假如 L 是 n-th cyclotomic field, 則由 Theorem 4.1.4 知 L/ 是 Galois extension, 我們要探討 L/ 的 Galois group Gal(L/) 為何. 首先注意所有 xn - 1 的根在乘法群之下形成一個 cyclic group of order n, 事實上若令 = cos(2/n) + i sin(2/n) 則知 是其 generator. 換言之若 Cn 是所有 xn - 1 的根所成的集合, 則 Cn = { | 1tn} . 因此我們知 L = ().
現若 Gal(L/), 則 ()n = () = 1, 故知 () 仍為 xn - 1 的一個根. 另一方面若 ()m = 1, 表示 () = 1, 故由 是 1-1 知 = 1. 但由於 的 order 為 n, 得證 n | m. 也就是說 () 的 order 也是 n. 在 Cn 中 order 是 n 的元素, 我們稱之為 primitive n-th root of 1. 也就是說若 Gal(L/), 則 () 是一個 primitive n-th root of 1.
那麼 Cn 中有多少 primitive n-th root of 1 呢? 現若 是一個 primitive n-th root of 1, 則由於 的 order 為 n/gcd(t, n) (參見大學基礎代數講義Proposition 2.3.3) 我們得知 gcd(t, n) = 1. 也就是說 primitive n-th root of 1 的個數就是 1 到 n 之間和 n 互質的整數個數. 這個數在整數論中我們用 (n) 來表示, 其中 我們稱之為 Euler -function.
事實上 1 到 n 之間和 n 互質的整數在 /n 中形成一個乘法群, 通常我們都用 (/n)* 來表示. 千萬不要將 /n 和 (/n)* 搞混. 要注意 /n 是一個 order 為 n 的加法群, 而 (/n)* 是一個 order 為 (n) 的乘法群. 另外 /n 是 cyclic group 但 (/n)* 有可能不是 cyclic group, 不過當然仍是 abelian group. 例如 /12 = {,,...,} 是一個 cyclic group generated by . 但
要了解 Gal(L/) 首先就需要知道 [L : ] 為何, 由於 L = (), 所以我們要知道 over 的 minimal polynomial 的 degree 為何. 前面已知若 Gal(L/), 則 () = , 其中 1tn 且滿足 gcd(t, n) = 1, 又由於 () 必為 over 的 minimal polynomial 的一個根, 所以我們很自然會考慮以下的多項式:
首先我們要證明 fn(x) [x], 再利用 [x] 上的分解性質證明 fn(x) 是 [x] 中的 irreducible polynomial.
現在我們要證明 fn(x) [x]. 由於 xn - 1 = (x - ), 所以存在 g(x) L[x] 使得 xn - 1 = fn(x)g(x). 對任意 Gal(L/), 將 作用到兩邊多項式的係數, 得 xn - 1 = fn(x)g(x) = fn(x)g(x). 因此由 [x] 上的唯一分解性質, 得知對任意 Gal(L/) 皆有 g(x) = g(x). 故知 g(x) [x]. 現因為 fn(x) 和 g(x) 都是 [x] 中的 monic polynomial, 所以存在 c1, c2 使得 c1fn(x), c2g(x) [x] 且 c1fn(x) 和 c2g(x) 皆為 primitive polynomials (即各項係數的最大公因數為 1). 因此由 (c1fn(x))(c2g(x)) = c1c2(xn - 1) [x], 利用 Gauss Lemma (參見大學基礎代數講義Lemma 7.3.5) 可得 c1c2 = 1, 故知 fn(x), g(x) [x]. 因此證得 fn(x) [x].
接著我們要證明 fn(x) 在 [x] 是 irreducible polynomial. 不過在證明之前我們需要一個滿技巧性的 Lemma. 首先介紹一下 notation. 若 p 是一個質數 且 a , 則令 p = /p 且 表示 a 在 p 中的值 (即 a modulo p). 同時若 f (x) = amxm + ... + a1x + a0 [x], 則我們令 (x) = xm + ... + x + p[x].
回顧一下因為
p 是一個 p 個元素的 finite field, 所以
p
的 characteristic 為 p 且對任意
a 皆有
= .
因此若
l (x) = xm + am - 1xm - 1 + ... + a1x + a0, 則
(xp) | = | (xp)m + (xp)m - 1 + ... + xp + | |
= | (xm)p + (xm - 1)p + ... + xp + | ||
= | (xm + xm - 1 + ... + x + )p | ||
= | (x)p. |
現在我們可以利用 Lemma 4.3.3 來證明 fn(x) 是 [x] 中的 irreducible polynomial.
現令 h(x) 為 over 的 minimal polynomial, 由於 fn() = 0, 知 h(x) 在 [x] 中整除 fn(x). 但因為 fn(x) 是 [x] 中的 monic polynomial, 由 Gauss Lemma 我們知 h(x) [x] 且存在 l (x) [x] 使得 fn(x) = h(x)l (x) (參見大學基礎代數講義Lemma 7.3.8). 我們要證明若 1tn 且 gcd(t, n) = 1, 則 h() = 0.
假設 t 的質因數分解為 t = p1 ... pr (這裡 pi 未必相異), 由於 gcd(t, n) = 1, 我們知 pin. 由於 gcd(p1, n) = 1, 知 是一個 primitive n-th root of 1, 故知 fn() = 0, 但因為 h() = 0 且 (x) 在 p1[x] 中是 separable polynomial, 由 Lemma 4.3.3 知 不可能是 l (x) 的一個根, 故得 h() = 0. 同理由於 gcd(p2, n) = 1, 我們知 ()p2 也是 primitive n-th root of 1. 故由 fn(()p2) = 0, h() = 0 以及 (x) 在 p2[x] 中是 separable polynomial, 再次利用 Lemma 4.3.3, 我們得知 h() = 0. 因此用 induction, 我們知 h() = h() = 0.
我們證得了所有的 primitive n-th root of 1 都是 h(x) 的根, 而這些 primitive n-th root of 1 又剛好是 fn(x) 所有的根, 故由 h(x) 和 fn(x) 都是 monic polynomial 且 h(x) 整除 fn(x) 得證 h(x) = fn(x). 也就是說 fn(x) 是 [x] 中的 irreducible polynomial.
事實上在 Proposition 4.3.4 中我們證得了 fn(x) 就是 over 的 minimal polynomial.
現考慮函數 : Gal(L/)(/n)*, 其定義為: 若 Gal(L/), 且 () = , 則定 () = /n. 首先檢查 是一個 well-defined 函數. 假設 () = 且 t' 使得 = , 得 = 1. 由於 的 order 為 n, 故得 n | t - t', 也就是 - = = . 因此知 = . 另一方面因為 () 必為 primitive n-th root of 1, 故若 () = , 則 gcd(t, n) = 1, 因此知 () = (/n)*.
接下來檢查 是一個 group homomorphism. 假設 , Gal(L/) 且 () = 以及 () = . 則
現假設 ker(), 表示 () = . 現若 () = , 知 () = = . 因而得知存在 m 使得 t = mn + 1. 故知 () = = = . 也就是說 是 L 到 L 的 identity. 得證 是 1-1. 最後由於 L/ 是 Galois extension, 我們有 Gal(L/) = [L : ] = (n) = (/n)*. 故由 : Gal(L/)(/n)* 是 1-1 得證 是 onto. 因此得證 Gal(L/) (/n)*.
當一個 field extension 是 Galois extension 且其 Galois group 是 abelian group 時, 我們稱此 extension 為 abelian extension. Theorem 4.3.5 就是告訴我們當 L 是一個 cyclotomic field 時, L/ 一定是一個 abelian extension. 特別當 p 是一個質數且 L 是 p-th cyclotomic field, 由於 /p 是 finite field 知 (/p)* 是一個 cyclic group, 所以 L/ 是一個 cyclic extension.
一般來說當 L/K 是一個 abelian extension 且 [L : K] = m 時, 我們知 Gal(L/K) 是一個 order m 的 abelian group. 由 abelian group 的性質知, 對任意滿足 s | m 的正整數 s 皆存在一個 (不一定唯一) subgroup H Gal(L/K) 滿足 H = s. 反之若 H 是 Gal(L/K) 的 subgroup, 由 Lagrange Theorem 知 H | m. 另外因為 Gal(L/K) 是 abelian group, 所以 Gal(L/K) 的 subgroup H 都是 normal subgroup, 而且 H 以及 Gal(L/K)/H 都是 abelian groups. 綜合這些結果, 由 First Fundamental Theorem 4.1.5 我們知道對任意 s | m, 皆存在一個 L/K 的 intermediate field F 滿足 [L : F] = s, 而且我們知 Gal(L/F) 是一個 abelian group of order s. 另外因為 Gal(L/F) 是 Gal(L/K) 的 normal subgroup, 所以由 Second Fundamental Theorem 4.1.8 知 F/K 也是 Galois extension, 而且 Gal(F/K) isomorphic to Gal(L/K)/Gal(L/F) 也是一個 abelian group. 這些結果都可套用到 L 是 cyclotomic field 且 K = 的情形. 因此當 F 是 L/ 的 intermediate field 時, 我們得 L/F 以及 F/ 都是 abelian extension.
我們知道了每一個 cyclotomic field 的 subfield 都是 finite abelian extension over . 事實上反過來也是對的: 任意 finite abelian extension over 都會是某一個 cyclotomic field 的 subfield. 這就是所謂的 Kronecker-Weber Theorem. 當然了這個定理的證明超出了這個講義的範圍, 不過相信若你已熟悉了 Galois 理論, 要探索這些進階的理論已不是難事.