Roots of Polynomials

証明. 由於 F 是一個 field, 考� f (x) $\in$ F[x] 以及 (x - a) $\in$ F[x], 利用 Euclid's Algorithm (Theorem 7.2.4) 知存在 h(x), r(x) $\in$ F[x] 滿足 f (x) = (x - a)^.h(x) + r(x), 其中 r(x) = 0 或 deg(r(x)) < deg(x - a) = 1. 如果 r(x) $\ne$ 0 由 deg(r(x)) < 1 知 r(x) = c $\in$ F 是一個常數. 但由於 f (a) = 0 故將 a 代入 f (x) = (x - a)^.h(x) + c 得 c = 0, 此和 r(x) $\ne$ 0 相矛盾故知 r(x) = 0. 也就是 f (x) = (x - a)^.h(x). 至於 deg(h(x)) = n - 1, 可由 Lemma 7.2.2 直接得知. $\qedsymbol$

由於 deg(x - a) = 1, 我們知道 x - a 是 F[x] 中的 irreducible element. 因此 Lemma 10.3.1 告訴我們若 f (a) = 0, 則 x - a 會是 f (x) 的一個 irreducible divisor. 利用 F[x] 是 unique factorization domain (Theorem 7.2.14), 我們知存在 k $\in$ $\mathbb {N}$ 以及 q(x) $\in$ F[x] 使得 f (x) = (x - a)^{k .}q(x), 其中 q(a) $\ne$ 0 (即 x - a 不是 q(x) 的 divisor). 我們依此來定義 a 在 f (x) 的重根數.

接下來也是大家熟悉的定理: 一個 n 次多項式在一個 field 中計算重根在內至多有 n 個根. 這裡指的計算重根在內是說如果 a 是 k 重根, 則要算成是 k 個根.

証明. 我們利用 induction. 如果 deg(f (x)) = 1, 則 f (x) 當然僅有 1 個根. 假設 degree 小於 n 的 polynomial 定理皆成立. 畢瓞 f (x) $\in$ F[x] 且 deg(f (x)) = n 的情形. 如果 f (x) 在 F 中沒有 root, 則定理當然成立. 如果 a $\in$ F 是 f (x) 的一個 root of multiplicity k, 即表示存在 q(x) $\in$ F[x] 使得 f (x) = (x - a)^{k .}q(x), 其中 q(a) $\ne$ 0. 利用 degree 的性質 (Lemma 7.2.2) 我們有 deg(q(x)) = n - k < n, 故利用 induction 的假設知在 F 中將 multiplicity 計算在內, q(x) 至多有 n - k 個 roots. 然而若 b $\in$ F 是 f (x) 的一個 root, 我們有

0 = f (b) = (b - a)^{k .}q(b).

利用 F 是 integral domain, 我們知 f (x) 的 roots 要不是 a 就是 q(x) 的 roots. 因此在 F 中 f (x) roots 的個數就是 k 加上 q(x) 的 roots 的個數, 所以至多有 k + (n - k) = n 個. $\qedsymbol$

我們要看一個元素 a 是否是 f (x) 的一個根, 大家直覺的想法就是將 a 代入 f (x) 看是否為 0. 事實上這是不對的, 要將 a 代入 f (x) 牽扯上 a 和 f (x) 的係數間的加法和乘法. 換言之如果 a 座落在一個包含 F 和 a 的 field L (至少要是 ring) 中, 這樣我們� 可以將 a 和 f (x) 的係數考憐足O L 的元素而加以運算. 這樣 f (a) (看成是 L 的元素) � 有意義. 這就是為甚麼我們前面的討論都會先給 F 的一個 extension L, 然後再談論 a $\in$ L 與 F[x] 中的 polynomials 的關係. 所以我們自然會問: 給定任一非常數的 f (x) $\in$ F[x] 是否可以找到 F 的一個 extension L 使得 f (x) 在 L 中有根? 答案是肯定的. 以下的定理就是回答這個問題. 我們將會建構一個 F 的 extension field 然後說明在其中可找到一個根. 這個定理的證明同學或逖覺得``虛虛''的, 因為好像沒有真的在找根的感覺. 不過這就是數學在談存在性所關心的重點, 我們只要知道東西存在而不必真正告訴你東西是什麼.

証明. 令 L = F[x]/ $\bigl($ p(x) $\bigr)$ . 由於 p(x) 是 irreducible, 我們知 $\bigl($ p(x) $\bigr)$ 是 F[x] 中的 maximal ideal, 故知 L 是一個 field.

首先我們要驗證 L 中存在一個 subfield 和 F 是 isomorphic 的, 因此我們可以將 L 看成是 F 的一個 extension. 事實上考� $\pi$ : F $\to$ F[x]/ $\bigl($ p(x) $\bigr)$ , 定義成 $\pi$ (c) = $\overline{c}$ , 很容易驗證 $\pi$ 是一個 ring homomorphism. 也很容易驗證 $\pi$ 是一對一的: 這是因為如果 c $\in$ ker( $\pi$ ), 表示 $\overline{c}$ = $\overline{0}$ , 即 c $\in$ $\bigl($ p(x) $\bigr)$ . 但是 $\bigl($ p(x) $\bigr)$ 中除了 0 以� 沒有其他的常數, 故得 c = 0 (也可套用 Proposition 9.1.5 (2) 得到 $\pi$ 是一對一). 因此得證 im( $\pi$ ) 是 L 的 subfield 且和 F 是 isomorphic 的.

畢b要證明 L 中存在一元素是 p(x) 的根. 考� a = $\overline{x}$ $\in$ L, 我們要說明 p( $\overline{x}$ ) = $\overline{0}$ (注意 $\overline{0}$ 是 L = F[x]/ $\bigl($ p(x) $\bigr)$ 的 0). 假設 p(x) = a_nxⁿ + ^... + a₁x + a₀, 其中 a_i $\in$ F. 那麼 p(a) 會是什麼呢? 別忘了我們提過這裡代入 a 必須用到的是 L 中的運算, 而在 L 中 c $\in$ F 是需經過 $\pi$ 送到 L 的, 換句話說我們必須考憚漪O $\overline{c}$ . 因此有

p(a)	=	p( $\displaystyle \overline{x}$ )
	=	a_n^. $\displaystyle \overline{x}^{n}_{}$ + ^... + a₁^. $\displaystyle \overline{x}$ + a₀
	=	$\displaystyle \overline{a_n}$ ^. $\displaystyle \overline{x}^{n}_{}$ + ^... + $\displaystyle \overline{a_1}$ ^. $\displaystyle \overline{x}$ + $\displaystyle \overline{a_0}$ ( $\displaystyle \mbox{依 $L$\ 的運算定義}$ )
	=	$\displaystyle \overline{a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0}$
	=	$\displaystyle \overline{p(x)}$ = $\displaystyle \overline{0}$

所以 L 中真的存在一個元素代入 p(x) 等於 L 中的 0.

最後由 Lemma 9.3.6 知 [L : F] = dim_F(L) = dim_F(F[x]/ $\bigl($ p(x) $\bigr)$ ) = deg(p(x)). $\qedsymbol$

我們可以一直套用 Corollary 10.3.5 找到一個 F 的 finite extension L' 使得 f (x) 在 L' 中可以完全分解. 這裡所謂的 f (x) 在 L' 完全分解就是說: 如果 deg(f (x)) = n, 則 f (x) 在 L'[x] 中可以寫成 f (x) = c^.(x - a₁)^...(x - a_n), 其中 a_i $\in$ L'. 此時我們通常稱 f (x) splits into linear factors in L'.

証明. 利用 Corollary 10.3.5 知存在 L₁ 是 F 的一個 extension 滿足 [L₁ : F] $\le$ n 且 a₁ $\in$ L₁ 使得 f (a₁) = 0. 故由 Lemma 10.3.1 知存在 f₁(x) $\in$ L₁[x] 且 deg(f₁(x)) = n - 1 使得 f (x) = (x - a₁)^.f₁(x). 對 f₁(x) 再套用一次 Corollary 10.3.5 知存在 L₂ 是 L₁ 的一個 extension 滿足 [L₂ : L₁] $\le$ n - 1 且 a₂ $\in$ L₂ 使得 f₁(a₂) = 0. 注意此時

[L₂ : F] = [L₂ : L₁][L₁ : F] $\displaystyle \le$ n(n - 1),

且存在 f₂(x) $\in$ L₂[x] 使得

f (x) = (x - a₁)^.(x - a₂)^.f₂(x).

所以這樣一直作下去 (或是對 degree 作 induction) 我們得證本定理. $\qedsymbol$

最後我們強調一下 Theorem 10.3.6 裡的 L' 當然會因 f (x) 不同而不同, 不過事實上我們可以找到一個 F 的 extension $\tilde{F}$ 使得 F[x] 中的所有 polynomial 在 $\tilde{F}$ 中都可以 splits into linear factors (當然此時 $\tilde{F}$ 有可能不是 F 的 finite extension). 不過由於這個定理的證明需用到所謂的 Zorn's Lemma, 我們就略去不證了.