Trace and Norm

Trace 和 norm 是談論 finite extension 時兩個重要的函數.

Definition 4.2.3   假設 L/K 是一個 finite separable extension 且 N 是 L/K 的一個 normal closure. 令 $\mathfrak{M}_K(L,N)=\{\sigma_1,\dots,\sigma_n\}$ 為所有 L 到 N 的 K-monomorphisms 所成的集合. 若 a $\in$ L, 我們定義

T_L/K(a) = $$\sigma_{1}^{}$$(a) + ^... + $$\sigma_{n}^{}$$(a)    and    N_L/K(a) = $$\sigma_{1}^{}$$(a) ^... $$\sigma_{n}^{}$$(a).

T_L/K(a) 和 N_L/K(a) 分別稱作 a 的 trace 和 norm for L/K.

要注意 trace 和 norm 的取值與 extension 有關. 例如若 F 是 L/K 的 intermediate field 且 a $\in$ F, 則 T_L/K(a) 和 T_F/K(a) 可能不同; 同樣的 N_L/K(a) 和 N_F/K(a) 也可能不同. 接下來我們介紹一些 trace 和 norm 的基本性質.

Lemma 4.2.4   假設 L/K 是一個 finite separable extension 且 [L : K] = n. 則對任意 a, b $\in$ L 以及 k $\in$ K, 我們有以下的性質:

1. T_L/K(ka + b) = kT_L/K(a) + T_L/K(b) 且 N_L/K(ab) = N_L/K(a)N_L/K(b).
2. T_L/K(k) = nk 且 N_L/K(k) = kⁿ.

証 明. 假設 N 是 L/K 的一個 normal closure. 因為 L/K 是 finite separable extension, 由 Theorem 3.4.5 知 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right.$$\mathfrak{M}_K(L,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right\vert$ = [L : K] = n. 現假設 $\mathfrak{M}_K(L,N)=\{\sigma_1,\dots,\sigma_n\}$.

(1) 由於 $\sigma_{i}^{}$ 是 K-monomorphism, 我們有 $\sigma_{i}^{}$(ka + b) = k$\sigma_{i}^{}$(a) + $\sigma_{i}^{}$(b), 因此依定義得

T_L/K(ka + b) = $$\sum_{i=1}^{n}$$$$\sigma_{i}^{}$$(ka + b) = k$$\sum_{i=1}^{n}$$$$\sigma_{i}^{}$$(a) + $$\sum_{i=1}^{n}$$$$\sigma_{i}^{}$$(b) = kT_L/K(a) + T_L/K(b).

同理, 因為 $\sigma_{i}^{}$(ab) = $\sigma_{i}^{}$(a)$\sigma_{i}^{}$(b), 故得

N_L/K(ab) = $$\sigma_{1}^{}$$(ab) ^... $$\sigma_{n}^{}$$(ab) = ($$\sigma_{1}^{}$$(a)$$\sigma_{1}^{}$$(b)) ^... ($$\sigma_{n}^{}$$(a)$$\sigma_{n}^{}$$(b)) = N_L/K(a)N_L/K(b).

(2) 由於 $\sigma_{i}^{}$(k) = k, 故直接依定義知

T_L/K(k) = $$\sigma_{1}^{}$$(k) + ^... + $$\sigma_{n}^{}$$(k) = nk    and    N_L/K(k) = $$\sigma_{1}^{}$$(k) ^... $$\sigma_{n}^{}$$(k) = kⁿ.

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當 L/K 是 Galois extension 時, 因為 L/K 是 normal extension, 故由 Lemma 3.2.6 得 $\mathfrak{M}_K(L,N)=\mathrm{Gal}(L/K)$, 因此若 Gal(L/K) = {$\sigma_{1}^{}$,...,$\sigma_{n}^{}$}, 則對任意 $\tau$ $\in$ Gal(L/K), 由於 Gal(L/K) 是一個 group, 我們有 Gal(L/K) = {$\tau$o$\sigma_{1}^{}$,...,$\tau$o$\sigma_{n}^{}$}. 因此依定義知

$$\tau$$(T_L/K(a)) = $$\tau$$($$\sigma_{1}^{}$$(a) + ^... $$\sigma_{n}^{}$$(a)) = $$\tau$$($$\sigma_{1}^{}$$(a)) + ^... + $$\tau$$($$\sigma_{n}^{}$$(a)) = T_L/K(a).

同理知 $\tau$(N_L/K(a)) = N_L/K(a). 也就是說 T_L/K(a) 和 N_L/K(a) 皆落在 Gal(L/K) 的 fixed field 中. 但由於假設 L/K 是 Galois extension, 故由 Theorem 4.1.1 知 Gal(L/K) 的 fixed field 為 K, 得證 T_L/K(a) $\in$ K 且 N_L/K(a) $\in$ K. 當 L/K 僅是 finite separable extension 時, 我們依然可利用 Galois 理論證得 T_L/K(a) $\in$ K 且 N_L/K(a) $\in$ K.

Proposition 4.2.5   假設 L/K 是 finite separable extension. 則對任意 a $\in$ L, 皆有

T_L/K(a) $$\in$$ K    and    N_L/K(a) $$\in$$ K.

証 明. 若 N 是 L/K 的一個 normal closure, 則由 Lemma 4.2.1 知 N/K 是 finite Galois extension. 假設 $\mathfrak{M}_K(L,N)=\{\sigma_1,\dots,\sigma_n\}$. 對任意 $\tau$ $\in$ Gal(N/K), 由於 $\tau$o$\sigma_{i}^{}$ : L$\to$N 是 K-monomorphism, 我們知 $\tau$$\sigma_{i}^{}$ $\in$ $\mathfrak{M}_K(L,N)$. 又若 $\tau$o$\sigma_{i}^{}$ = $\tau$o$\sigma_{j}^{}$, 則因 $\tau$ 是 1-1 可得 $\sigma_{i}^{}$ = $\sigma_{j}^{}$. 因此我們知對任意 $\tau$ $\in$ Gal(N/K) 皆有 $\mathfrak{M}_K(L,N)=\{\tau\circ\sigma_1,\dots,\tau\circ\sigma_n\}$. 所以依定義知對任意 $\tau$ $\in$ Gal(N, K) 皆有

$$\tau$$(T_L/K(a)) = $$\tau$$($$\sigma_{1}^{}$$(a) + ^... $$\sigma_{n}^{}$$(a)) = $$\tau$$($$\sigma_{1}^{}$$(a)) + ^... + $$\tau$$($$\sigma_{n}^{}$$(a)) = T_L/K(a).

同理知 $\tau$(N_L/K(a)) = N_L/K(a). 也就是說 T_L/K(a) 和 N_L/K(a) 皆落在 Gal(N/K) 的 fixed field 中. 故由 N/K 是 Galois extension 以及 Theorem 4.1.1 知 T_L/K(a) $\in$ K 且 N_L/K(a) $\in$ K. $\qedsymbol$

若 L/K 是 finite separable extension 且 F 是 L/K 的 intermediate field, 則 L/F 和 F/K 皆為 finite separable extension (Lemma 3.4.2), 所以我們有 L/F 和 F/K 的 trace 和 norm. 現若 a $\in$ L, 則由 Proposition 4.2.5 知 T_L/F(a) 和 N_L/F(a) 皆為 F 中的元素, 所以可以將它們代入 T_F/K 以及 N_F/K 中, 得 T_F/K(T_L/F(a)) 以及 N_F/K(N_L/F(a)). 事實上它們會分別等於 T_L/K(a) 以及 N_L/K(a), 這就是 trace 和 norm 的 transitive property.

Proposition 4.2.6   假設 L/K 是 finite separable extension 且 F 是 L/K 的 intermediate field. 則對任意 a $\in$ L, 皆有

T_F/K(T_L/F(a)) = T_L/K(a)    and    N_F/K(N_L/F(a)) = N_L/K(a).

証 明. 若 N 是 L/K 的一個 normal closure, 則由於 N/K 是 normal extension 且 F $\subseteq$ L $\subseteq$ N, 利用 normal closure 的定義知存在 N' 是 F/K 的 normal closure 且 N' $\subseteq$ N.

假設 $\mathfrak{M}_F(L,N)=\{\rho_1,\dots,\rho_s\}$ 且 $\mathfrak{M}_K(F,N)=\{\psi_1,\dots,\psi_t\}$, 由於 N/K 是一個 finite normal extension 且 F 是 N/K 的一個 intermediate field, 利用 Theorem 3.2.7 知每一個 K-monomorphism $\psi_{j}^{}$ : F$\to$N 都可以 extends 成一個 K-monomorphism $\phi_{j}^{}$ : N$\to$N (即 $\phi_{j}^{}$|_F = $\psi_{j}^{}$). 在 Lemma 3.2.12 的證明中我們證得

$$\mathfrak{M}_K(L,N)=\{\phi_j\circ\rho_i\,\vert\,i=1,\dots,s\,\mbox{ 且 } j=1,\dots,t\}.$$

因此知

T_L/K(a) = $$\sum_{j=1}^{t}$$$$\sum_{i=1}^{s}$$$$\phi_{j}^{}$$($$\rho_{i}^{}$$(a)) = $$\sum_{j=1}^{t}$$$$\phi_{j}^{}$$($$\sum_{i=1}^{s}$$$$\rho_{i}^{}$$(a)) = $$\sum_{j=1}^{t}$$$$\phi_{j}^{}$$(T_L/F(a)).

另一方面利用 Corollary 3.2.11 我們知 $\mathfrak{M}_K(F,N')=\mathfrak{M}_K(F,N)=\{\psi_1,\dots,\psi_t\}$ 以及利用 Proposition 4.2.5 我們知 T_L/F(a) $\in$ F, 因此 $\phi_{j}^{}$(T_L/F(a)) = $\phi_{j}^{}$|_F(T_L/F(a)) = $\psi_{j}^{}$(T_L/F(a)). 故得

T_F/K(T_L/F(a)) = $$\sum_{j=1}^{t}$$$$\psi_{j}^{}$$(T_L/F(a)) = $$\sum_{j=1}^{t}$$$$\phi_{j}^{}$$(T_L/F(a)) = T_L/K(a).

同理證得

N_F/K(N_L/F(a)) = $$\prod_{j=1}^{t}$$$$\psi_{j}^{}$$(N_L/F(a)) = $$\prod_{j=1}^{t}$$$$\prod_{i=1}^{s}$$$$\phi_{j}^{}$$($$\rho_{i}^{}$$(a)) = N_L/K(a).

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因為一個 finite extension 的 normal closure 並不唯一, 由定義 trace 和 norm 的取值可能會和 normal closure 的選取有關. 我們最後就是要探討這個問題, 事實上我們得到一個元素的 trace 與 norm 和它的 minimal polynomial 有關, 也因此得知 trace 和 norm 和 normal closure 的選取無關.

Theorem 4.2.7   假設 L/K 是 finite separable extension 且 [L : K] = n. 若 a $\in$ L 且 a over K 的 minimal polynomial 為 f (x) = x^m + a_{m - 1}x^{m - 1} + ^... + a₁x + a₀, 則

T_L/K(a) = - $${\frac{n}{m}}$$ a_{m - 1}    and    N_L/K(a) = (- 1)ⁿa₀^n/m.

証 明. 令 F = K(a), 由於 f (x) 是 a over K 的 minimal polynomial 且 deg(f (x)) = m, 知 [F : K] = m, 故得 [L : F] = [L : K]/[F : K] = n/m. 因此由 a $\in$ F 以及 Lemma 4.2.4 (2) 知 T_L/F(a) = (n/m)a 以及 N_L/F(a) = a^n/m. 接著我們要計算 T_F/K(a) 以及 N_F/K(a).

令 N 為 F/K 的一個 normal closure, 因為 L/K 是 finite separable extension, 故知 F/K 也是 finite separable extension (Lemma 3.4.2), 因此由 Theorem 3.4.5 知 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right.$$\mathfrak{M}_K(F,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(F,N)}\right\vert$ = [F : K] = m. 假設 $\mathfrak{M}_K(F,N)=\{\sigma_1,\dots,\sigma_m\}$. 由於 F = K(a) 是一個 over K 的 simple extension, 每一個 F 到 N 的 K-monomorphism 都由 a 的取值唯一確定. 所以得 $\sigma_{1}^{}$(a),...,$\sigma_{m}^{}$(a) 皆相異. 又因為 $\sigma_{i}^{}$(a) 必為 f (x) 的根, 所以得 $\sigma_{1}^{}$(a),...,$\sigma_{m}^{}$(a) 剛好就是 f (x) 所有的根. 故得 f (x) = (x - $\sigma_{1}^{}$(a)) ^... (x - $\sigma_{m}^{}$(a)). 利用根與係數的關係, 我們得到

T_F/K(a) = $$\sigma_{1}^{}$$(a) + ^... + $$\sigma_{m}^{}$$(a) = - a_{m - 1}

以及

N_F/K(a) = $$\sigma_{1}^{}$$(a) ^... $$\sigma_{m}^{}$$(a) = (- 1)^ma₀.

因此利用 Proposition 4.2.6 以及 Lemma 4.2.4 (1) 得證

T_L/K(a) = T_F/K(T_L/F(a)) = T_F/K($${\frac{n}{m}}$$ a) = $${\frac{n}{m}}$$T_F/K(a) = - $${\frac{n}{m}}$$ a_{m - 1}

以及

N_L/K(a) = N_F/K(N_L/F(a)) = N_F/K(a^n/m) = N_F/K(a)^n/m = ((- 1)^ma₀)^n/m = (- 1)ⁿa₀^n/m.

$\qedsymbol$

由 Theorem 4.2.7 可以看出, 不僅 T_L/K(a) $\in$ K 且 N_L/K(a) $\in$ K 而且 trace 和 norm 的取值和 L/K 的 normal closure 的選取無關.