Galois 理論的應用

這一節中我們介紹兩個 Galois 理論的應用: 一個是探討 finite separable extension 一定是 simple extension; 另一個我們介紹 trace 和 norm 的基本性質.

Galois Theory 雖然是針對 Galois extension, 不過在不是 Galois extension 時也能應用. 最常見的情況是在 finite separable extension 時, 我們可以取 normal closure 而得到 Galois extension 再加以應用.

Lemma 4.2.1   假設 L/K 是 finite separable extension 且 N 是 L/K 的 normal closure. 則 N/K 是 finite Galois extension.

証 明. 因為 L/K 是 finite extension, 存在 a₁,..., a_n $\in$ L 使得 L = K(a₁,..., a_n). 假設 a_i over K 的 minimal polynomial 為 p_i(x). 因為 L/K 是 separable extension, 這些 p_i(x) $\in$ K[x] 皆為 separable polynomials. 若令 f (x) = p₁(x) ^... p_n(x), 則由 normal closure 的定義知 N 為 f (x) over K 的 splitting field 且知 N/K 是 finite normal extension (Proposition 3.2.9).

現假設 $\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{m}^{}$ $\in$ N 為 f (x) 所有的根, 則 N = K($\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{m}^{}$). 然而每一個 $\alpha_{j}^{}$ 因為是 f (x) = p₁(x) ^... p_n(x) 的一個根, 所以其 over K 的 minimal polynomial 必為 p₁(x),..., p_n(x) 其中之一. 因此由 p₁(x),..., p_n(x) 皆為 separable polynomials 知 $\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{m}^{}$ 皆為 separable element over K. 故由 Theorem 3.4.7 知 N/K 是 separable extension. 因此 N/K 是 finite Galois extension. $\qedsymbol$

當然了若 L/K 本身已不是 separable extension, 表示 L 中存在元素不是 separable element over K, 因此不論怎麼作 L 的 extension 都不可能成為 separable extension. 所以在這情況之下取 L/K 的 normal closure N, 並無法使得 N/K 是 Galois extension.