Primitive Element Theorem

我們曾經特別介紹 finite simple extension. 可以發現在 simple extension 的情況之下, 很多問題都可以簡單清楚的處理. 事實上我們證過很多有關 finite extension 問題都是先處理 simple extension 的情況, 再用 induction 處理. 總之, 若能事先知道一個 field extension 是 simple extension, 那麼很多問題就能輕鬆解決. 甚麼時候一個 extension 會是 simple extension 呢? primitive element theorem 就是在說明所有 finite separable extension 皆為 simple extension.

Theorem 4.2.2 (Primitive Element Theorem)   假設 L/K 是一個 finite separable extension, 則 L/K 是一個 simple extension.

証 明. 我們分 K 是 finite field 和 K 不是 finite field 兩種情況來討論.

首先考慮 K 是 finite field 的情況. 此時由於 L/K 是 finite extension, 故知 L 也是一個 finite field. 因為一個 finite field 中的非 0 元素所成的乘法群是一個 cyclic group (參見大學基礎代數講義Theorem 10.4.3), 所以存在 $\alpha$ $\in$ L 使得 L 中的非 0 元素都可以用 $\alpha^{i}_{}$, 其中 i $\in$ $\mathbb {N}$ 來表示. 換言之, L = K($\alpha$), 所以 L/K 是 simple extension.

現考慮 K 是 infinite 的情況. 因為 L/K 是 finite separable extension, 由 Lemma 4.2.1 知若取 L/K 的一個 normal closure, 則 N/K 是 finite Galois extension. 利用 First Fundamental Theorem 4.1.5, 我們知道 N/K 的 intermediate fields 和 Gal(N/K) 的 subgroups 之間有一個 1-1 correspondence. 又因為 N/K 是 finite extension, 所以 Gal(N/K) 是一個 finite group (事實上 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(N/K)}\right.$Gal(N/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(N/K)}\right\vert$ = [N : K]), 因此 Gal(N/K) 只有有限多個 subgroups. 推得 N/K 只有有限多個 intermediate fields. 但由於 K $\subseteq$ L $\subseteq$ N, 故知 L/K 只有有限多個 intermediate fields. 由於 [L : K] 是有限的, 必存在 a $\in$ L 使得 [K(a) : K] 是最大的, 也就是說 a $\in$ L 滿足 [K(a) : K]$\ge$[K(b) : K], $\forall$ b $\in$ L. 我們要證明 L = K(a). 假設 K(a)$\ne$L, 表示存在 b $\in$ L 但 b $\not\in$K(a). 現考慮所有 K(a + cb) 其中 c $\in$ K, 這種形式的 L/K 的 intermediate fields. 因為 L/K 只有有限多個 intermediate fields 且 K 有無窮多個元素, 利用鴿籠原理, 必存在 c₁, c₂ $\in$ K 且 c₁$\ne$c₂ 滿足 K(a + c₁b) = K(a + c₂b). 所以利用 a + c₂b $\in$ K(a + c₁b) 可得

(c₁ - c₂)b = (a + c₁b) - (a + c₂b) $$\in$$ K(a + c₁b).

又因為 c₁ - c₂ $\in$ K 且 c₁ - c₂$\ne$ 0 得知 b $\in$ K(a + c₁b). 再利用 a = (a + c₁b) - c₁b 得知 a $\in$ K(a + c₁b). 換言之 K(a) $\subseteq$ K(a + c₁b). 但由於 b $\in$ K(a + c₁b) 且 b $\not\in$K(a) 知 K(a) $\subsetneq$ K(a + c₁b). 也就是說

[K(a + c₁b) : K] = [K(a + c₁b) : K(a)][K(a) : K] > [K(a) : K].

此和當初 a 的選取矛盾, 故得證 L = K(a). $\qedsymbol$

利用這個結果, 今後要探討 finite separable extension 的問題時就可以直接假設它是一個 simple extension, 這樣要處理的問題就簡單多了. 可知這是一個相當實用的定理.