Cauchy and Sylow's Theorems for finite abelian groups

G 是 abelian 最好的地方是 G 的任意的 subgroup 都是 normal. 所以很多有關 abelian groups 的性質我們都可以在 G 中找到一個 subgroup 然後再做 quotient group 這樣新的 group 的 order 變小了, 我們就可以用數學歸納法.

要用這種取 quotient group 的數學歸納法一般來說會牽扯上 Correspondence 定理 (忘記這是什麼的同學趕快退回去看一下 Corollary 2.7.3), 另外就是考慮 ord(a) 和 ord($\overline{a}$) 的關係了. 下一個 Lemma 就是告訴我們這個關係, 要注意的是這個 Lemma 並不需要 abelian 的假設:

Lemma 3.3.1   若 N 是 group G 的一個 normal subgroup, a $\in$ G. 考慮 $\overline{a}$ $\in$ G/N, 則

ord($$\overline{a}$$) | ord(a).

而且 ord($\overline{a}$) = ord(a) 若且為若

N $$\cap$$ $$\langle$$a$$\rangle$$ = {e}.

証 明. 假設 ord(a) = n. 則因 aⁿ = e 得 $\overline{a}^{n}_{}$ = $\overline{a^n}$ = $\overline{e}$, 故由 Lemma 2.3.2 知 ord ($\overline{a}$) | n.

假設 ord($\overline{a}$) = m. 今若 N $\cap$ $\langle$a$\rangle$ = {e}, 則因 $\overline{a}^{m}_{}$ = $\overline{e}$ 表示 a^m $\in$ N, 所以得 a^m $\in$ N $\cap$ $\langle$a$\rangle$ = {e}. 換句話說 a^m = e, 再由 Lemma 2.3.2 得 ord(a) = n | m. 然而前已知 m | n, 所以 n = m: 也就是說如果 N $\cap$ $\langle$a$\rangle$ = {e}, 則 ord($\overline{a}$) = ord(a).

反之, 假設 ord($\overline{a}$) = ord(a). 若 x $\in$ N $\cap$ $\langle$a$\rangle$, 由 x $\in$ $\langle$a$\rangle$ 知: 存在一整數 i 使得 x = aⁱ. 不過又由 x $\in$ N, 知 $\overline{a}^{i}_{}$ = $\overline{x}$ = $\overline{e}$. 由此知 ord($\overline{a}$) | i. 然而由假設 ord($\overline{a}$) = ord(a) 得 ord(a) | i, 因此得證 x = aⁱ = e. 也就是說若 ord($\overline{a}$) = ord(a) 則 N $\cap$ $\langle$a$\rangle$ = {e}. $\qedsymbol$

以下就是利用數學歸納法來證明一些 abelian groups 的性質的例子:

Theorem 3.3.2 (Cauchy's Theorem for Abelian Groups)   若 G 是一個 finite abelian group, p 是一個質數, 且 p 整除 G 的 order, 則 G 中存在一個元素其 order 為 p.

証 明. 前面提過我們要用 induction 來證明此定理. 如何用 induction 呢? 我們將對所有的 finite abelian group 的 order 作 induction. 也就是我們將證明這個定理對 order 為 p 的 abelian group 是對的. 然後利用歸納法假設對 order 小於 pk 的 abelian group 也對, 來證出對於 order 為 pk 的 abelian group 也對.

假設 G 的 order 為 p, 由 Corollary 2.2.3 知 G 是一個 cyclic group, 所以若 a $\in$ G 使得 G = $\langle$a$\rangle$, 則 ord(a) = p.

現在假設對於所有的 abelian group G' 如果 | G'| = pr 且 r < k, 則存在 a $\in$ G' 使得 ord(a) = p. 若 | G| = pk, 則有以下三種狀況:

1. G 中無 nontrivial proper subgroup.
2. G 中有一 nontrivial proper subgroup H 且 p 整除 | H|.
3. G 中所有的 nontrivial proper subgroup 其 order 都不能被 p 整除.

如果是狀況 1. 則由 Lemma 3.1.2 知 | G| = p, 這情形已證過. 如果是狀況 2. 則因 H 是 nontrivial proper subgroup 故 | H| < | G|, 而 p 整除 | H| 故 | H| = pr, 其中 r < k. 故由 induction 的假設之存在 a $\in$ H $\subset$ G 且 ord(a) = p. 所以在這情況也得證. 我們真正得處理的就是狀況 3. 在這情況之下我們任取一個 G 的 nontrivial proper subgroup H, 然後考慮 G/H 這個 quotient group (別忘了在此我們用到 G 是 abelian 故 H 是 normal). 由於 p$\nmid$ | H|, 所以 p 整除 | G/H| = | G|/| H|. 再加上 G/H 仍是 abelian group 且 | G/H| < | G| 所以我們可以套用 induction 的假設在 G/H 上, 也就是存在 $\overline{a}$ $\in$ G/H 且 ord($\overline{a}$) = p. 現在我們利用前面的 Lemma 3.3.1 知 p | ord(a); 也就是存在正整數 t 使得 ord(a) = pt. 利用 Proposition 2.3.3 得

ord(a^t) = $${\frac{pt}{\gcd(pt,t)}}$$ = p.

得證在 G 中存在一元素 a^t 其 order 為 p. $\qedsymbol$

這裡要強調這裡我們證的 Cauchy's Theorem 是利用 G 是 abelian 的假設下證明, 雖然這一個證明對 G 不是 abelian 時並不適用, 不過將來我們會用另外的方法證明一般的 Cauchy's Theorem. 也就是說這個定理在 G 不是 abelian 時仍是對的.

我們可以用類似的方法證以下的定理:

Theorem 3.3.3 (Sylow's Theorem for Abelian Groups)   若 G 是一個 finite abelian group, 且 | G| = pⁿm, 其中 p 是 質數且 p$\nmid$m, 則在 G 中存在一個 subgroup P 其 order 為 pⁿ.

証 明. 我們用類似前面 Theorem 3.3.2 的 induction. 當 | G| = pm 時, Theorem 3.3.2 告訴我們存在 a $\in$ G 其 order 為 p, 故此時取 P = $\langle$a$\rangle$ 即可.

現在假設當 | G'| = p^rm, r < n 時, 在 G' 中可找到 subgroup P' 其 order 為 p^r. 當 | G| = pⁿm 時, 由 Theorem 3.3.2 知存在 G 的 subgroup N 其 order 為 p. 因 G 是 abelian 故 N 是 G 的 normal subgroup, 故考慮 G/N 這一個 quotient group. G/N 的 order 是 | G|/| N| = p^{n - 1}m. 故由 induction 的假設知在 G/N 中存在一個 subgroup P' 其 order 為 p^{n - 1}. 再利用 Correspondence 定理 (Corollary 2.7.3) 知 G 中存在一 subgroup P 使得 P' = P/N. 然而 | P| = | P'| ^. | N| = p^{n - 1 .} p = pⁿ, 故得證. $\qedsymbol$

若 p 是一個質數, 而一個 group 的個數是 pⁿ 這種形式時, 我們稱這種 group 為一個 p-group. 當 G 的個數是 pⁿm, 其中 p 和 m 互質時, 若 G 中的 subgroup H 其 order 又剛好是 pⁿ, 則稱 H 是 G 的一個 Sylow p-subgroup. Theorem 3.3.3 告訴我們當 G 是一個 abelian group 時, 其 Sylow p-subgroup 一定存在. 以後我們也會學到在一般的 group 中 Sylow p-subgroup 也一定存在, 這就是所謂的 Sylow 定理.