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Algebraic Elements

假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension. 要知道 F 中的一個元素 a 是否 algebraic over F, 依定義就必須驗證是否存在一個不為 0 的 f (x) $ \in$ F[x] 使得 f (a) = 0. 一般來說用這種方法來驗證一個元素是否是 algebraic over F, 技術上是相當困難的. 這一節中我們將討論幾種和原先 algebraic element 的定義等價的性質, 這樣以後我們要驗證一個元素是否是 algebraic over F 就有多一點的方法來處理.

首先注意當 a $ \in$ L 是 algebraic over F 時, 事實上滿足 f (x) $ \in$ F[x] 且 f (a) = 0 的多項式有無窮多個. 不過這其中有一個相當特別. 我們首先可以考撩”� f (a) = 0 的 f (x) $ \in$ F[x] 中 degree 最小的 polynomials. 這樣的 polynomials 有以下兩個重要的性質.

Lemma 10.1.1   假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension. 若 a $ \in$ L 是 algebraic over F 且 f (x) $ \in$ F[x] 是 F[x] 中滿足 f (a) = 0 的非 0 多項式中 degree 最小的一個 polynomial, 則 f (x) 有以下兩個性質:
  1. 若 g(x) $ \in$ F[x] 且 g(a) = 0, 則存在 h(x) $ \in$ F[x] 滿足 g(x) = f (x) . h(x).
  2. f (x) 是 F[x] 中的 irreducible element.

証 明. (1) 由於 F 是一個 field, 利用 Euclid's Algorithm (Theorem 7.2.4) 知存在 h(x), r(x) $ \in$ F[x] 使得

g(x) = f (x) . h(x) + r(x) (10.1)

其中 r(x) = 0 或 deg(r(x)) < deg(f (x)). 將 a 代入式子 (10.1) 得

g(a) = f (a) . h(a) + r(a).

由於 f (a) = g(a) = 0, 我們得 r(a) = 0. 如果 r(x)$ \ne$ 0, 則得到 r(x) $ \in$ F[x] 滿足 deg(r(x)) < deg(f (x)) 且 r(a) = 0. 這和 f (x) 當初的選取相矛盾, 故知 r(x) = 0. 也就是說 g(x) = f (x) . h(x).

(2) 假設 f (x) 在 F[x] 中不是 irreducible, 即存在 h(x), l (x) $ \in$ F[x] 滿足 deg(h(x)) < deg(f (x)), deg(l (x)) < deg(f (x)) 且 f (x) = h(x) . l (x). 將 a 代入上式, 由 f (a) = 0 知 h(a) . l (a) = 0. 由於 h(x), l (x) $ \in$ F[x] 且 a $ \in$ L, 我們知 h(a), l (a) $ \in$ L. 故由 L 是 integral domain (Lemma 9.1.1) 得 h(a) = 0 或 l (a) = 0. 這再次和 f (x) 的選取相矛盾, 故知 f (x) 是 F[x] 中的 irreducible element. $ \qedsymbol$

若 f (x) $ \in$ F[x] 是 F[x] 中符合 f (a) = 0 degree 最小的 polynomial 且 g(x) $ \in$ F[x] 滿足 g(a) = 0, 則由 Lemma 10.1.1 (1) 知 g(x) $ \in$ $ \bigl($f (x)$ \bigr)$. 畢b如果 g(x) 也是 F[x] 中符合 g(a) = 0 degree 最小的 polynomial, 則可得 $ \bigl($f (x)$ \bigr)$ = $ \bigl($g(x)$ \bigr)$. 由於 F[x] 中的 unit 都是 F 中的非 0 元素 (Proposition 7.2.3) 利用 Lemma 8.1.3 知存在 c $ \in$ F 使得 f (x) = c . g(x). 所以如果我們將這些次數最低而滿足 f (a) = 0 的 polynomial 除以它們的最高次項係數所得的 monic polynomial 就唯一了. 因此我們有以下之定義.

Definition 10.1.2   假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field 且 a $ \in$ L 是 algebraic over F. 若 p(x) $ \in$ F[x] 是 F[x] 的非 0 polynomial 中滿足 p(a) = 0 degree 最小的 monic polynomial, 則稱 p(x) 是 a over F 的 minimal polynomial. 又如果 deg(p(x)) = n, 則稱 a 是 algebraic over F of degree n.

我們知道當 [L : F] 是有限的時候, L 中的元素都是 algebraic over F. 若 [L : F] = n 且 a $ \in$ L, 則由於 1, a,..., an 一定 linearly independent over F, 故知存在 f (x) $ \in$ F[x] 且 deg(f (x))$ \le$n 使得 f (a) = 0 (詳見 Theorem 9.3.7 的証明) 故由 minimal polynomial 的定義知: 若 p(x) 是 a 的 minimal polynomial, 則 deg(p(x))$ \le$deg(f (x))$ \le$n. 換言之我們得 a 的 degree 小於或等於 [L : F]. 我們將這個結果寫成以下之 Lemma.

Lemma 10.1.3   假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 finite extension, 則 L 中任意的元素都是 algebraic over F 且其 degree 小於或等於 [L : F].

當 L 不是 finite extension over F 時, L 中當然有可能存在元素是 algebraic over F. 如果 a $ \in$ L 是 algebraic over F, 我們想知道 F 和 L 之間是否可以找到一個 field K 是 F 的一個 finite extension 滿足 a $ \in$ K?

Definition 10.1.4   假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field. 若 K 是 L 的一個 extension field 且 F $ \subseteq$ K $ \subseteq$ L, 則稱 K 是 L over F 的一個 subextension 或是 intermediate field.

Proposition 10.1.5   假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field. 若 a $ \in$ L 是 algebraic over F 且其 degree 為 n, 則存在 L over F 的一個 subextension K 滿足 a $ \in$ K 且 [K : F] = n.

証 明. 考� $ \phi$ : F[x]$ \to$L 其中對任意的 f (x) $ \in$ F[x], $ \phi$(f (x)) = f (a). 由於 a $ \in$ L, 所以自然有 $ \phi$(f (x)) = f (a) $ \in$ L, 因此 $ \phi$ 確實是一個從 F[x] 映射到 L 的函數. 很容易驗證 $ \phi$ 是一個 ring homomorphism.

什麼是 ker($ \phi$) 呢? 由於 F[x] 是一個 principle ideal domain 且 ker($ \phi$) 是 F[x] 的一個 ideal, 我們知存在 p(x) $ \in$ f[x] 使得 ker($ \phi$) = $ \bigl($p(x)$ \bigr)$. 事實上 我們可以有 ker($ \phi$) = $ \bigl($p(x)$ \bigr)$ 其中 p(x) 是 a 的 minimal polynomial. 這是因為若 f (x) $ \in$ ker($ \phi$), 則知 $ \phi$(f (x)) = f (a) = 0. 故由 Lemma 10.1.1 知 f (x) $ \in$ $ \bigl($p(x)$ \bigr)$. 反之, 對任意 f (x) $ \in$ $ \bigl($p(x)$ \bigr)$, 存在 h(x) $ \in$ F[x] 使得 f (x) = p(x) . h(x), 因此由 p(a) = 0 得 f (a) = p(a) . h(a) = 0. 故得證 ker($ \phi$) = $ \bigl($p(x)$ \bigr)$, 其中 p(x) 是 a 的 minimal polynomial.

畦� First Isomorphism Theorem (6.4.2) 知

F[x]/$\displaystyle \bigl($p(x)$\displaystyle \bigr)$ $\displaystyle \simeq$ im($\displaystyle \phi$).

然而 p(x) 是 F[x] 的一個 irreducible element (Lemma 10.1.1), 故由 $ \bigl($p(x)$ \bigr)$ 是 F[x] 的一個 maximal ideal (Lemma 8.3.2), 得知 F[x]/$ \bigl($p(x)$ \bigr)$ 是一個 field (Theorem 6.5.11). 換言之 im($ \phi$) 是一個 field.

至於什麼是 im($ \phi$) 呢? 由定義知

im($\displaystyle \phi$) = {f (a) | f (x) $\displaystyle \in$ F[x]}.

換言之, im($ \phi$) 裡的元素都是由某個 F[x] 裡的 polynomial 代入 a 所得. 所以若 c $ \in$ F, 我們自然有 $ \phi$(c) = c $ \in$ im($ \phi$), 故得 F $ \subseteq$ im($ \phi$) $ \subseteq$ L. 另一方面將 a 代入 x 這一個 polynomial 得到 a: 也就是說 $ \phi$ 將 x 送到 a (即 $ \phi$(x) = a), 故知 a $ \in$ im($ \phi$). 所以若令 K = im($ \phi$), 則知 K 是 L over F 的一個 subextension 且 a $ \in$ K. 最後由假設 a over F 的 degree 是 n, 也就是說 a 的 minimal polynomial p(x) 的 degree 是 n, 因此由 Lemma 9.3.6 知 dimF(F[x]/$ \bigl($p(x)$ \bigr)$) = deg(p(x)) = n. 故由 K $ \simeq$ F[x]/$ \bigl($p(x)$ \bigr)$ 知 [K : F] = n. $ \qedsymbol$

若僅由定義來看 Proposition 10.1.5 中的 im($ \phi$) = {f (a) | f (x) $ \in$ F[x]} 只是一個 ring, 那為何它會是 field 呢? 若你記得 Theorem 9.3.7 這就一點都不奇怪了. 因為 im($ \phi$) $ \subseteq$ L 自然是 integral domain, 而由 Proposition 10.1.5 的證明也知 dimF(im($ \phi$)) = n.

我們也很容易檢查 {f (a) | f (x) $ \in$ F[x]} 會是 L 中包含 F 以及 a 最小的 ring, 這是因為若 R 是一個 ring 且包含 F 以及 a, 則對任意的 f (x) $ \in$ F[x], 由於 f (a) 僅牽涉到 a 和 F 中的元素間的加法以及乘法, 別忘了這些都是 R 中元素的運算所以當然得 f (a) $ \in$ R. 換言之我們得 {f (a) | f (x) $ \in$ F[x]} $ \subseteq$ R, 再加上 {f (a) | f (x) $ \in$ F[x]} 本身是一個 ring 所以它自然是包含 F 以及 a 最小的 ring 了!

為了方便我們定以下之符號, 在一般的代數書上這個定義是標準的且常被使用的定義.

Definition 10.1.6   假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field 且 a $ \in$ L. 我們令 F[a] 表示 L 中包含 F 以及 a 最小的 ring; 我們也令 F(a) 表示 L 中包含 F 以及 a 最小的 field.

前面已知 F[a] 就是 im($ \phi$) = {f (a) | f (x) $ \in$ F[x]}. 那麼 F(a) 中的元素又是怎樣呢? 利用 quotient field 的性質 (Proposition 7.4.2) 很容易驗證

F(a) = {f (a)/g(a) | f (x), g(x) $\displaystyle \in$ F[x] 且 g(a)$\displaystyle \ne$0}.

由這裡可看出: 一般來說 F[a] 和 F(a) 是不相同的; 不過前面提過若 a 是 algebraic over F, 則 F[a] 會是一個 field, 所以 F[a] 自然是包含 F 以及 a 最小的 field. 換句話說當 a 是 algebraic over F 時, 我們有 F[a] = F(a). 因此 F(a) 就是 Proposition 10.1.5 中所要找的 K, 所以我們將 Proposition 10.1.5 重整以後可以得:

Corollary 10.1.7   假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field. 若 a $ \in$ L 是 algebraic over F 且 p(x) $ \in$ F[x] 為 a over F 的 minimal polynomial, 則

F(a) $\displaystyle \simeq$ F[x]/$\displaystyle \bigl($p(x)$\displaystyle \bigr)$    and    [F(a) : F] = deg(p(x)).

Remark 10.1.8   同學或逖奇怪 F[a] 裡的元素長的是 f (a) 其中 f (x) $ \in$ F[x] 這種樣子, 而 F(a) 裡的元素長的是 f (a)/g(a) 其中 f (x), g(x) $ \in$ F[x] 這種樣子: 兩個樣子差這麼多, 怎麼可能會 F[a] = F(a) 呢? 這是因為當 a 是 algebraic over F 時, F[a] (或 F(a)) 裡的元素其表示法是不唯一的. 例如若 p(x) $ \in$ F[x] 是 a 的 minimal polynomial, 如果令 g(x) = f (x) + p(x), 則 g(a) = f (a). 所以當然有可能用不同的形式寫下來的元素它們的值是相同的.

接下來我們就來看和 a 是 algebraic over F 等價的條件是什麼?

Theorem 10.1.9   假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field 且 a $ \in$ L, 則下面有關於 a 的敘述是等價的.
  1. a 是 algebraic over F.
  2. 存在 K 是 L over F 的 subextension 滿足 a $ \in$ K 且 [K : F] 是有限的.
  3. F[a] = F(a).

証 明. 由前面 Proposition 10.1.5 可知 (1) $ \Rightarrow$ (2), 所以我們僅要驗證 (2) $ \Rightarrow$ (3) 以及 (3) $ \Rightarrow$ (1).

(2) $ \Rightarrow$ (3): 若 K 是 L over F 的 subextension (即 F $ \subseteq$ K $ \subseteq$ L), 則由假設 a $ \in$ K 知 F[a] $ \subseteq$ K. 再由假設 K 是 F 的一個 finite extension, 套用 Proposition 9.4.3 可得 F[a] 是一個 field. 故知 F[a] = F(a).

(3) $ \Rightarrow$ (1): 假設 F[a] = F(a), 也就是說 F[a] 是一個 field. 如果 a = 0 $ \in$ F, 那當然 a 是 algebraic over F (注意 F 中的元素當然是 algebraic over F). 如果 a$ \ne$ 0, 則由 a $ \in$ F[a] 且 F[a] 是一個 field 知 a-1 $ \in$ F[a]. 別忘了 F[a] 裡的元素都是 f (a), 其中 f (x) $ \in$ F[x] 這種形式, 所以我們有 a-1 = f (a), 其中

f (x) = cnxn + ... + c1x + c0,    ci $\displaystyle \in$ F.

故由

a-1 = cn . an + ... + c1 . a + c0

得

1 = cn . an + 1 + ... + c1 . a2 + c0 . a.

因此若令

g(x) = cnxn + 1 + ... + c1x2 + c0x - 1,

則 g(a) = 0. 由於 g(x) $ \in$ F[x] 且 g(x)$ \ne$ 0, 故知 a 是 algebraic over F. $ \qedsymbol$

Theorem 10.1.9 給了我們一個很好的方法來驗證 a 是否是 algebraic over F. 也就是說今後要檢查 a 是 algebraic over F 我們可以不必真的去找一個 f (x) $ \in$ F[x] 使得 f (a) = 0. 當然了要用什們方法會因問題而有所差別. 比方說若 a2 $ \in$ L 且我們知 a2 是 algebraic over F, 如果 f (x) $ \in$ F[x] 滿足 f (a2) = 0, 則令 g(x) = f (x2), 我們可得 g(a) = f (a2) = 0. 因此知 a 也是 algebraic over F. 也就是當 a2 是 algebraic over F 時, a 也會是 algebraic over F. 但是反過來, 如果已知 a 是 algebraic over F, 我們就無法利用滿足 a 的 polynomial 來製造一個滿足 a2 的 polynomial 了. 同學或逖想若 f (a) = 0, 我們可以令 g(x) = f (x1/2), 則 g(a2) = f (a) = 0 呀! 這是不對的, 因為 f (x) 若有奇數次項, 則 g(x) = f (x1/2) 就不再是一個 polynomial 了. 所以在這種狀況下就不可能利用找 polynomial 的方法來證明 a2 是 algebraic over F. 其實當 a 是 algebraic over F 時利用 Theorem 10.1.9 知存在一個 field K 是 F 的 finite extension 且 a $ \in$ K. 然而 K 是一個 field 且 a $ \in$ K, 所以當然 a2 $ \in$ K, 所以再用一次 Theorem 10.1.9 (或是利用 Lemma 10.1.3) 我們得證 a2 也是 algebraic over F. 以後我們常會用類似的方法來處理相關的問題.

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Administrator 2005-06-18