minimal polynomial 沒有重根時, 我們就可以由其 minimal polynomial degree 確實知道有關 L 的 K-monomorphisms 的個數. 所以我們有以下之定義.

Definition 3.4.1   假設 L/K 是一個 finite extension. 若 a $\in$ L 且 a over K 的 minimal polynomial 是 separable polynomial, 則稱 a 是一個 separable element over K. 如果 L 中所有元素皆為 separable element over K, 則稱 L/K 是一個 separable extension.

要注意要談一個元素是否是一個 separable element, 仍必須說明是 over 哪一個 field. 有可能在 K $\subseteq$ F 的情形, a 是一個 separable element over F 但不是 separable over K. 不過反過來如果已知 a 是一個 separable element over K 那麼 a 一定是一個 separable element over F. 這是因為如果 m_K(x) $\in$ K[x] 和 m_F(x) $\in$ F[x] 分別為 a over K 的 minimal polynomial 和 a over F 的 minimal polynomial, 則 m_F(x) 在 F[x] 中必整除 m_K(x). 因此如果 m_K(x) 沒有重根, 當然 m_F(x) 也不會有重根.

當 L/K 是一個 finite extension, 前面提過我們很關心一些 L/K 的性質是否在 intermediate fields 之間保持. 事實上 separable extension 和 algebraic extension 一樣是會被保持的.

Lemma 3.4.2   假設 L/K 是一個 finite separable extension 且 F 是 L/K 的 intermediate field. 則 L/F 和 F/K 都是 separable extension.

証 明. 任取 a $\in$ F, 由於 a $\in$ L 且 L/K 是 separable extension, 得知 a 是一個 separable element over K. 因此由定義知 F/K 是 separable extension. 另外任取 a $\in$ L, 由於 K $\subseteq$ F 且 a 是一個 separable element over K, 由前面討論知 a 也是一個 separable element over F. 因此知 L/F 也是一個 separable extension. $\qedsymbol$

事實上以後我們會知道如果 L/F 和 F/K 都是 separable extension 則 L/K 也會是一個 separable extension (再一次強調 normal extension 就沒有這麼好).

要檢查 L/K 是否為 separable extension, 依定義就得檢查 L 中所有元素是否為 separable element over K. 我們自然希望有一個等價但比較容易檢查的條件 (就像前面提的 normal extension). 以後等我們了解更多 separable extension 的性質之後, 我們會發現和 normal extension (Theorem 3.2.2) 一樣 只要檢查有限多個元素就可以了. 不過事實上在目前大學代數大家所熟悉的 field extension 都是 separable extension.

Proposition 3.4.3   假設 K 是一個 field. 則在以下兩個狀況之下的 finite extension 都是 separable extension.

1. 當 K 的 characteristic 是 0 時;
2. 當 K 是 finite field 時.

証 明. (1) 當 K 的 characteristic 是 0 時, 由 Proposition 3.3.7 我們知所有 K[x] 中的 irreducible polynomial 皆為 separable polynomial. 若 L/K 是 finite extension, 因為任意 a $\in$ L over K 的 minimal polynomial 都是 K[x] 中的 irreducible polynomial, 故得 a 皆為 separable element over K. 得證 L/K 是 separable extension.

(2) 當 K 是 finite field 時, 首先我們複習一下 finite field 的性質. 我們知道 K 的 characteristic 必為一質數 p (參見大學基礎代數講義Lemma 9.2.3) 且 K 中元素個數必為 pⁿ, 其中 n $\in$ $\mathbb {N}$ (參見大學基礎代數講義 Theorem 10.4.1). 由於 K $\setminus$ {0} 共有 pⁿ - 1 個元素且在乘法之下是一個 group, 因此利用 Lagrange Theorem 我們知對任意 a $\in$ K 且 a$\ne$ 0 皆有 a^{pn - 1} = 1. 兩邊各乘上 a, 得 K 中任意元素 a 皆滿足 a^pn = a. 因此若令 b = a^{pn - 1}, 則 b^p = (a^{pn - 1})^p = a^pn = a. 換言之, 對任意 a $\in$ K, 皆存在 b $\in$ K 使得 b^p = a. 另外由於 K 的 characteristic 為 p, 當 a, b $\in$ K 時我們有 (a + b)^p = a^p + b^p (參見大學基礎代數講義Lemma 9.2.5). 因此若 f (x) = $\sum_{i=0}^{n}$a_ixⁱ, 則 f (x)^p = $\sum_{i=0}^{n}$a_i^px^ip (參見大學基礎代數講義Lemma 9.2.6).

現假設 L/K 是一個 finite extension, 且假設存在 a $\in$ L 不是一個 separable element over K. 換言之, 若 a over K 的 minimal polynomial 為 f (x), 則 f (x) $\in$ K[x] 不是一個 separable polynomial. 因此由 Proposition 3.3.7 (2) 我們知存在 g(x) = $\sum_{t=0}^{m}$a_tx^t $\in$ K[x] 使得 f (x) = g(x^p). 由前面討論知, 對任意 t $\in$ {0, 1,..., m} 皆存在 b_t $\in$ K 使得 b_t^p = a_t. 因此

f (x) = g(x^p) = $$\sum_{t=0}^{m}$$a_t(x^p)^t = $$\sum_{t=0}^{m}$$b_t^p(x^t)^p = ($$\sum_{t=0}^{m}$$b_tx^t)^p.

換言之, 若令 h(x) = $\sum_{t=0}^{m}$b_tx^t $\in$ K[x], 則 f (x) = h(x)^p. 這和 f (x) 在 K[x] 中是 irreducible polynomial 相矛盾, 因此 L 中每個元素皆為 separable element over K. 得證 L/K 是 separable extension. $\qedsymbol$

由此結果我們知, 以後若是談論 $\mathbb {Q}$ 的 finite extension 或是 finite field 的 finite extension, 我們都可以直接說是 separable extension. 雖然 Proposition 3.4.3 幾乎涵蓋了我們常見的 extension, 但並沒有涵蓋所有的情形. 接下來我們簡單的介紹一個 finite extension 但不是 separable extension 的例子.

Example 3.4.4   令 $\mathbb {F}$₂ 為一個只有兩個元素的 finite field, $\alpha$ 是 transcendental over $\mathbb {F}$₂ 且令 K = $\mathbb {F}$₂($\alpha$). 要注意 K 雖然不再是 finite field 但是其 characteristic 仍為 2. 考慮 x² - $\alpha$ $\in$ K[x], 而令 L = K($\beta$) 是 x² - $\alpha$ over K 的 splitting field, 其中 $\beta$ 滿足 $\beta^{2}_{}$ = $\alpha$. 首先觀察 $\beta$ $\not\in$K. 這是因為若 $\beta$ $\in$ K, 即表示存在 f (x), g(x) $\in$ $\mathbb {F}$₂[x], 其中 g(x)$\ne$ 0 使得 $\beta$ = f ($\alpha$)/g($\alpha$). 換言之, f ($\alpha$)²/g($\alpha$)² = $\alpha$. 這會造成 $\alpha$ 是 f (x)² - x ^. g(x)² $\in$ $\mathbb {F}$₂[x] 的一個根, 和 $\alpha$ 是 transcendental over $\mathbb {F}$₂ 相矛盾. 故知 x² - $\alpha$ 是 K[x] 中的 irreducible polynomial. 又因若令 h(x) = x - $\alpha$, 則 x² - $\alpha$ = h(x²), 故由 Proposition 3.3.7 知 x² - $\alpha$ 不是 separable polynomial. 因此 $\beta$ 不是一個 separable element over K, 進而得知 L = K($\beta$) 不是一個 separable extension over K.

大家應該不難將這個例子推廣到一般 characteristic p 的例子.

接下來我們就來看看當初要介紹 separable extension 最主要的原因. 這也是有關 separable extension 最重要的性質.

Theorem 3.4.5   假設 L/K 是一個 finite extension 且 N 是一個 L 的 extension 滿足 N/K 是 finite normal extension. 則 L/K 是一個 separable extension 若且唯若 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right.$$\mathfrak{M}_K(L,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right\vert$ = [L : K].

証 明. 首先我們用類似 Proposition 3.2.13 的證明方法對 [L : K] 作 induction, 證明若 L/K 是一個 finite separable extension 且 N 是一個 L 的 extension 滿足 N/K 是 finite normal extension, 則 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right.$$\mathfrak{M}_K(L,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right\vert$ = [L : K]. 當 [L : K] = 1 時, 因為 L 到 N 的 K-monomorphism 只有 identity, 所以自然成立. 假設對所有 extension degree 小於 n 的 separable extensions 皆成立. 現考慮 [L : K] = n > 1 的情形. 任取 $\alpha$ $\in$ L 但 $\alpha$ $\not\in$K. 令 F = K($\alpha$), 此時我們有 [F : K] > 1 故知 [L : F] < n. 假設 p(x) $\in$ K[x] 是 $\alpha$ over K 的 minimal polynomial. 由於 $\alpha$ $\in$ L 且 L/K 是 separable extension, 所以 $\alpha$ 是一個 separable element over K, 也就是說 p(x) 是一個 separable polynomial. 然而 N/K 是 normal extension, 故 p(x) 在 N 中完全分解, 再加上 p(x) 沒有重根, 故得 p(x) 在 N 中的根的個數等於 deg(p(x)) = [F : K]. 因此利用所有 K($\alpha$) 到 N 的 K-monomorphisms 的個數等於 p(x) 在 N 中根的個數, 得知 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right.$$\mathfrak{M}_K(F,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right\vert$ = [F : K]. 另一方面因為 [L : F] < n, N/F 是 normal extension (Corollary 3.2.3) 且 L/F 是 separable extension (Lemma 3.4.2), 故套用 induction 的假設知 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right.$$\mathfrak{M}_F(L,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right\vert$ = [L : F]. 因此利用 Lemma 3.2.12 得知

$$\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right.$$$$\mathfrak{M}_K(L,N)$$$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right\vert$$ = $$\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right.$$$$\mathfrak{M}_F(L,N)$$$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right\vert$$$$\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right.$$$$\mathfrak{M}_K(F,N)$$$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right\vert$$ = [L : F][F : K] = [L : K].

反之, 如果 L/K 不是 separable extension, 由定義知存在 $\beta$ $\in$ L 不是 separable element over K. 換言之, 若 $\beta$ over K 的 minimal polynomial 為 h(x), 則 h(x) 在 N 中有重根. 因此若令 F = K($\beta$) 則 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right.$$\mathfrak{M}_K(F,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right\vert$ < deg(h(x)) = [F : K]. 另一方面由 Proposition 3.2.13 我們知 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right.$$\mathfrak{M}_F(L,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right\vert$$\le$[L : F]. 故套用 Lemma 3.2.12 得知

$$\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right.$$$$\mathfrak{M}_K(L,N)$$$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right\vert$$ = $$\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right.$$$$\mathfrak{M}_F(L,N)$$$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right\vert$$$$\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right.$$$$\mathfrak{M}_K(F,N)$$$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right\vert$$ < [L : F][F : K] = [L : K].

$\qedsymbol$

利用 Theorem 3.4.5 我們便可以回答當初談到 Lemma 3.4.2 的反向為何也是對的.

Proposition 3.4.6   假設 L/K 是一個 finite extension 且 F 是 L/K 的 intermediate field. 則 L/K 是 separable extension 若且唯若 L/F 和 F/K 都是 separable extension.

証 明. 在 Lemma 3.4.2 中我們已證得若 L/K 是 separable extension 則 L/F 和 F/K 都是 separable extension.

至於另一方向, 首先令 N 為 L/K 的 normal closure. 我們得 N 是 L 的一個 extension 且 N/K 以及 N/F 是 finite normal extensions. 因此若 L/F 和 F/K 是 separable extensions, 則利用 Theorem 3.4.5 知 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right.$$\mathfrak{M}_F(L,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_F(L,N)}\right\vert$ = [L : F] 且 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right.$$\mathfrak{M}_K(F,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right\vert$ = [F : K]. 故利用 Lemma 3.2.12 得到 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right.$$\mathfrak{M}_K(L,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right\vert$ = [L : F][F : K] = [L : K]. 因此再次利用 Theorem 3.4.5 得知 L/K 是 separable extension. $\qedsymbol$

最後我們得到一個判別 separable extension 的好方法.

Theorem 3.4.7   假設 L/K 是一個 field extension. 下列敘述是等價的.

1. L/K 是 finite separable extension.
2. L = K(a₁,..., a_m), 其中 a₁,..., a_m 皆為 algebraic 且 separable element over K.

証 明. (1) $\Rightarrow$ (2) 由於 L/K 是 finite extension, 由 Proposition 1.3.4 知存在 a₁,..., a_m 是 algebraic over K 使得 L = K(a₁,..., a_m). 又因為 L/K 是 separable extension, 所有 L 中的元素都是 separable element over K, 故知 a_i 皆為 separable element over K.

(2) $\Rightarrow$ (1) 因為 a₁,..., a_m 皆為 algebraic over K, 所以 L = K(a₁,..., a_m) 是 finite extension over K. 我們對 [L : K] 作 induction. 假設 [L : K] = 1, 此時 L = K 所以 L/K 當然是 separable extension. 假設對於所有 degree 小於 n 的 extension 皆成立. 現若 [L : K] = n > 1, 故存在 a_i 滿足 a_i $\not\in$K. 不失一般性我們假設 a₁ $\not\in$K. 令 F = K(a₁), 則由於 [F : K] > 1, 我們有 [L : F] < n. 因為 a₁ 是 separable element over K, 所以 a₁ over K 的 minimal polynomial p(x) 為 separable polynomial. 若令 N 為 L/K 的 normal closure, 我們得所有 F 到 N 的 K-monomorphisms 的個數等於 deg(p(x)) = [F : K]. 因此由 Theorem 3.4.5 知 F/K 是 finite separable extension. 另一方面由於 L = K(a₁, a₂,..., a_m) = K(a₁)(a₂,..., a_m) = F(a₂,..., a_m) 且 a₂,..., a_m 皆為 separable element over K, 當然也都是 separable element over F (因為 K $\subseteq$ F), 故由 [L : F] < n 套用 induction 的假設知 L/F 是 finite separable extension. 因此利用 Proposition 3.4.6, 由 F/K 是 finite separable extension 以及 L/F 是 finite separable extension 得知 L/K 是一個 finite separable extension. $\qedsymbol$

簡單來說 Theorem 3.4.7 告訴我們只要加入的元素都是 separable element 那麼所得的 extension 就是 separable extension. 因此只要檢查加入的元素而不必檢查所有的元素.

最後我們要說明一點. 由於在這裡我們只談 finite extension, 所以我們只討論在 finite extension 之下的 normal extension 和 separable extension. 事實上 normal extension 和 separable extension 的性質在一般的 algebraic extension 中也都可以討論.