一些 abelian groups 特有的性質

現在我們來探討一些在一般 groups 不一定對但在 abelian groups 會對的一些性質.

當 G 是 abelian 時, 任取 a, b $\in$ G, 因 a ^. b = b ^. a 我們可以得

(a ^. b)² = (a ^. b) ^. (a ^. b) = a ^. (b ^. a) ^. b = a ^. (a ^. b) ^. b = a^{2 .} b².

利用數學歸納法我們很容易知對所有的 n $\in$ $\mathbb {N}$,

(a ^. b)ⁿ = a^{n .} bⁿ.

以下的 Lemma 告訴我們 G 是 abelian 的另一個好處:

Lemma 3.3.4   若 G 是一個 finite abelian group, m 是一個大於 1 的整數且 m 整除 G 的 order. 考慮集合 M = {g $\in$ G | g^m = e}. 則 M 是 G 的一個 subgroup 且 M$\ne${e}.

証 明. 因 m > 1 故必存在一質數 p 使得 p | m. 由 Theorem 3.3.2 知存在一元素 a $\in$ G 其 order 為 p. 故知 a$\ne$e 且 a^p = e, 但 p | m 故 a^m = e. 也就是 a $\in$ M 故 M$\ne${e}.

現在證 M 是 G 的 subgroup. 首先證封閉性: 若 a, b $\in$ M, 即 a^m = e, b^m = e. 故 (a ^. b)^m = a^{m .} b^m = e, 也就是說 a ^. b $\in$ M. 接下來證反元素存在: 若 a $\in$ M, 因 a^m = e 故 (a^m)^{-1 .} a^m = (a^m)^-1 = (a^-1)^m. 然而又 (a^m)^{-1 .} a^m = e, 故 (a^-1)^m = e. 也就是說 a^-1 $\in$ M. $\qedsymbol$

別忘了因 G 是 abelian 所以 M 會是 G 的一個 normal subgroup, 利用這一點我們可以得到以下有關 finite abelian group 非常重要的性質.

Lemma 3.3.5   設 G 是一個 finite abelian group, 且 | G| = pⁿm, 其中 p$\nmid$m. 令

P = {g $$\in$$ G | g^pn = e}    and    M = {g $$\in$$ G | g^m = e},

則

G $$\simeq$$ P×M.

証 明. 由 Lemma 3.3.4 知 P 和 M 都是 G 的 normal subgroups. 要證明 G $\simeq$ P×M, 我們得利用 Theorem 3.2.4 證明 G = P ^. M 及 P $\cap$ M = {e} 就好. 這兩個性質都要用到 pⁿ 和 m 互質來得到.

因為 pⁿ 和 m 互質, 故存在整數 r 和 s 使得 rpⁿ + sm = 1. 因此對任意的 a $\in$ G, 我們都可寫成

a = a^{rpn + sm} = a^{sm .} a^rpn.

因為

((a^sm)^pn = (a^pnm)^s,

而 | G| = pⁿm, 由 Corollary 2.3.4 知

(a^sm)^pn = e;

也就是說 a^sm $\in$ P. 同理知 a^rpn $\in$ M. 由此知任意的 G 中元素都可寫成一個 P 中的元素乘以 M 中的元素, 所以 G = P ^. M.

另一方面, 若 g $\in$ P $\cap$ M, 因 g $\in$ M, 故 g^m = e. 則由 Lemma 2.3.2 知 ord(g) | m. 同理得 ord(g) | pⁿ. 也就是說 ord(g) 整除 gⁿ 和 m 的最大公因數. 但 gⁿ 和 m 互質, 故得 ord(g) = 1; 也就是說 g = e. 因此得證 P $\cap$ M = {e}. $\qedsymbol$

Lemma 3.3.5 中 P 元素的個數是多少呢? 雖然是收集所有 G 中元素 g 符合 g^pn = e 的元素但不表示其 order 就是 pⁿ. 不過很巧妙的利用 Cauchy 的定理我們確實可以得到 | P| = pⁿ.

Lemma 3.3.6   設 G 是一個 finite abelian group, 且 | G| = pⁿm, 其中 p$\nmid$m. 令

P = {g $$\in$$ G | g^pn = e},

則 P 是 G 的一個 Sylow p-subgroup, 而且 P 是 G 中唯一的 Sylow p-subgroup.

証 明. 首先我們說明若令 M = {g $\in$ G | g^m = e}, 則 p 不能整除 M 的 order. 這是因為若 p 整除 M 的 order, 則由 Cauchy's Theorem 知 M 中存在一元素 a 其 order 為 p, 但 a^m = e, 由 Lemma 2.3.2 知 p | m. 這和假設 p$\nmid$m 矛盾. 故 p 不能整除 | M|.

接下來我們證 P 是一個 p-group. 假設除了 p 以外存在另一質數 q 整除 | P|, 則用和前面相同的方法可得 q | pⁿ, 這又和 p, q 是相異質數矛盾. 換句話說 | P| 除了 p 以外不會有其他的質因數, 所以知存在 r $\in$ $\mathbb {N}$ 使得 | P| = p^r.

由 Lemma 3.3.5 知 G $\simeq$ P×M, 故 | G| = | P| ^. | M|. 因此得

| M| = | G|/| P| = p^{n - r}m.

但 p 不整除 M, 故得 n = r. 也就是說 P 是 G 的一個 Sylow p-subgroup.

最後假設 P' 是 G 中任意的一個 Sylow p-subgroup. 因 | P'| = pⁿ, 由 Lagrange 定理(Corollary 2.3.4) 知對於所有 a $\in$ P', a^pn = e. 也就是說 a $\in$ P. 得證 P' $\subseteq$ P. 然而 | P'| = | P| = pⁿ, 故 P' = P. 這證明了唯一性. $\qedsymbol$

這一次我們要強調 Lemma 3.3.6 是 abelian groups 特有的性質. 它告訴我們此時 Sylow p-subgroup 是長什麼樣子的, 而且是唯一的. 在一般的 group 這不一定是對的.

綜合以上幾個 Lemmas, 我們有以下的結論:

Proposition 3.3.7   設 G 是一個 finite abelian group, 其 order 為

| G| = p₁^{n₁ ...} p_r^n_r,

其中 p₁,..., p_r 是相異的質數. 令 P_i 是 G 中對每一個 p_i 所對應的 Sylow p_i-subgroup, i $\in$ {1,..., r}. 則

G $$\simeq$$ P₁× ^... ×P_r.

証 明. 若令 m = p₂^{n₂ ...} p_r^n_r, 且令 M = {g $\in$ G | g^m = e}, 則由 Lemmas 3.3.5, 3.3.6 知 G $\simeq$ P₁×M. 然而因 | M| = p₂^{n₂ ...} p_r^n_r 故由數學歸納法可知 M $\simeq$ P₂× ^... ×P_n. 因此由 Lemma 3.2.5 得

G $$\simeq$$ P₁×M $$\simeq$$ P₁×P₂× ^... ×P_r.

$\qedsymbol$