Fundamental Theorem of Galois Theory

我們首先介紹何謂 Galois extension, 從而得到 Galois extension 的 intermediate fields 以及其 Galois groups 的 subgroups 存在著一對一的對應關係.

在一般代數書中對於 Galois extension 的定義不盡相同, 不過這些定義其實是等價的. 我們首先來探討這些等價關係.

Theorem 4.1.1   假設 L/K 是一個 finite extension. 下列敘述是等價的.

1. $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$ = [L : K]
2. Gal(L/K) 的 fixed field 是 K.
3. L/K 是一個 normal and separable extension.

証 明. (1) $\Rightarrow$ (2): 假設 Gal(L/K) 的 fixed field 是 F, 則我們有 K $\subseteq$ F $\subseteq$ L 且 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$ = [L : F] (Theorem 2.3.4). 因此由 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$ = [L : K] 得知 [L : K] = [L : F]. 又由於 [L : K] = [L : F][F : K], 故得 [F : K] = 1. 亦即 F = K.

(2) $\Rightarrow$ (3): 回顧 Gal(L/K) 的 fixed field 的定義為 {$\alpha$ $\in$ L | $\sigma$($\alpha$) = $\alpha$, $\forall$ $\sigma$ $\in$ Gal(L/K)}. 所以 K 為 Gal(L/K) 的 fixed field 不只是說 K 中的元素都會被所有的 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 固定, 也表示 L 中被所有的 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 固定的元素必定落在 K 中. 現任取 a $\in$ L, 假設 a over K 的 minimal polynomial 為 p(x). 令 a = a₁, a₂,..., a_n 為 p(x) 在 L 中所有的相異根. 考慮 f (x) = (x - a₁)(x - a₂) ^... (x - a_n). 由於 n 為 p(x) 在 L 中相異根的個數, 因此我們知 deg(f (x)) = n$\le$deg(p(x)). 又由於 a₁, a₂,..., a_n $\in$ L, 我們有 f (x) $\in$ L[x]. 現假設 f (x) = xⁿ + c_{n - 1}x^{n - 1} + ^... + c₁x + c₀, 其中 c_i $\in$ L. 對任意 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K), 我們有

$$\sigma \sigma \sigma \sigma$$ (4.1)

另一方面由於 f (x) = (x - a₁)(x - a₂) ^... (x - a_n), 利用 Lemma 3.1.3 知

$$\sigma \sigma \sigma \sigma$$

由於 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K), 我們知 $\sigma$(a_i) 必會在 L 中且會是 p(x) 的一個根. 因此由 $\sigma$ 是 1-1 知 {a₁, a₂,..., a_n} = {$\sigma$(a₁),$\sigma$(a₂),...,$\sigma$(a_n)}. 也就是說

(x - a₁)(x - a₂) ^... (x - a_n) = (x - $$\sigma$$(a₁))(x - $$\sigma$$(a₂)) ^... (x - $$\sigma$$(a_n)),

因此知對任意 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 皆有 f (x) = f^$\sigma$(x). 故由式子 (4.1) 知對任意 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 皆有 $\sigma$(c_i) = c_i. 也就是說這些 c_i 都落在 Gal(L/K) 的 fixed field 中. 因此由假設 K 是 Gal(L/K) 的 fixed field 知 c_i $\in$ K, 亦即 f (x) $\in$ K[x]. 由於 a 是 f (x) $\in$ K[x] 的一個根, 故由 p(x) 是 a over K 的 minimal polynomial 的性質知 p(x) | f (x). 得知 deg(p(x))$\le$deg(f (x)), 因此由前面已知 deg(f (x))$\le$deg(p(x)) 我們得 deg(p(x)) = deg(f (x)). 再加上 p(x) 和 f (x) 都是 monic polynomials 得知 p(x) = f (x). 由於 f (x) 在 L 中可以完全分解且其根皆相異, 得證 a over K 的 minimal polynomial 在 L 中 splits 且為 separable polynomial. 因為當初 a $\in$ L 是任取的, 故由 normal extension 和 separable extension 的定義得知 L/K 是 normal and separable extension.

(3) $\Rightarrow$ (1): 假設 L/K 是一個 normal and separable extension, 由 separable extension 的性質 (Theorem 3.4.5) 知若 N/K 是包含 L 的 finite normal extension, 則 $\left\vert\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right.$$\mathfrak{M}_K(L,N)$$\left.\vphantom{\mathfrak{M}_K(L,N)}\right\vert$ = [L : K]. 但由於 L/K 是 normal extension, 由 Lemma 3.2.6 知 Gal(L/K) = $\mathfrak{M}_K(L,N)$, 得證 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$ = [L : K]. $\qedsymbol$

我們對符合以上任一項的 finite extension 稱之為 Galois extension.

Definition 4.1.2   假設 L/K 是一個 finite extension. 若 L/K 是 normal and separable extension, 則稱 L/K 是一個 Galois extension.

在這個定義中我們特別選 normal and separable extension 當成 Galois extension 的定義是希望加強印象. 以後大家若有機會探討不是 finite extension 的情況, 一般會用 normal and separable extension 來定義 Galois extension. 另一方面雖然 Theorem 4.1.1 中三個敘述是等價的, 但是一般我們都是利用檢查是否為 normal and separable extension 來判斷一個 extension 是否為 Galois extension. 例如我們可以利用 normal extension 和 separable extension 的性質得到以下的結果.

Proposition 4.1.3   假設 L/K 是 finite normal extension 且 F 是 L/K 的 intermediate field. 則 L/F 是一個 Galois extension.

証 明. 對任意 L/K 的 intermediate field F, 由於 L/K 是 normal 且 separable extension, 因此分別利用 Corollary 3.2.3 以及 Lemma 3.4.2 得知 L/F 也是 normal and separable extension. 也就是說 L/F 也是 Galois extension. $\qedsymbol$

要注意由於 F/K 不一定是 normal extension (參見 Example 3.2.4 (1)), 所以在 Proposition 4.1.3 中 F/K 不一定是 Galois extension.

在一般的情況如何檢查一個 extension 是否為 normal 和 separable extension 呢? 在 Theorem 3.2.2 和 Theorem 3.4.7, 我們分別介紹了檢查 normal extension 和 separable extension 的方法, 所以綜合這兩個定理, 我們得到了檢查 Galois extension 的方法.

Theorem 4.1.4   假設 L/K 是一個 finite extension. 下列的敘述是等價的.

1. L/K 是 Galois extension.
2. 存在 separable polynomial f (x) $\in$ K[x] 使得 L 是 f (x) over K 的 splitting field.

証 明. (1) $\Rightarrow$ (2): 由於 L/K 是 finite extension, 知存在 a₁,..., a_n $\in$ L 使得 L = K(a₁,..., a_n). 令 p_i(x) 為 a_i over K 的 minimal polynomial, 由於 L/K 是 normal 且 separable extension, 故知 p_i(x) splits over L 且為 separable polynomial. 要注意有可能 i$\ne$j 但 p_i(x) = p_j(x), 不過如果 p_i(x)$\ne$p_j(x), 那麼 p_i(x) 和 p_j(x) 的根皆相異. 否則若 $\alpha$ 同時是 p_i(x) 和 p_j(x) 的根, 會造成 p_i(x) 和 p_j(x) 皆為 $\alpha$ 的 minimal polynomial 的矛盾. 故若去除掉重複的 p_i(x) 後令 f (x) 為所有這些相異的 p_i(x) 的乘積, 則 f (x) $\in$ K[x] 為 separable polynomial 且 f (x) splits over L. 現在證明 L 為 f (x) 的 splitting field. 假設 K $\subseteq$ F $\subseteq$ L 且 f (x) splits over F. 由於對所有 i $\in$ {1,..., n}, a_i 的 minimal polynomial 是 f (x) 的因式, 我們得 a_i 是 f (x) 的一個根, 故得 a_i $\in$ F. 因此 L = K(a₁,..., a_n) $\subseteq$ F, 而得證 L = F. 也就是說 L 是 f (x) over K 的 splitting field.

(2) $\Rightarrow$ (1): 假設 b₁,..., b_m $\in$ L 是 f (x) 所有的根. 因為 L 是 f (x) over K 的 splitting field, 我們得 L = K(b₁,..., b_m). 由於 f (x) 是 separable polynomial, 每一個 b_i over K 的 minimal polynomial 因為整除 f (x) 必也是 separable polynomial, 因此 b_i 皆為 separable element over K. 故由 Theorem 3.4.7 知 L/K 是 separable extension. 又因為 L 是 f (x) over K 的 splitting field, 故由 Theorem 3.2.2 知 L/K 是 normal extension. 因此得 L/K 是 Galois extension. $\qedsymbol$

我們曾經提過, Galois 理論就是要探討一個 extension 其 Galois group 的 subgroups 以及這個 extension 的 intermediate fields 之間的關係. 我們曾介紹過兩個函數來探討它們之間的關係, 現在回顧一下這兩個函數. 假設 L/K 是 finite extension. 我們定義 $\mathfrak{F}$ 是 L/K 的 intermediate fields 所成的集合, 即 $\mathfrak{F}=\{F\,\vert\, F\mbox{ 是一個 field 且 } K\subseteq F\subseteq L\}$. 且令 $\mathfrak{G}$ 是 Gal(L/K) 的 subgroups 所成的集合, 即 $\mathfrak{G}=\{H\,\vert\,H\mbox{ 是 $\mathrm{Gal}(L/K)$\ 的 subgroup}\}.$ 我們定義函數 $\mathcal {G}$ : $\mathfrak{F}\to\mathfrak{G}$ 如下: 對任意 L/K 的 intermediate field F (即 F $\in$ $\mathfrak{F}$), 我們定義 $\mathcal {G}$(F) = Gal(L/F). 而函數 $\mathcal {F}$ : $\mathfrak{G}\to\mathfrak{F}$ 的定義為: 對任意 Gal(L/K) 的 subgroup H (即 H $\in$ $\mathfrak{G}$), 我們定義 $\mathcal {F}$(H) 為 H 的 fixed field, 即 $\mathcal {F}$(H) = L^H.

對於一般的 finite extension L/K, Corollary 2.3.6 告訴我們 $\mathcal {F}$ 是 1-1 的函數且 $\mathcal {G}$ 是 onto 的函數. 當 L/K 是 Galois extension 時我們可得 $\mathcal {F}$ 是 onto 的(因此是 1-1 且 onto 的函數) 以及 $\mathcal {G}$ 是 1-1 的函數 (因此是 1-1 且 onto 的函數). 這就是所謂 Galois 理論的 fundamental theory. 這個 fundamental theory 事實上有兩部分, 我們將它們分開討論.

Theorem 4.1.5 (First Fundamental Theorem of Galois Theory)   假設 L/K 是一個 finite Galois extension. 則對任意 F $\in$ $\mathfrak{F}$, 我們有 $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F)) = F. 因此 $\mathcal {G}$ : $\mathfrak{F}\to\mathfrak{G}$ 給了我們一個 L/K 的 intermediate fields 和 Gal(L/K) 的 subgroups 之間的一個一對一的對應關係.

証 明. 對任意 L/K 的 intermediate field F, 由 Proposition 4.1.3 我們知 L/F 是一個 Galois extension. 所以利用 Theorem 4.1.1 可得 L/F 的 Galois group 的 fixed field 為 F. 由於 L/F 的 Galois group Gal(L/F) 就是 $\mathcal {G}$(F), 而 $\mathcal {G}$(F) 的 fixed field 就是 $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F)), 因此得證 $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F)) = F.

接著要說明 $\mathcal {G}$ : $\mathfrak{F}\to\mathfrak{G}$, 給了 $\mathfrak{F}$ 到 $\mathfrak{G}$ 之間一個一對一的對應關係. 注意這裡提的一對一對應關係 (one to one correspondence) 指的是兩個集合間的對應關係, 也就是說 $\mathfrak{G}$ 中的每一個元素在 $\mathfrak{F}$ 中都可找到唯一的元素與之對應, 反之亦然. 因此我們不只要說明 $\mathcal {G}$ : $\mathfrak{F}\to\mathfrak{G}$ 是 1-1 且要說明其為 onto. 現若 F₁, F₂ $\in$ $\mathfrak{F}$ 滿足 $\mathcal {G}$(F₁) = $\mathcal {G}$(F₂), 套用 $\mathcal {F}$ 於其上得 $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F₁)) = $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F₂)). 故由 $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F)) = F, 得知 F₁ = F₂. 另一方面任取 H $\in$ $\mathfrak{G}$, 考慮 F = $\mathcal {F}$(H), 則由 $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)) = H (Corollary 2.3.6) 知 $\mathcal {G}$(F) = H. 故得知 $\mathcal {G}$ : $\mathfrak{F}\to\mathfrak{G}$ 確實給了 $\mathfrak{F}$ 和 $\mathfrak{G}$ 兩個集合之間一個一對一的對應關係. $\qedsymbol$

當 L/K 是 finite Galois extension, 由 Corollary 2.3.6 以及 Theorem 4.1.5 我們知道對所有 H $\in$ $\mathfrak{G}$ 以及 F $\in$ $\mathfrak{F}$ 皆有 $\mathcal {G}$($\mathcal {F}$(H)) = H 以及 $\mathcal {F}$($\mathcal {G}$(F)) = F. 也就是說此時 $\mathcal {F}$ 和 $\mathcal {G}$ 互為反函數. 不過要注意若 F₁, F₂ $\in$ $\mathfrak{F}$ 且 F₁ $\subseteq$ F₂, 則 $\mathcal {G}$(F₂) $\subseteq$ $\mathcal {G}$(F₁) (Lemma 2.1.2). 也就是說較大的 intermediate field 對應到較小的 subgroup. 反之, 若 H₁, H₂ $\in$ $\mathfrak{G}$ 且 H₁ $\subseteq$ H₂, 則 $\mathcal {F}$(H₂) $\subseteq$ $\mathcal {F}$(H₁) (Lemma 2.2.2). 因此要注意較大的 subgroup 對應到較小的 intermediate field. 這樣大小顛倒的對應關係也可由以下 extension degree 和 group order 的關係看出.

Corollary 4.1.6   假設 L/K 是 finite Galois extension.

1. 若 F 是 L/K 的 intermediate field, 則
   [F : K] = $${\frac{\left\vert\mathrm{Gal}(L/K)\right\vert }{\left\vert\mathrm{Gal}(L/F)\right\vert }}$$ = $${\frac{\left\vert\mathrm{Gal}(L/K)\right\vert }{\left\vert\mathcal{G}(F)\right\vert }}$$.
   特別若 F₁, F₂ 是 L/K 的 intermediate fields 滿足 F₁ $\subseteq$ F₂, 則
   [F₂ : F₁] = $${\frac{\left\vert\mathcal{G}(F_1)\right\vert }{\left\vert\mathcal{G}(F_2)\right\vert }}$$.

2. 若 H 是 Gal(L/K) 的 subgroup, 則
   [$$\mathcal {F}$$(H) : K] = $${\frac{\left\vert\mathrm{Gal}(L/K)\right\vert }{\left\vert H\right\vert }}$$.
   特別若 H₁ 和 H₂ 是 Gal(L/K) 的 subgroup 且滿足 H₁ $\subseteq$ H₂, 則
   [$$\mathcal {F}$$(H₁) : $$\mathcal {F}$$(H₂)] = $${\frac{\left\vert H_2\right\vert }{\left\vert H_1\right\vert }}$$.

証 明. (1) 因為 L/K 是 finite Galois extension, 由 Proposition 4.1.3 我們知 L/F 是 Galois extension, 故由 Theorem 4.1.1 知 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$ = [L : K] 且 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F)}\right.$Gal(L/F)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F)}\right\vert$ = [L : F]. 再利用 [L : K] = [L : F][F : K], 得知 [F : K] = [L : K]/[L : F] = $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$/$\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F)}\right.$Gal(L/F)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F)}\right\vert$. 現若 F₁ $\subseteq$ F₂, 由於 [F₂ : F₁] = [F₂ : K]/[F₁ : K], 故利用前面所得結果知 [F₂ : F₁] = $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F_1)}\right.$Gal(L/F₁)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F_1)}\right\vert$/$\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F_2)}\right.$Gal(L/F₂)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F_2)}\right\vert$ = $\left\vert\vphantom{\mathcal{G}(F_1)}\right.$$\mathcal {G}$(F₁)$\left.\vphantom{\mathcal{G}(F_1)}\right\vert$/$\left\vert\vphantom{\mathcal{G}(F_2)}\right.$$\mathcal {G}$(F₂)$\left.\vphantom{\mathcal{G}(F_2)}\right\vert$.

(2) 利用 Corollary 2.3.5 我們知 [$\mathcal {F}$(H) : K] = [L : K]/$\left\vert\vphantom{ H}\right.$H$\left.\vphantom{ H}\right\vert$, 故利用 L/K 是 Galois extension, 我們有 [$\mathcal {F}$(H) : K] = $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$/$\left\vert\vphantom{ H}\right.$H$\left.\vphantom{ H}\right\vert$. 現若 H₁ $\subseteq$ H₂, 則 $\mathcal {F}$(H₂) $\subseteq$ $\mathcal {F}$(H₁), 故知 [$\mathcal {F}$(H₁) : $\mathcal {F}$(H₂)] = [$\mathcal {F}$(H₁) : K]/[$\mathcal {F}$(H₂) : K] = $\left\vert\vphantom{ H_2}\right.$H₂$\left.\vphantom{ H_2}\right\vert$/$\left\vert\vphantom{ H_1}\right.$H₁$\left.\vphantom{ H_1}\right\vert$. $\qedsymbol$

當 L/K 是 field extension 時, 我們曾提到過探討 L/K 的 intermediate field 是否能保持原來 L/K 的 extension 特質是重要的課題. 例如 Galois 理論的第一個 fundamental theory (Theorem 4.1.5) 就是利用到當 L/K 是 finite Galois extension 時, 對所有 L/K 的 intermediate field F, 皆有 L/F 也是 Galois extension (Proposition 4.1.3). 我們強調過這時 F/K 並不一定也是 Galois extension. 第二個 fundamental theorem 就是要回答何時 F/K 會是 Galois extension.

既然第一個 fundamental theorem 告訴我們 L/K 的 intermediate field 和 Gal(L/K) 的 subgroup 之間的對應關係. 所以我們很自然的會問到 Gal(L/K) 這個 group 的性質會不會影響到 L/K 的 intermediate field 的性質. 下一個 Lemma 就是告訴我們它們之間如何``互動''.

Lemma 4.1.7   假設 L/K 是一個 field extension 且 F 為 L/K 的 intermediate field. 若 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K), 則 $\sigma$(F) 為 L/K 的 intermediate field 且 L/$\sigma$(F) 的 Galois group Gal(L/$\sigma$(F)) 為 $\sigma$oGal(L/F)o$\sigma^{-1}_{}$. 亦即 $\mathcal {G}$($\sigma$(F)) = $\sigma$o$\mathcal {G}$(F)o$\sigma^{-1}_{}$.

証 明. 依定義 $\sigma$(F) = {$\sigma$($\alpha$) | $\alpha$ $\in$ F}, 由於 F 是一個 field 且 $\sigma$ 是 ring homomorphism 可得 $\sigma$(F) 仍為一個 field. 又因為 K $\subseteq$ F $\subseteq$ L 且 $\sigma$ : L$\to$L 是 K-monomorphism, 所以 $\sigma$(K) = K $\subseteq$ $\sigma$(F) $\subseteq$ L. 故知 $\sigma$(F) 是 L/K 的 intermediate field.

現假設 $\tau$ $\in$ Gal(L/$\sigma$(F)), 我們有 $\tau$ : L$\to$L 且對任意 $\alpha$ $\in$ F 皆有 $\tau$($\sigma$($\alpha$)) = $\sigma$($\alpha$). 令 $\rho$ = $\sigma^{-1}_{}$o$\tau$o$\sigma$ : L$\to$L. 因為 Gal(L/K) 是一個 group 且 $\tau$ $\in$ Gal(L/$\sigma$(F)) $\subseteq$ Gal(L/K), 我們知 $\rho$ $\in$ Gal(L/K). 又對於任意 $\alpha$ $\in$ F, 皆有

$$\rho$$($$\alpha$$) = $$\sigma^{-1}_{}$$o$$\tau$$o$$\sigma$$($$\alpha$$) = $$\sigma^{-1}_{}$$($$\tau$$($$\sigma$$($$\alpha$$))) = $$\sigma^{-1}_{}$$($$\sigma$$($$\alpha$$)) = $$\alpha$$,

因此得 $\rho$ $\in$ Gal(L/F). 故得 $\tau$ = $\sigma$o$\rho$o$\sigma^{-1}_{}$ $\in$ $\sigma^{-1}_{}$oGal(L/F)o$\sigma^{-1}_{}$.

反之, 若 $\tau$ $\in$ $\sigma$oGal(L/F)o$\sigma^{-1}_{}$, 表示存在 $\rho$ $\in$ Gal(L/F) 滿足 $\tau$ = $\sigma$o$\rho$o$\sigma^{-1}_{}$. 因為 Gal(L/K) 是一個 group 且 $\rho$ $\in$ Gal(L/F) $\subseteq$ Gal(L/K), 我們知 $\tau$ $\in$ Gal(L/K). 然而對任意 $\alpha$ $\in$ F, 因為 $\rho$ 固定 F 中的元素, 所以 $\rho$($\alpha$) = $\alpha$. 因此對任意 $\alpha$ $\in$ F 皆有

$$\tau$$($$\sigma$$($$\alpha$$)) = $$\sigma$$o$$\rho$$o$$\sigma^{-1}_{}$$($$\sigma$$($$\alpha$$)) = $$\sigma$$($$\rho$$($$\alpha$$)) = $$\sigma$$($$\alpha$$).

得證 $\tau$ $\in$ Gal(L/$\sigma$(F)). $\qedsymbol$

要注意 Lemma 4.1.7 並不需假設 L/K 是 Galois extension. 當 L/K 是 finite Galois extension, 利用 Lemma 4.1.7 我們可得到第二個 fundamental theorem.

Theorem 4.1.8 (Second Fundamental Theorem of Galois Theory)   假設 L/K 是 finite Galois extension 且 F 是 L/K 的一個 intermediate field. 則 F/K 是 Galois extension 若且唯若 Gal(L/F) 是 Gal(L/K) 的 normal subgroup. 而且當 F/K 是 Galois extension 時, Gal(F/K) 和 Gal(L/K)/Gal(L/F) 是 isomorphic.

証 明. 首先回顧 H 是一個 group G 的 normal subgroup 表示 H 是 G 的 subgroup 且對任意 g $\in$ G 皆有 g ^. H ^. g^-1 = H.

現若 F/K 是 Galois extension, 則依定義知 F/K 是 finite normal extension. 對任意 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K), 由於 $\sigma$|_F : F$\to$L 是一個 F 到 L 的 K-monomorphism, 故由 Lemma 3.2.6 知 $\sigma$|_F 是一個 F 到 F 的 K-monomorphism. 換句話說 $\sigma$(F) = F, 因此由 Lemma 4.1.7 知

Gal(L/F) = Gal(L/$$\sigma$$(F)) = $$\sigma$$oGal(L/F)o$$\sigma^{-1}_{}$$.

又因為 Gal(L/F) 是 Gal(L/K) 的 subgroup, 故得證 Gal(L/F) 是 Gal(L/K) 的 normal subgroup.

反之, 若 Gal(L/F) 是 Gal(L/K) 的 normal subgroup, 表示對任意 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 皆有 Gal(L/F) = $\sigma$oGal(L/F)o$\sigma^{-1}_{}$. 故由 Lemma 4.1.7 知 Gal(L/F) = Gal(L/$\sigma$(F)). 也就是說對任意 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 皆有 $\mathcal {G}$(F) = $\mathcal {G}$($\sigma$(F)). 由於 L/K 是 Galois extension, 故得 $\mathcal {G}$ : $\mathfrak{F}\to\mathfrak{G}$ 是一對一的函數 (Theorem 4.1.5), 因此對任意 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 皆有 $\sigma$(F) = F. 換言之, 對任意 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K), 皆有 $\sigma$|_F : F$\to$F 是 F 到 F 的 K-monomorphism, 因此知 $\sigma$|_F $\in$ Gal(F/K). 現考慮函數 $\Psi$ : Gal(L/K)$\to$Gal(F/K), 使得對任意 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K), 定義 $\Psi$($\sigma$) = $\sigma$|_F. 很容易得知 $\Psi$ 是一個 group homomorphism. 若 $\tau$ $\in$ Gal(F/K), 則由於 F $\subseteq$ L 可將 $\tau$ 視為 F 到 L 的 K-monomorphism. 又因為 L/K 是 normal extension, 故利用 Theorem 3.2.7 知存在 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 使得 $\sigma$|_F = $\tau$. 也就是說, 對任意 $\tau$ $\in$ Gal(F/K) 皆存在 $\sigma$ $\in$ Gal(L/K) 使得 $\Psi$($\sigma$) = $\tau$. 證得 $\Psi$ : Gal(L/K)$\to$Gal(F/K) 是 onto. 接著我們要探討 ker($\Psi$) (即 $\Psi$ 的 kernel) 為何. 若 $\sigma$ $\in$ ker($\Psi$), 表示 $\Psi$($\sigma$) = $\sigma$|_F 是 Gal(F/K) 的 identity. 亦即對任意 $\lambda$ $\in$ F 皆有 $\sigma$($\lambda$) = $\sigma$|_F($\lambda$) = $\lambda$. 因此知 $\sigma$ : L$\to$L 將 F 的元素固定, 也就是說 $\sigma$ $\in$ Gal(L/F). 另一方面若 $\sigma$ $\in$ Gal(L/F), 則依定義 $\sigma$ 將 F 的元素固定, 故知 $\sigma$| F : F$\to$F 是 identity. 也就是說 $\sigma$ $\in$ ker($\Psi$), 得證 ker($\Psi$) = Gal(L/F). 因此利用 group 的 first isomorphism 定理 (參見大學基礎代數講義Theorem 2.6.1) 得知:

Gal(F/K) $$\simeq$$ Gal(L/K)/ker($$\Psi$$) = Gal(L/K)/Gal(L/F).

最後利用已知 L/K 為 finite Galois extensions, 得到 L/F 亦為 finite Galois extensions, 所以 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right.$Gal(L/K)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/K)}\right\vert$ = [L : K] 以及 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F)}\right.$Gal(L/F)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/F)}\right\vert$ = [L : F]. 因此得

$$\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(F/K)}\right.$$Gal(F/K)$$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(F/K)}\right\vert$$ = $${\frac{\left\vert\mathrm{Gal}(L/K)\right\vert }{\left\vert\mathrm{Gal}(L/F)\right\vert }}$$ = $${\frac{[L:K]}{[L:F]}}$$ = $${\frac{[L:F][F:K]}{[L:F]}}$$ = [F : K].

故利用 Theorem 4.1.1 得證 F/K 是 Galois extension. $\qedsymbol$

要注意 Theorem 4.1.8 事實上就是證明在 L/K 是 finite Galois extension 的前提之下, F/K 是 normal extension 若且唯若 Gal(L/F) 是 Gal(L/K) 的 normal subgroup. 不過在 F/K 是 normal extension 推導得 Gal(L/F) 是 Gal(L/K) 的 normal subgroup 的過程中我們僅需 L/K 是 normal extension 的假設 (即不需 L/K 是 separable extension). 不過由 Gal(L/F) 是 Gal(L/K) 的 normal subgroup 推導得 F/K 是 normal extension 的過程中我們需要 L/K 是 Galois extension 的假設 (即不只 L/K 是 normal extension 且需 L/K 是 separable extension). 比方說證明中我們用到了 $\mathcal {G}$ 是 1-1 的性質就需 L/K 是 Galois extension 才會對.

我們已經介紹完了在大學代數中需了解的 Galois 理論. 如果你只想知道 Galois 理論是什麼, 那麼原則上讀到這裡已經達到了這個目的, 可以不必繼續研讀下去. 不過若沒有探討一些相關的應用或例子, 或許大家無法理解如何運用這些理論以及其重要性. 從歷史的角度來看, Galois 理論的應用最好的例子, 就是解決了一般多項式方程式的公式解問題以及一些尺規作圖問題. 不過談論這些例子需要再探討一些 Group Theory 的問題. 一來我們不想將討論的東西複雜化以致掩蓋了我們要探討 Galois 理論的目的; 二來這些例子的結論在更進階的代數理論中並沒有太多的用處. 因此我們選擇不去探討這些古典的問題, 而在接下來幾節中談論一些在探討更進階的代數理論時可能比較需要的應用與例子.