Finite Fields

首先我們簡單的回顧一下有關 finite field 的基本性質, 詳細情形可參考大學基礎代數講義Chapter 10 Section 4.

若 K 是一個 finite field 我們知 K 的 characteristic 一定是一個質數 p. 也就是說對任意 a $\in$ K 皆有 pa = 0, 由此可推出若 a, b $\in$ K, 則 (a + b)^p = a^p + b^p 甚而用 induction 得到對任意 m $\in$ $\mathbb {N}$ 皆有 (a + b)^pm = a^pm + b^pm. 由於 K 的 characteristic 為 p, 我們知 $\mathbb {F}$_p = {0, 1, ^... , p - 1} 為一個 field (事實上 $\mathbb {F}$_p $\simeq$ $\mathbb {Z}$/p$\mathbb {Z}$) 且包含於 K. 因此得 K/$\mathbb {F}$_p 是一個 finite extension. 假若 [K : $\mathbb {F}$_p] = n, 則可得 $\left\vert\vphantom{ K}\right.$K$\left.\vphantom{ K}\right\vert$ = pⁿ, 因此所有的 finite field 的元素個數都是 pⁿ 這種形式.

現假設 K 是 finite field 且 $\left\vert\vphantom{ K}\right.$K$\left.\vphantom{ K}\right\vert$ = pⁿ. 由於 K^* = K $\setminus$ {0} 是一個 order 為 pⁿ - 1 的乘法群故由 Lagrange theorem 知對任意 a $\in$ K^* 皆有 a^{pn - 1} = 1, 因此 K 中元素 (包括 0) 都滿足 x^pn - x = 0. 但由於 x^pn - x 至多只有 pⁿ 個根, 所以 K 中元素剛好就是 x^pn - x 的所有的根. 得知 K 是 x^pn - x over $\mathbb {F}$_p 的 splitting field. 由於 splitting filed 的唯一性 (Proposition 3.1.8) 而後提到 q = pⁿ 個元素的 finite field 我們都用 $\mathbb {F}$_q 來表示.

假如 L/$\mathbb {F}$_q 是一個 finite extension 且 [L : $\mathbb {F}$_q] = m, 則知 $\left\vert\vphantom{ L}\right.$L$\left.\vphantom{ L}\right\vert$ = q^m, 換言之 L = $\mathbb {F}$_q^m. 現考慮一個函數 $\varphi_{q}^{}$ : $\mathbb {F}$_q^m$\to$$\mathbb {F}$_q^m 定義為 $\varphi_{q}^{}$($\alpha$) = $\alpha^{q}_{}$, $\forall$ $\alpha$ $\in$ $\mathbb {F}$_q^m. 由於對任意 $\alpha$,$\beta$ $\in$ $\mathbb {F}$_q^m 皆有

$$\varphi_{q}^{}$$($$\alpha$$ + $$\beta$$) = ($$\alpha$$ + $$\beta$$)^q = $$\alpha^{q}_{}$$ + $$\beta^{q}_{}$$ = $$\varphi_{q}^{}$$($$\alpha$$) + $$\varphi_{q}^{}$$($$\beta$$)

以及

$$\varphi_{q}^{}$$($$\alpha$$$$\beta$$) = ($$\alpha$$$$\beta$$)^q = $$\alpha^{q}_{}$$$$\beta^{q}_{}$$ = $$\varphi_{q}^{}$$($$\alpha$$)$$\varphi_{q}^{}$$($$\beta$$),

我們得知 $\varphi_{q}^{}$ 是一個 $\mathbb {F}$_q^m 到 $\mathbb {F}$_q^m 的 ring homomorphism. 又因為 $\mathbb {F}$_q^m 是一個 field 且對任意 a $\in$ K 皆有 $\varphi_{q}^{}$(a) = a^q = a, 故知 $\varphi_{q}^{}$ 是一個 $\mathbb {F}$_q^m 到 $\mathbb {F}$_q^m 的 $\mathbb {F}$_q-monomorphism. 也就是說 $\varphi_{q}^{}$ $\in$ Gal($\mathbb {F}$_q^m/$\mathbb {F}$_q). 我們稱 $\varphi_{q}^{}$ 為 $\mathbb {F}$_q^m/$\mathbb {F}$_q 的 Frobenius automorphism.

Theorem 4.3.1   假設 L/$\mathbb {F}$_q 是一個 finite extension, 則 L/$\mathbb {F}$_q 是一個 Galois extension. 若 $\varphi_{q}^{}$ : L$\to$L 滿足 $\varphi_{q}^{}$($\alpha$) = $\alpha^{q}_{}$, $\forall$ $\alpha$ $\in$ L 為 L/$\mathbb {F}$_q 的 Frobenius automorphism, 則 Gal(L/$\mathbb {F}$_q) 是一個 cyclic group generated by $\varphi_{q}^{}$.

証 明. 假設 [L : $\mathbb {F}$_q] = m. 前面已知 $\varphi_{q}^{}$ $\in$ Gal(L/$\mathbb {F}$_q). 考慮 H = $\langle$$\varphi_{q}^{}$$\rangle$ 為 Gal(L/$\mathbb {F}$_q) 的一個 generated by $\varphi_{q}^{}$ 的 cyclic subgroup. 若能證得 $\varphi_{q}^{}$ 的 order 為 m, 則知 $\left\vert\vphantom{ H}\right.$H$\left.\vphantom{ H}\right\vert$ = m 且由 Proposition 2.3.3 知

m = [L : $$\mathbb {F}$$_q]$$\ge$$$$\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathbb{F}_q)}\right.$$Gal(L/$$\mathbb {F}$$_q)$$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathbb{F}_q)}\right\vert$$$$\ge$$$$\left\vert\vphantom{ H}\right.$$H$$\left.\vphantom{ H}\right\vert$$ = m,

因而得證 [L : $\mathbb {F}$_q] = $\left\vert\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathbb{F}_q)}\right.$Gal(L/$\mathbb {F}$_q)$\left.\vphantom{\mathrm{Gal}(L/\mathbb{F}_q)}\right\vert$ = $\left\vert\vphantom{ H}\right.$H$\left.\vphantom{ H}\right\vert$. 因此若能證得 $\varphi_{q}^{}$ 的 order 為 m, 則我們同時證得 L/$\mathbb {F}$_q 是 Galois extension (Theorem 4.1.1) 且 Gal(L/$\mathbb {F}$_q) = H = $\langle$$\varphi_{q}^{}$$\rangle$.

現在要計算 $\varphi_{q}^{}$ 的 order. 首先因為 $\left\vert\vphantom{ L}\right.$L$\left.\vphantom{ L}\right\vert$ = q^m, 因此 L^* = L $\setminus$ {0} 是一個 order 為 q^m - 1 的 cyclic group. 假設 $\beta$ 為其 generator. 若 $\varphi_{q}^{}$ 的 order 為 r, 則 $\varphi_{q}^{r}$ 是 identity, 也就是說 $\varphi_{q}^{r}$($\beta$) = $\beta$. 注意 $\varphi_{q}^{2}$ = $\varphi_{q}^{}$o$\varphi_{q}^{}$, 亦即

$$\varphi_{q}^{2}$$($$\beta$$) = $$\varphi_{q}^{}$$($$\varphi_{q}^{}$$($$\beta$$)) = $$\varphi_{q}^{}$$($$\beta^{q}_{}$$) = $$\beta^{q^2}_{}$$.

因此利用 induction 知 $\varphi_{q}^{r}$($\beta$) = $\beta^{q^r}_{}$, 故由 $\varphi_{q}^{r}$($\beta$) = $\beta$ 得 $\beta^{q^r}_{}$ = $\beta$. 也就是說 $\beta^{q^r-1}_{}$ = 1. 但是 $\beta$ 的 order 為 q^m - 1, 得知 q^r - 1$\ge$q^m - 1, 亦即 r$\ge$m. 另一方面對任意 $\alpha$ $\in$ L, 由於 $\varphi_{q}^{m}$($\alpha$) = $\alpha^{q^m}_{}$ = $\alpha$ (別忘了 $\left\vert\vphantom{ L}\right.$L$\left.\vphantom{ L}\right\vert$ = q^m), 我們知 $\varphi_{q}^{m}$ 是 identity, 故利用 $\varphi_{q}^{}$ 的 order 為 r 的假設知 r$\le$m. 我們證得 $\varphi_{q}^{}$ 的 order 為 m, 故得證本定理. $\qedsymbol$

當一個 field extension 是 Galois extension 且其 Galois group 是 cyclic group 時, 我們稱此 extension 為 cyclic extension. Theorem 4.3.1 就是告訴我們任意 finite field 的 finite extension 都是 cyclic extension.

一般來說當 L/K 是一個 cyclic extension 且 [L : K] = m 時, 我們知 Gal(L/K) 是一個 order m 的 cyclic group. 由 cyclic group 的性質知, 對任意滿足 s | m 的正整數 s 皆存在唯一的 subgroup H $\subseteq$ Gal(L/K) 滿足 $\left\vert\vphantom{ H}\right.$H$\left.\vphantom{ H}\right\vert$ = s. 反之若 H 是 Gal(L/K) 的 subgroup, 由 Lagrange Theorem 知 $\left\vert\vphantom{ H}\right.$H$\left.\vphantom{ H}\right\vert$ | m. 另外因為 Gal(L/K) 是 cyclic group, 所以 Gal(L/K) 的 subgroup H 都是 normal subgroup, 而且 H 以及 Gal(L/K)/H 都是 cyclic groups. 綜合這些結果, 由 First Fundamental Theorem 4.1.5 我們知道對任意 s | m, 存在唯一的 L/K 的 intermediate field F 滿足 [L : F] = s, 而且我們知 Gal(L/F) 是一個 cyclic group of order s. 另外因為 Gal(L/F) 是 Gal(L/K) 的 normal subgroup, 所以由 Second Fundamental Theorem 4.1.8 知 F/K 也是 Galois extension, 而且 Gal(F/K) isomorphic to Gal(L/K)/Gal(L/F) 也是一個 cyclic group. 這些結果都可套用到 K = $\mathbb {F}$_q 的情形, 而且當 F 是 L/$\mathbb {F}$_q 的 intermediate field 時, 將 L/F 以及 F/$\mathbb {F}$_q 套用 Theorem 4.3.1 的結果是和我們以上的討論結果相吻合的.