Cyclotomic Fields

當 n 為大於 2 的整數, 則 xⁿ - 1 over $\mathbb {Q}$ 的 splitting field 稱之為 n-th cyclotomic field.

假如 L 是 n-th cyclotomic field, 則由 Theorem 4.1.4 知 L/$\mathbb {Q}$ 是 Galois extension, 我們要探討 L/$\mathbb {Q}$ 的 Galois group Gal(L/$\mathbb {Q}$) 為何. 首先注意所有 xⁿ - 1 的根在乘法群之下形成一個 cyclic group of order n, 事實上若令 $\zeta_{n}^{}$ = cos(2$\pi$/n) + i sin(2$\pi$/n) 則知 $\zeta_{n}^{}$ 是其 generator. 換言之若 C_n 是所有 xⁿ - 1 的根所成的集合, 則 C_n = {$\zeta_{n}^{t}$ | 1$\le$t$\le$n} . 因此我們知 L = $\mathbb {Q}$($\zeta_{n}^{}$).

現若 $\sigma$ $\in$ Gal(L/$\mathbb {Q}$), 則 $\sigma$($\zeta_{n}^{}$)ⁿ = $\sigma$($\zeta_{n}^{n}$) = 1, 故知 $\sigma$($\zeta_{n}^{}$) 仍為 xⁿ - 1 的一個根. 另一方面若 $\sigma$($\zeta_{n}^{}$)^m = 1, 表示 $\sigma$($\zeta_{n}^{m}$) = 1, 故由 $\sigma$ 是 1-1 知 $\zeta_{n}^{m}$ = 1. 但由於 $\zeta_{n}^{}$ 的 order 為 n, 得證 n | m. 也就是說 $\sigma$($\zeta_{n}^{}$) 的 order 也是 n. 在 C_n 中 order 是 n 的元素, 我們稱之為 primitive n-th root of 1. 也就是說若 $\sigma$ $\in$ Gal(L/$\mathbb {Q}$), 則 $\sigma$($\zeta_{n}^{}$) 是一個 primitive n-th root of 1.

那麼 C_n 中有多少 primitive n-th root of 1 呢? 現若 $\zeta_{n}^{t}$ 是一個 primitive n-th root of 1, 則由於 $\zeta_{n}^{t}$ 的 order 為 n/gcd(t, n) (參見大學基礎代數講義Proposition 2.3.3) 我們得知 gcd(t, n) = 1. 也就是說 primitive n-th root of 1 的個數就是 1 到 n 之間和 n 互質的整數個數. 這個數在整數論中我們用 $\phi$(n) 來表示, 其中 $\phi$ 我們稱之為 Euler $\phi$-function.

事實上 1 到 n 之間和 n 互質的整數在 $\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$ 中形成一個乘法群, 通常我們都用 ($\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$)^* 來表示. 千萬不要將 $\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$ 和 ($\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$)^* 搞混. 要注意 $\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$ 是一個 order 為 n 的加法群, 而 ($\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$)^* 是一個 order 為 $\phi$(n) 的乘法群. 另外 $\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$ 是 cyclic group 但 ($\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$)^* 有可能不是 cyclic group, 不過當然仍是 abelian group. 例如 $\mathbb {Z}$/12$\mathbb {Z}$ = {$\overline{0}$,$\overline{1}$,...,$\overline{11}$} 是一個 cyclic group generated by $\overline{1}$. 但

($$\mathbb {Z}$$/12$$\mathbb {Z}$$)^* = {$$\overline{1}$$,$$\overline{5}$$,$$\overline{7}$$,$$\overline{11}$$}    且    $$\overline{5}$$ ² = $$\overline{25}$$ = $$\overline{1}$$,    $$\overline{7}$$ ² = $$\overline{49}$$ = $$\overline{1}$$,    $$\overline{11}$$ ² = $$\overline{121}$$ = $$\overline{1}$$,

所以 ($\mathbb {Z}$/12$\mathbb {Z}$)^* 是一個 order 為 $\phi$(12) = 4 的 abelian group 但不是 cyclic group.

要了解 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 首先就需要知道 [L : $\mathbb {Q}$] 為何, 由於 L = $\mathbb {Q}$($\zeta_{n}^{}$), 所以我們要知道 $\zeta_{n}^{}$ over $\mathbb {Q}$ 的 minimal polynomial 的 degree 為何. 前面已知若 $\sigma$ $\in$ Gal(L/$\mathbb {Q}$), 則 $\sigma$($\zeta_{n}^{}$) = $\zeta_{n}^{t}$, 其中 1$\le$t$\le$n 且滿足 gcd(t, n) = 1, 又由於 $\sigma$($\zeta_{n}^{}$) 必為 $\zeta_{n}^{}$ over $\mathbb {Q}$ 的 minimal polynomial 的一個根, 所以我們很自然會考慮以下的多項式:

f_n(x) = $$\prod_{1\le t\le n,\,\gcd(t,n)=1}^{}$$(x - $$\zeta_{n}^{t}$$).

這個多項式我們稱為 n-th cyclotomic polynomial. 以下我們要證明 f_n(x) $\in$ $\mathbb {Q}$[x] 且是 $\mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible polynomial, 因而得知 f_n(x) 是 $\zeta_{n}^{}$ over $\mathbb {Q}$ 的 minimal polynomial. 這個證明點煩雜, 我們需要好幾個步驟來證明. 若接受這事實, 可以直接跳過從 Theorem 4.3.5 繼續研讀.

首先我們要證明 f_n(x) $\in$ $\mathbb {Z}$[x], 再利用 $\mathbb {Z}$[x] 上的分解性質證明 f_n(x) 是 $\mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible polynomial.

Lemma 4.3.2   若 f_n(x) 是 n-th cyclotomic polynomial, 則 f_n(x) $\in$ $\mathbb {Z}$[x].

証 明. 我們要利用和 Theorem 4.1.1 (2) $\Rightarrow$ (3) 的證明類似的方法先證明 f_n(x) $\in$ $\mathbb {Q}$[x]. 若令 L = $\mathbb {Q}$($\zeta_{n}^{}$), 則 f_n(x) $\in$ L[x]. 對任意 $\sigma$ $\in$ Gal(L/$\mathbb {Q}$), 由於 $\sigma$($\zeta_{n}^{}$) = $\zeta_{n}^{s}$ 其中 gcd(s, n) = 1, 我們知當 gcd(t, n) = 1 時 $\sigma$($\zeta_{n}^{t}$) = $\sigma$($\zeta_{n}^{}$)^t = $\zeta_{n}^{st}$ 仍為 primitive n-th root of 1 (因為 gcd(st, n) = 1). 也就是說

f_n^$\sigma$(x) = $$\prod_{1\le t\le n,\,\gcd(t,n)=1}^{}$$(x - $$\sigma$$($$\zeta_{n}^{t}$$)) = f (x).

換言之, f_n(x) 每一項的係數會被 $\sigma$ 固定住. 也就是說 f_n(x) 每一項的係數會落在 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 的 fixed field 中. 但已知 L/$\mathbb {Q}$ 是 Galois extension, 所以 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 的 fixed field 就是 $\mathbb {Q}$, 故得證 f_n(x) $\in$ $\mathbb {Q}$[x].

現在我們要證明 f_n(x) $\in$ $\mathbb {Z}$[x]. 由於 xⁿ - 1 = $\prod_{1\le t\le n}^{}$(x - $\zeta_{n}^{t}$), 所以存在 g(x) $\in$ L[x] 使得 xⁿ - 1 = f_n(x)g(x). 對任意 $\sigma$ $\in$ Gal(L/$\mathbb {Q}$), 將 $\sigma$ 作用到兩邊多項式的係數, 得 xⁿ - 1 = f_n^$\sigma$(x)g^$\sigma$(x) = f_n(x)g^$\sigma$(x). 因此由 $\mathbb {Q}$[x] 上的唯一分解性質, 得知對任意 $\sigma$ $\in$ Gal(L/$\mathbb {Q}$) 皆有 g^$\sigma$(x) = g(x). 故知 g(x) $\in$ $\mathbb {Q}$[x]. 現因為 f_n(x) 和 g(x) 都是 $\mathbb {Q}$[x] 中的 monic polynomial, 所以存在 c₁, c₂ $\in$ $\mathbb {N}$ 使得 c₁f_n(x), c₂g(x) $\in$ $\mathbb {Z}$[x] 且 c₁f_n(x) 和 c₂g(x) 皆為 primitive polynomials (即各項係數的最大公因數為 1). 因此由 (c₁f_n(x))(c₂g(x)) = c₁c₂(xⁿ - 1) $\in$ $\mathbb {Z}$[x], 利用 Gauss Lemma (參見大學基礎代數講義Lemma 7.3.5) 可得 c₁c₂ = 1, 故知 f_n(x), g(x) $\in$ $\mathbb {Z}$[x]. 因此證得 f_n(x) $\in$ $\mathbb {Z}$[x]. $\qedsymbol$

接著我們要證明 f_n(x) 在 $\mathbb {Q}$[x] 是 irreducible polynomial. 不過在證明之前我們需要一個滿技巧性的 Lemma. 首先介紹一下 notation. 若 p 是一個質數 且 a $\in$ $\mathbb {Z}$, 則令 $\mathbb {F}$_p = $\mathbb {Z}$/p$\mathbb {Z}$ 且 $\overline{a}$ 表示 a 在 $\mathbb {F}$_p 中的值 (即 a modulo p). 同時若 f (x) = a_mx^m + ^... + a₁x + a₀ $\in$ $\mathbb {Z}$[x], 則我們令 $\overline{f}$(x) = $\overline{a}_{m}^{}$x^m + ^... + $\overline{a}_{1}^{}$x + $\overline{a}_{0}^{}$ $\in$ $\mathbb {F}$_p[x].

Lemma 4.3.3   假設 L/$\mathbb {Q}$ 是一個 field extension 且 p 是一個質數. 又假設 h(x), l (x) 為 $\mathbb {Z}$[x] 中的 monic polynomials 其中 h(x) 是 $\mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible polynomial. 令 f (x) = h(x)l (x), 若存在 $\alpha$ $\in$ L 滿足 h($\alpha$) = 0 且 l ($\alpha^{p}_{}$) = 0, 則 $\overline{f}$(x) $\in$ $\mathbb {F}$_p[x] 不是一個 separable polynomial.

証 明. 因為 h(x) 是 $\mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible polynomial 且 h($\alpha$) = 0, 知 h(x) 是 $\alpha$ over $\mathbb {Q}$ 的 minimal polynomial. 令 g(x) = l (x^p) $\in$ $\mathbb {Z}$[x], 因為 l ($\alpha^{p}_{}$) = 0, 我們知 g($\alpha$) = 0, 故由 h(x) 是 $\alpha$ over $\mathbb {Q}$ 的 minimal polynomial 知 h(x) 在 $\mathbb {Q}$[x] 中整除 g(x). 又由於 h(x) 為 $\mathbb {Z}$[x] 中的 monic polynomial, 利用 Gauss Lemma 我們知 h(x) 也在 $\mathbb {Z}$[x] 中整除 g(x) (參見大學基礎代數講義Lemma 7.3.7). 也就是說存在 e(x) $\in$ $\mathbb {Z}$[x] 使得 l (x^p) = g(x) = e(x)h(x).

回顧一下因為 $\mathbb {F}$_p 是一個 p 個元素的 finite field, 所以 $\mathbb {F}$_p 的 characteristic 為 p 且對任意 a $\in$ $\mathbb {Z}$ 皆有 $\overline{a}^{p}_{}$ = $\overline{a}$. 因此若 l (x) = x^m + a_{m - 1}x^{m - 1} + ^... + a₁x + a₀, 則

$$\overline{l} \overline{a}_{m-1}^{} \overline{a}_{1}^{} \overline{a}_{0}^{}$$ =

$$\overline{a}^{p}_{m-1} \overline{a}_{1}^{p} \overline{a}_{0}^{p}$$ =

$$\overline{a}_{m-1}^{} \overline{a}_{1}^{} \overline{a}_{0}^{}$$ =

$$\overline{l}$$ =

故得 $\overline{l}$(x)^p = $\overline{e}$(x)$\overline{h}$(x). 要注意 $\overline{h}$(x) 未必是 $\mathbb {F}$_p[x] 中的 irreducible polynomial, 不過一定存在一個 $\mathbb {F}$_p[x] 中的 irreducible polynomial q(x) 整除 $\overline{h}$(x), 又因為 $\overline{h}$(x) 整除 $\overline{l}$(x)^p, 所以 q(x) 也整除 $\overline{l}$(x)^p. 因此利用 $\mathbb {F}$_p[x] 是一個 unique factorization domain 以及 q(x) 是 $\mathbb {F}$_p[x] 中的 irreducible polynomial, 可得 q(x) 整除 $\overline{l}$(x). 換言之, 存在 d₁(x), d₂(x) $\in$ $\mathbb {F}$_p[x] 使得 $\overline{h}$(x) = d₁(x)q(x) 且 $\overline{l}$(x) = d₂(x)q(x). 這會導致

$$\overline{f}$$(x) = $$\overline{h}$$(x)$$\overline{l}$$(x) = q(x)²d₁(x)d₂(x),

所以 $\overline{f}$(x) 不可能是 separable polynomial. $\qedsymbol$

現在我們可以利用 Lemma 4.3.3 來證明 f_n(x) 是 $\mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible polynomial.

Proposition 4.3.4   若 f_n(x) 是 n-th cyclotomic polynomial, 則 f_n(x) 是 $\mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible polynomial.

証 明. 首先觀察若 p 是一個質數且 p$\nmid$n, 則 $\overline{f_n}$(x) $\in$ $\mathbb {F}$_p[x] 是一個 separable polynomial. 這是因為在 Lemma 4.3.2 的證明中我們知存在 g(x) $\in$ $\mathbb {Z}$[x] 使得 xⁿ - 1 = f_n(x)g(x), 因此由 xⁿ - 1 = $\overline{f_n}$(x)$\overline{g}$(x) 知 $\overline{f_n}$(x) 在 $\mathbb {F}$_p[x] 中整除 xⁿ - 1. 但是 xⁿ - 1 在 $\mathbb {F}$_p[x] 中的微分是 $\overline{n}$x^{n - 1}, 其中因 p$\nmid$n, 所以 $\overline{n}$$\ne$ 0. 因此我們知在 $\mathbb {F}$_p[x] 中 gcd(xⁿ - 1,$\overline{n}$x^{n - 1}) = 1, 故由 Lemma 3.3.5 知 x^m - 1 在 $\mathbb {F}$_p[x] 中是 separable polynomial. 也因此由 $\overline{f_n}$(x) 在 $\mathbb {F}$_p[x] 中是 xⁿ - 1 的因式, 得知 $\overline{f_n}$(x) 是 $\mathbb {F}$_p[x] 中的 separable polynomial.

現令 h(x) 為 $\zeta_{n}^{}$ over $\mathbb {Q}$ 的 minimal polynomial, 由於 f_n($\zeta_{n}^{}$) = 0, 知 h(x) 在 $\mathbb {Q}$[x] 中整除 f_n(x). 但因為 f_n(x) 是 $\mathbb {Z}$[x] 中的 monic polynomial, 由 Gauss Lemma 我們知 h(x) $\in$ $\mathbb {Z}$[x] 且存在 l (x) $\in$ $\mathbb {Z}$[x] 使得 f_n(x) = h(x)l (x) (參見大學基礎代數講義Lemma 7.3.8). 我們要證明若 1$\le$t$\le$n 且 gcd(t, n) = 1, 則 h($\zeta_{n}^{t}$) = 0.

假設 t 的質因數分解為 t = p₁ ^... p_r (這裡 p_i 未必相異), 由於 gcd(t, n) = 1, 我們知 p_i$\nmid$n. 由於 gcd(p₁, n) = 1, 知 $\zeta_{n}^{p_1}$ 是一個 primitive n-th root of 1, 故知 f_n($\zeta_{n}^{p_1}$) = 0, 但因為 h($\zeta_{n}^{}$) = 0 且 $\overline{f_n}$(x) 在 $\mathbb {F}$_p1[x] 中是 separable polynomial, 由 Lemma 4.3.3 知 $\zeta_{n}^{p_1}$ 不可能是 l (x) 的一個根, 故得 h($\zeta_{n}^{p_1}$) = 0. 同理由於 gcd(p₂, n) = 1, 我們知 ($\zeta_{n}^{p_1}$)^p₂ 也是 primitive n-th root of 1. 故由 f_n(($\zeta_{n}^{p_1}$)^p₂) = 0, h($\zeta_{n}^{p_1}$) = 0 以及 $\overline{f_n}$(x) 在 $\mathbb {F}$_p2[x] 中是 separable polynomial, 再次利用 Lemma 4.3.3, 我們得知 h($\zeta_{n}^{p_1p_2}$) = 0. 因此用 induction, 我們知 h($\zeta_{n}^{t}$) = h($\zeta_{n}^{p_1\cdots p_r}$) = 0.

我們證得了所有的 primitive n-th root of 1 都是 h(x) 的根, 而這些 primitive n-th root of 1 又剛好是 f_n(x) 所有的根, 故由 h(x) 和 f_n(x) 都是 monic polynomial 且 h(x) 整除 f_n(x) 得證 h(x) = f_n(x). 也就是說 f_n(x) 是 $\mathbb {Q}$[x] 中的 irreducible polynomial. $\qedsymbol$

事實上在 Proposition 4.3.4 中我們證得了 f_n(x) 就是 $\zeta_{n}^{}$ over $\mathbb {Q}$ 的 minimal polynomial.

Theorem 4.3.5   若 L 是 n-th cyclotomic field, 則 L/$\mathbb {Q}$ 是一個 degree 為 $\phi$(n) 的 Galois extension 且 Gal(L/$\mathbb {Q}$) 是一個 isomorphic to ($\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$)^* 的 abelian group.

証 明. 我們已知 L/$\mathbb {Q}$ 是一個 Galois extension. 又因為 L = $\mathbb {Q}$($\zeta_{n}^{}$) 且 f_n(x) 為 $\zeta_{n}^{}$ over $\mathbb {Q}$ 的 minimal polynomial, 所以 [L : $\mathbb {Q}$] = deg(f_n(x)) = $\phi$(n).

現考慮函數 $\Psi$ : Gal(L/$\mathbb {Q}$)$\to$($\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$)^*, 其定義為: 若 $\sigma$ $\in$ Gal(L/$\mathbb {Q}$), 且 $\sigma$($\zeta_{n}^{}$) = $\zeta_{n}^{t}$, 則定 $\Psi$($\sigma$) = $\overline{t}$ $\in$ $\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$. 首先檢查 $\Psi$ 是一個 well-defined 函數. 假設 $\sigma$($\zeta_{n}^{}$) = $\zeta_{n}^{t}$ 且 t' $\in$ $\mathbb {Z}$ 使得 $\zeta_{n}^{t}$ = $\zeta_{n}^{t'}$, 得 $\zeta_{n}^{t-t'}$ = 1. 由於 $\zeta_{n}^{}$ 的 order 為 n, 故得 n  |  t - t', 也就是 $\overline{t}$ - $\overline{t'}$ = $\overline{t-t'}$ = $\overline{0}$. 因此知 $\overline{t}$ = $\overline{t'}$. 另一方面因為 $\sigma$($\zeta_{n}^{}$) 必為 primitive n-th root of 1, 故若 $\sigma$($\zeta_{n}^{}$) = $\zeta_{n}^{t}$, 則 gcd(t, n) = 1, 因此知 $\Psi$($\sigma$) = $\overline{t}$ $\in$ ($\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$)^*.

接下來檢查 $\Psi$ 是一個 group homomorphism. 假設 $\sigma$,$\tau$ $\in$ Gal(L/$\mathbb {Q}$) 且 $\sigma$($\zeta_{n}^{}$) = $\zeta_{n}^{t}$ 以及 $\tau$($\zeta_{n}^{}$) = $\zeta^{s}_{}$. 則

$$\tau$$o$$\sigma$$($$\zeta_{n}^{}$$) = $$\tau$$($$\sigma$$($$\zeta_{n}^{}$$)) = $$\tau$$($$\zeta_{n}^{t}$$) = $$\tau$$($$\zeta_{n}^{}$$)^t = ($$\zeta_{n}^{s}$$)^t = $$\zeta_{n}^{st}$$.

我們知若 $\Psi$($\sigma$) = $\overline{t}$ 且 $\Psi$($\tau$) = $\overline{s}$, 則 $\Psi$($\tau$o$\sigma$) = $\overline{st}$ = $\overline{s}$$\overline{t}$. 故得 $\Psi$($\tau$o$\sigma$) = $\Psi$($\tau$)$\Psi$($\sigma$). 得證 $\Psi$ 是一個 group homomorphism.

現假設 $\sigma$ $\in$ ker($\Psi$), 表示 $\Psi$($\sigma$) = $\overline{1}$. 現若 $\sigma$($\zeta_{n}^{}$) = $\zeta_{n}^{t}$, 知 $\Psi$($\sigma$) = $\overline{t}$ = $\overline{1}$. 因而得知存在 m $\in$ $\mathbb {Z}$ 使得 t = mn + 1. 故知 $\sigma$($\zeta_{n}^{}$) = $\zeta_{n}^{t}$ = $\zeta_{n}^{mn+1}$ = $\zeta_{n}^{}$. 也就是說 $\sigma$ 是 L 到 L 的 identity. 得證 $\Psi$ 是 1-1. 最後由於 L/$\mathbb {Q}$ 是 Galois extension, 我們有 $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})}\right.$Gal(L/$\mathbb {Q}$)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})}\right\vert$ = [L : $\mathbb {Q}$] = $\phi$(n) = $\left\vert\vphantom{(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*}\right.$($\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$)^*$\left.\vphantom{(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*}\right\vert$. 故由 $\Psi$ : Gal(L/$\mathbb {Q}$)$\to$($\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$)^* 是 1-1 得證 $\Psi$ 是 onto. 因此得證 Gal(L/$\mathbb {Q}$) $\simeq$ ($\mathbb {Z}$/n$\mathbb {Z}$)^*. $\qedsymbol$

當一個 field extension 是 Galois extension 且其 Galois group 是 abelian group 時, 我們稱此 extension 為 abelian extension. Theorem 4.3.5 就是告訴我們當 L 是一個 cyclotomic field 時, L/$\mathbb {Q}$ 一定是一個 abelian extension. 特別當 p 是一個質數且 L 是 p-th cyclotomic field, 由於 $\mathbb {Z}$/p$\mathbb {Z}$ 是 finite field 知 ($\mathbb {Z}$/p$\mathbb {Z}$)^* 是一個 cyclic group, 所以 L/$\mathbb {Q}$ 是一個 cyclic extension.

一般來說當 L/K 是一個 abelian extension 且 [L : K] = m 時, 我們知 Gal(L/K) 是一個 order m 的 abelian group. 由 abelian group 的性質知, 對任意滿足 s | m 的正整數 s 皆存在一個 (不一定唯一) subgroup H $\subseteq$ Gal(L/K) 滿足 $\left\vert\vphantom{ H}\right.$H$\left.\vphantom{ H}\right\vert$ = s. 反之若 H 是 Gal(L/K) 的 subgroup, 由 Lagrange Theorem 知 $\left\vert\vphantom{ H}\right.$H$\left.\vphantom{ H}\right\vert$ | m. 另外因為 Gal(L/K) 是 abelian group, 所以 Gal(L/K) 的 subgroup H 都是 normal subgroup, 而且 H 以及 Gal(L/K)/H 都是 abelian groups. 綜合這些結果, 由 First Fundamental Theorem 4.1.5 我們知道對任意 s | m, 皆存在一個 L/K 的 intermediate field F 滿足 [L : F] = s, 而且我們知 Gal(L/F) 是一個 abelian group of order s. 另外因為 Gal(L/F) 是 Gal(L/K) 的 normal subgroup, 所以由 Second Fundamental Theorem 4.1.8 知 F/K 也是 Galois extension, 而且 Gal(F/K) isomorphic to Gal(L/K)/Gal(L/F) 也是一個 abelian group. 這些結果都可套用到 L 是 cyclotomic field 且 K = $\mathbb {Q}$ 的情形. 因此當 F 是 L/$\mathbb {Q}$ 的 intermediate field 時, 我們得 L/F 以及 F/$\mathbb {Q}$ 都是 abelian extension.

我們知道了每一個 cyclotomic field 的 subfield 都是 finite abelian extension over $\mathbb {Q}$. 事實上反過來也是對的: 任意 finite abelian extension over $\mathbb {Q}$ 都會是某一個 cyclotomic field 的 subfield. 這就是所謂的 Kronecker-Weber Theorem. 當然了這個定理的證明超出了這個講義的範圍, 不過相信若你已熟悉了 Galois 理論, 要探索這些進階的理論已不是難事.